STUDY OF DAMAGE IDENFICATION METHOD BASED ON THE COVARIANCE OF STRAIN IMPULSE RESPONSE FUNCTION
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摘要: 基于振动参数的结构损伤识别，是近年来土木工程的热点研究课题，振动参数包括频率、振型、频响函数、模态应变能、应变响应和加速度响应等，当结构损伤时，损伤位置附近将产生应力重分布，从而引起应变的变化，因此对比损伤前后的应变或者应变响应参数，可以用来识别结构损伤.提出了一种应变脉冲响应协方差参数，它是应变脉冲响应在时间区间上的能量积分；推导并证明了该参数是结构模态参数（频率，位移模态，应变模态，阻尼等）的函数，可用来表征结构状态.相比于传统的模态参数识别方法，可以保留更高阶的模态参数，而且避免了模态识别可能引起的误差；基于简支钢梁的多种损伤工况，研究和展示了该参数的特性，通过数值模拟发现，该参数能简单直观地判定损伤发生和识别损伤位置，无需建立结构分析模型，只需比较结构损伤前后的应变脉冲响应协方差参数即可；该参数简便易算，具有较好的抗噪性能，对结构损伤敏感，而且对结构刚度减少呈现一致变化特性，所以适合实际工程结构的健康监测和损伤识别.Abstract: Structural damage identification based on vibration characteristics is the research topic in civil engineering in recent years. When the structure is damaged, the stress of the surrounding damage part of the structure will be redistributed obviously and the strain will have distinct change. So the damage detection can be performed by the comparison of the strain or the parameter from the strain responses between the damaged and intact states of the structure. In this paper the covariance of strain impulse response function (CoS) is proposed and it is proved that CoS is the function of structural modal parameters. It is the energy integral of the strain impulse response on the time interval. Compared to the traditional modal parameters, more high modes of modal parameters are preserved in the CoS and the errors produced in the modal parameter identification procedure are avoided. So the CoS can be used for structural damage identification. A simplysupported steel beam is studied to demonstrate the performance of CoS in the damage identification. From the results of numerical studies, it can be found that CoS can identify damage occurrence and location successfully. Moreover, any analytical structural model is not necessary for the damage identification procedure based on CoS. Only the computation or measurement of the strain response, strain impulse response function and CoS from the intact and the damaged states of the structure is required. It means that CoS is very suitable for health monitoring of real engineering structures.
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引言
基于振动信号的损伤检测方法越来越受到工程和研究界的青睐.近年来，利用模态分析方法对结构进行无损检测取得了很大进展，许多模态参数被用来判断损伤的存在及其程度[1-7].应变是其中一个很常见的和结构局部刚度密切相关的指标.梁截面的弯曲正应变或剪切应变指标都可以反映出局部刚度的变化，因此可用来识别损伤，而且它们是典型的局部性能指标，可识别多处损伤及其发生位置.
现有的文献主要从3个方面使用应变响应进行损伤识别：(1) 应变频响函数；(2) 应变模态；(3) 直接使用应变响应.崔飞等[8] }$利用静态应变和位移测量数据进行了结构损伤识别；Lee和Eun[9]使用静态应变数据和动态应变频响函数SFRFs来进行损伤识别；Zhang等[10]从长期动态监测应变数据获得结构应变柔度来监测结构状态变化，包括以下几个主要步骤：(1) 从宏观应变测量数据中计算得到频响函数；(2) 应变模态参数识别；(3) 计算系数；(4) 应变柔度识别. Esfandiari[11]也使用应变频域指标和模型修正技术在单元层面上来进行结构损伤估计.文献[12]的研究结果也表明，频响函数的曲率对损伤非常敏感，由于应变频响函数比其他模态参数包含的信息更加丰富，而且可以通过试验直接测得，获得较为容易，在实际应用中具有良好的发展前景.
杜永峰等[13-14]利用结点振型位移引起的杆单元长度变化计算得出结构的应变模态，并以一阶应变模态作为输入特征参数构造神经网络对杆单元损伤进行了识别；李永梅等[15]采用结构损伤前后的单元低阶模态应变差作为桁架结构损伤定位的动力指纹，建立了一种基于杆单元模态应变的桁架结构损伤定位方法；陆秋海等[16]将应变模态理论和基于模态理论的结构修正与神经网络进行结合，详细研究了应变模态参数识别的方法和过程；利用应变模态来进行结构损伤识别的，还有邓焱和严普强[17]把应变模态应用在梁和桥梁结构的损伤测量上；周先雁和沈蒲生[18]利用应变模态对混凝土结构进行了分析研究；顾培英等[19]对基于工作应变模态的损伤识别方法进行了试验研究；以及韩红飞等[20]借助应变模态差对管道的损伤识别进行了数值模拟分析.
曾欣和徐赵东[21]和Xu等[22]从分布式应变响应中得到频响函数，并进而得到多自由度系统的分布式应变模态，用来识别环境激励下大跨径斜拉桥的不同程度损伤；Xu和Wu[23]则提出了基于环境激励下的不完备应变模态方法进行空间桁架结构的损伤识别，应变模态参数是通过经典模式分解法(the empirical mode decomposition method)和峰值幅度序列法(the peak amplitude series method)从应变响应的相关函数中提取得到的；Ding等[24]从结构振动位移中推导了单元应变模态，并使用单元应变模态的变化作为指标来进行损伤位置的识别；郭惠勇和李正良[25]、严平等[26]利用模态应变能进行结构状态的评估分析，也得到了较满意的结果.
Li等[27]直接使用动态应变响应形成新的损伤指标，来监测地震发生前后环境激励下的钢梁结构，通过一个九层的抗弯矩框架模型，建立了该损伤指标跟损伤程度之间的数值关系，最后，使用钢框架试验台的一系列振动测试和无线应变测试数据，验证了该损伤指标的有效性；Xia等[28]通过结构损伤前后的长尺度应变测量和主成分分析，也提出了一个损伤指标，长尺度应变测量和主成分分析的优点是提高了结构局部损伤检测的有效性.
综上所述，现有文献中基于应变响应的损伤识别研究，主要是基于应变模态的，但由应变响应通过变换得到应变模态时会产生误差，某些情况下还存在多阶模态混淆问题，另外，结构损伤对各阶应变模态的影响也不尽相同；直接利用应变响应和应变频响函数的方法，一般都需借助各种变换工具，或者主成分分析来得到指标参数，增加了计算的复杂性.
Li和Law等[29-30]基于白噪声激励下结构加速度响应的自/互相关函数提出了一种结构损伤识别指标：加速度响应二次协方差(covariance of covariance of acceleration response，CoC).相对于频率和振型，CoC矩阵对结构的局部刚度变化更为敏感.本文拟在对CoC和现有应变响应研究的基础上，提出一种计算简便、对结构损伤敏感、甚至对损伤(例如刚度降低)呈现一致性变化的应变参数来识别损伤.
具体地，本文提出了一种新的结构损伤监测方法，把白噪声激励下的加速度响应协方差指标CoC扩展为普通激励下应变响应的自协方差指标CoS (covariance of strain impulse response function).本文将推导建立该协方差参数跟结构模态参数之间的的解析关系式，并通过对一个简支钢梁进行数值模拟，演示该参数对结构局部刚度改变的敏感性，研究该参数在判定结构损伤和识别损伤位置时的有效性，并与结构频率、位移振型、应变振型和加速度响应二次协方差等参数的损伤识别性能进行比较.
1. 基于应变脉冲响应协方差参数的损伤识别方法基本理论
1.1 应变脉冲响应协方差参数
典型的梁单元结构的应变响应可由以下公式得出
$$ {\pmb \varepsilon }_e = \left[\!\!\begin{array}{c} {\varepsilon _{\rm t} } \\ {\varepsilon _{\rm b} } \end{array}\!\! \right]_e = \left[\begin{array}{cc} {\dfrac{\text{d} u}{\text{d} x}} &{-y\dfrac{\text{d}^2v}{\text{d} x^2}} \end{array} \!\! \right]_e^{\rm T} $$ (1) 其中$\varepsilon _{\rm t} $和$\varepsilon _{\rm b}$是单元$e$在坐标($x, y$)处的拉伸应变响应和弯曲应变响应，上标T代表矩阵转置. $u$和$v$分别是$x$和$y$方向的位移响应，应变响应可进一步表示为
$$ \left.\begin{array}{l} \varepsilon _{\rm t}^e = - \dfrac{1}{l}u_i + \dfrac{1}{l}u_j = \dfrac{u_j - u_i }{l} \\ \varepsilon _{\rm b}^e = \left( {\dfrac{6y}{l^2} - \dfrac{12xy}{l^3}} \right)v_i + \left( {\dfrac{4y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)\theta _i +\\ \qquad \left( { - \dfrac{6y}{l^2} + \dfrac{12xy}{l^3}} \right)v_j + \left( {\dfrac{2y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)\theta _j \end{array} \!\!\right\} $$ (2) 其中$\left[{u_i } \ \ {v_i } \ \ {\theta _i } \ \ {u_j } \ \ {v_j } \ \ {\theta _j } \right]^{\rm T}$是单元$e$两个节点$i$和$j$的位移向量，$l$是单元$e$的长度，则总体轴向应变响应可由以下公式计算
$$ \varepsilon ^e = \varepsilon _{\rm t}^e + \varepsilon _{\rm b}^e =\\ \qquad \dfrac{u_j - u_i }{l} + \left( {\dfrac{6y}{l^2} - \dfrac{12xy}{l^3}} \right)v_i + \left( {\dfrac{4y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)\theta _i +\\ \qquad \left( { - \dfrac{6y}{l^2} + \dfrac{12xy}{l^3}} \right)v_j + \left( {\dfrac{2y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)\theta _j $$ (3) 结构在单激励下的位移响应可由杜哈梅尔积分计算如下
$$ x_k^f (t) = \int_0^t h_k^f (\tau )F(t - \tau )\text{d}\tau $$ (4) 其中下标$k $表示测量(或者计算)位移响应的位置(或自由度)，上标$f$表示激励位置(或自由度)，$F(t)$表示激励时程.在实验和计算过程中结构在不同状态下可能承受不同大小甚至不同形式的外部激励.为了降低外部激励的影响，把对位移响应的分析，由给定激励位置的单位脉冲响应函数来代替.线性结构的单位脉冲响应函数可用广义坐标表示为
$$ h_k^f (t) = \sum\limits_i \varPhi _{k, i} q_i^f (t) $$ (5) 其中$\varPhi _{k, i} $代表第$i$阶位移模态的第$k$个分量，$q_i^f $代表给定激励位置为$ f $的第$i$阶模态的广义坐标.为了书写简单起见，下文将省略上标$f $，则$q_i $可表示为
$$ q_i (t) = \dfrac{\varPhi _{f, i} }{\omega _{di} }{\rm e}^{ - \xi _i \omega _i t}\sin (\omega _{di} t) $$ (6) 其中$\omega _i $, $\omega _{di} $, $\xi _i $分别代表第$i$阶的无阻尼模态频率，阻尼模态频率和阻尼比，$\varPhi _{f, i} $代表激励位置处的模态分量.
当结构受到单位脉冲力的激励时，所得到的应变响应，也即应变单位脉冲响应函数，也可由式(3) 计算.假设节点位移$u_i , v_i, \theta _i, u_j, v_j, \theta _j $对应的自由度分别是$e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6 $，则式(3) 变为如下形式
$$ h_e^\varepsilon (t) = \dfrac{h_{e_4 } (t) - h_{e_1 } (t)}{l} + \left( {\dfrac{6y}{l^2} - \dfrac{12xy}{l^3}} \right)h_{e_2 } (t) +\\ \qquad \left( {\dfrac{4y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)h_{e_3 } (t) + \left( { - \dfrac{6y}{l^2} + \dfrac{12xy}{l^3}} \right)h_{e_5 } (t) \\ \qquad \left( {\dfrac{2y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)h_{e_6 } (t) = \sum\limits_i {\varPsi _{e, i} q_i (t)} $$ (7) 其中$h_{e_1 } (t)$, $h_{e_2 } (t)$, $h_{e_3 } (t)$, $h_{e_4 } (t)$, $h_{e_5 } (t)$, $h_{e_6 } (t)$分别为$e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6 $自由度处的位移单位脉冲响应函数，$h_e^\varepsilon (t)$代表第$e$单元在坐标$(x, y)$处的应变脉冲响应函数，$\varPsi _{e, i} $代表第$i$阶应变模态的第$e$个分量，其表达式为[31]
$$ \varPsi _{e, i} = \dfrac{ - \varPhi _{e_1, i} }{l} + \left( {\dfrac{6y}{l^2} - \dfrac{12xy}{l^3}} \right)\varPhi _{e_2, i} + \left( {\dfrac{4y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)\varPhi _{e_3, i} +\\ \qquad \dfrac{\varPhi _{e_4, i} }{l} + \left( { - \dfrac{6y}{l^2} + \dfrac{12xy}{l^3}} \right)\varPhi _{e_5, i} + \left( {\dfrac{2y}{l} - \dfrac{6xy}{l^2}} \right)\varPhi_{e_6, i} $$ (8) 应变单位脉冲响应函数可由测量应变计算得到，它的离散形式为${\pmb h}_e^\varepsilon = \left[ {h_e^\varepsilon (t_1 )} \ \ {h_e^\varepsilon (t_2 )} \ \ \cdots \ \ {h_e^\varepsilon (t_\infty )} \right]^{\rm T}$.最终，应变脉冲响应函数的协方差参数可定义为
$$ H_{e, e}^\varepsilon = ({\pmb h}_e^\varepsilon )^{\rm T} {\pmb h}_e^\varepsilon $$ (9) 可见，CoS参数$H_{e, e}^\varepsilon $可从测量的应变响应直接计算得到，而不需要依赖结构分析模型. $H_{e, e}^\varepsilon $近似等于$\dfrac{1}{\Delta t}\int_0^\infty {{\pmb h}_e^\varepsilon (t){\pmb h}_e^\varepsilon (t) \text{d} t} $，其中$\Delta t$代表时间步长，时间步长越短，近似误差越小，接下来将进一步推导计算$\int_0^\infty { {\pmb h}_e^\varepsilon (t){\pmb h}_e^\varepsilon (t) \text{d} t} $，以便得到结构模态参数跟$H_{e, e}^\varepsilon $之间的关系式.
两个单位应变脉冲响应函数的乘积在区间零到无穷大之间积分为
$$ \int_0^\infty {{\pmb h}_e^\varepsilon (t){\pmb h}_e^\varepsilon (t)\text{d} t} = \sum\limits_{i = 1}^N \sum\limits_{j = 1}^N \varPsi _{e, i} \varPsi _{e, j} \int_0^\infty q_i (t) q_j (t) \text{d} t $$ (10) 其中$N$是结构的总自由度数，并有如下公式
$$ \int_0^\infty q_i (t) q_j (t) \text{d} t =\\ \qquad \int_0^\infty \dfrac{\varPhi _{f, i} }{\omega _{di} }{\rm e}^{ - \xi _i \omega _i t}\sin (\omega _{di} t)\times \dfrac{\varPhi _{f, j} }{\omega _{dj} } {\rm e}^{ - \xi _j \omega _j t}\sin (\omega _{dj} t) \text{d} t $$ (11) 将式(11) 做定积分，如果忽略相对小项$2\xi _i \xi _j \omega _i \omega _j $，$\xi _i^2 $，$\xi_j^2$，则变为
$$ \begin{array}{l} \int_0^\infty q_i (t)q_j (t) \text{d} t = \Big [2(\xi _i \omega _i + \xi _j \omega _j )\varPhi _{f, i} \varPhi _{f, j} \Big] \Big / \\ \qquad \Big \{ [(\xi _i \omega _i + \xi _j \omega _j )^2 + (\omega _{di}-\omega _{dj} )^2] \cdot \\ \qquad [(\xi _i \omega _i + \xi _j \omega _j )^2 + (\omega _{di} + \omega _{dj} )^2] \Big\} \approx\\ \qquad \left\{ \!\!\begin{array}{ll} \dfrac{\varPhi _{f, i} \varPhi _{f, i} }{4\xi _i \omega _i^3 }\, ,&i = j \\ \dfrac{2(\xi _i \omega _i + \xi _j \omega _j )\varPhi _{f, i} \varPhi _{f, j} }{(\omega _i^2 - \omega _j^2 )^2 + 2\xi _i \xi _j \omega _i \omega _j (\omega _i + \omega _j )^2}\, ,&i \ne j \end{array} \right. \end{array} $$ (12) 其中$i$和$j$是结构的模态阶数，当$i \ne j$时，有
$$ \dfrac{\varPhi_{f, i}\varPhi_{f, i}}{4\xi_i\omega^3_i} \gg \dfrac{2(\xi_i\omega_i+\xi_j\omega_j)\varPhi_{f, i}\varPhi_{f, j}} {(\omega^2_i-\omega^2_j)^2+2\xi_i\xi_j\omega_i\omega_j(\omega_i+\omega_j)^2} $$ 将式(12) 代入式(10)，则式(9) 可写成
$$ H_{e, e}^\varepsilon = \dfrac{1}{\Delta t}\int_0^\infty {\pmb h}_e^\varepsilon (t) {\pmb h}_e^\varepsilon (t) \text{d} t =\\ \qquad \dfrac{1}{\Delta t} \Bigg \{ \sum\limits_{i = 1}^N \dfrac{\varPsi _{e, i}^2 \varPhi _{f, i}^2 }{4\xi _i \omega _i^3 } + \sum\limits_{i = 1}^N \sum\limits_{j = i + 1}^N \Big [4\varPsi _{e, i} \varPsi_{e, j} \varPhi _{f, i} \cdot \\ \qquad \varPhi _{f, j} (\xi _i \omega _i + \xi _j \omega _j )\Big] \Big / \Big [(\omega _i^2-\omega _j^2 )^2 +\\ \qquad 2\xi _i \xi _j \omega _i \omega _j (\omega _i + \omega _j )^2\Big] \Bigg \} \approx \dfrac{1}{\Delta t}\sum\limits_{i = 1}^N \dfrac{\varPsi _{e, i}^2 \varPhi_{f, i}^2 }{4\xi _i \omega _i^3 } $$ (13) 式(12) 和式(13) 表明，协方差参数$H_{e, e}^\varepsilon $只与应变模态、位移模态、模态频率和结构的阻尼比相关，而不像式(6) 中的$q_i (t)$一样与时间维度相关.因此，式(9) 中的协方差参数$H_{e, e}^\varepsilon $被认为是结构模态参数的函数，可以用来评估结构状态.
1.2 由应变响应计算CoS参数
结构表面某处位置的应变响应可以直接测量得到，或者通过式(3) 来模拟计算得到，应变响应由轴向拉压应变和切向弯曲应变组成.式(3) 中的$x$根据具体情况取值，$y$是表面位置处到截面中性轴的距离，例如对于纯弯曲的矩形截面，$y$等于截面高度的一半；在某点的应变响应得到以后，可以利用如下傅里叶变换公式来计算应变单位脉冲响应函数
$$ {\pmb h}_e^\varepsilon (t) = IFFT \Big\{\dfrac{FFT[\varepsilon ^e(t)]}{FFT[{\pmb F}(t)]} \Big \} $$ (14) 其中$FFT[\bullet]$表示傅里叶变换，$IFFT\{\bullet \}$表示逆傅里叶变换.
当结构承受冲击荷载时，即载荷作用时间很短，应变单位脉冲响应函数也可以通过如下公式近似得到，以避免傅里叶变换而简化计算[32]
$$ {\pmb h}_e^\varepsilon (t) \approx \varepsilon ^e(t) \Big / \int_0^{t_1 } {\pmb F} (\tau )\text{d}\tau $$ (15) 其中$t_1 $是载荷作用时间，$\int_0^{t_1 } {\pmb F}(\tau )\text{d}\tau $是作用在结构上的激励冲量.本文中，式(15) 被用来计算应变脉冲响应函数，再利用式(9) 计算出CoS参数.
1.3 基于CoS参数的结构损伤识别步骤
基于CoS参数的结构损伤识别过程可简单描述如下：
(1) 测量结构未损伤状态下的应变响应和激励；
(2) 利用式(14) 或式(15) 计算各测点的应变脉冲响应函数；
(3) 利用式(9) 计算各测点的CoS参数；
(4) 重复步骤(1) 到(3)，计算结构损伤状态下的CoS参数；
(5) 比较结构未损伤和损伤状态下的CoS参数，进而判定是否发生损伤和确定损伤位置.
2. 数值模拟计算
为了演示应变脉冲响应协方差参数(CoS)在结构损伤识别中的应用，使用如图 1所示的简支钢梁结构来进行数值模拟计算验证.该钢梁的长、宽和高分别是1996 mm，50.75 mm和9.69 mm，杨氏模量是191.1 GPa，密度是7 790.6 kg/m$^3$；使用的有限元模型包括18个平面欧拉梁单元，19个节点，每个节点2个自由度，共有38个自由度；在节点5处施加竖向的三角激励，激励的峰值是320.4 N，持续时间是0.005 s；在结构响应计算中采用瑞利阻尼，$\xi _1 =0.01$和$\xi _2 =0.005$；在每个节点的下表面假定"安装"了一个沿着梁轴向的应变片来测试应变响应，当然，在本节中应变响应是通过简支钢梁结构的有限元模型和Newmark数值方法计算得到位移响应，再由式(3) 计算得到各"测点"的应变响应；采样频率为2 000 Hz，使用前3 s，共计6 000个数据来计算CoS参数；为了模拟测试噪声的影响，在计算得到的应变响应中添加20%的白噪声，噪声添加方式为：$\varepsilon ^m(t) = \varepsilon (t) + Ep\times N_{\rm oise} \times std(\varepsilon (t))$，其中$\varepsilon (t)$是模拟计算得到的应变响应，$Ep$是噪声水平，$N_{\rm oise} $是标准正态分布随机数，$std(\varepsilon (t))$是$\varepsilon (t)$的标准偏差.该钢梁结构在三角激励作用下的加速度响应和应变响应如图 2和图 3所示，它们都是衰减函数，由这些响应通过式(15) 即可算出各测点的加速度脉冲响应函数和应变脉冲响应函数.
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图 2 简支钢梁第7节点处的竖向加速度响应Figure 2. The vertical acceleration response from Node 7 of the steel beam2.1 模拟第11单元损伤时各振动参数的变化
为了研究结构损伤时各振动参数的变化特性，假定单元11发生损伤，损伤由单元刚度变化来表征，刚度有如下变化：刚度减小0%(无损伤)，刚度减小5%，刚度减小10%，...，直到刚度减小55%，共计12个状态；分别计算每个状态下对应的结构频率、位移振型、应变振型、加速度脉冲响应协方差[29]，以及各单元的应变响应和应变脉冲响应协方差参数，12个状态下前15阶频率如图 4所示.
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图 4 第11单元12个损伤状态下的前15阶频率分布图Figure 4. Distribution of the first 15 natural frequencies from 12 damaged states in Element 11从图 4可看出，前15阶频率在12个状态下几乎都是重叠的，特别是前6阶频率，几乎无任何错开，只有第13, 14和15阶频率稍微不重合，这说明在第11单元刚度减小，即使减小了55%的情况下，前15阶频率也无显著变化，表明频率对该结构的局部参数改变不够敏感.
与结构频率类似，如图 5所示，位移振型对该结构的损伤也不够敏感. 图 6显示了该结构12个不同状态下的前四阶应变振型，可以看出，第一阶应变振型中，在第11单元处各振型曲线明显向上凸起错开，而在其他节点处却几乎是重叠的，这表时第一阶应变振型具有良好的损伤位置识别能力；第二和第三阶应变振型中，也只有在第11单元处出现显著变化，而在其它单元处无明显差异，跟第一阶应变振型不同的是，在第11单元处振型分量是向下凸起变化的；第四阶应变振型，在第11单元处也有显著变化，但是幅度不大，而在其他单元，例如第13单元处，应变振型分量也有变化，但是不如第11单元处尖锐. 图 6的结果说明，部分应变振型会由于结构局部参数的改变而引起对应位置处的分量显著变化，而且低阶应变振型更敏感，越高阶振型变化幅度越小.
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图 5 第11单元12个损伤状态下前4阶位移振型比较图Figure 5. Comparison of the first 4 displacement mode shapes from 12 damaged states in Element 11![]()
图 6 第11单元12个损伤状态下前4阶应变振型比较图Figure 6. Comparison of the first 4 strain mode shapes from 12 damaged states in Element 11进一步计算结构在每个节点处的竖向加速度响应，并计算其脉冲响应函数及其协方差参数(CoC)，12个不同状态下CoC参数分布如图 7所示.从图中可以看出，在节点4, 5, 6, 7, 10, 14, 15和16处，CoC参数均有变化，这表明结构局部刚度的改变会引起CoC参数的改变，但是在损伤位置处(即第11单元)CoC参数的改变并不是最大的，反而几个非损伤位置处的CoC参数改变明显；这表明CoC参数对结构状态改变是敏感的，但是CoC参数的改变跟损伤位置之间的关系并不是直观和简单的，因此，需要更复杂的算法，把多个位置处CoC参数的改变与结构的损伤位置和损伤程度建立起函数关系来，才能进行更准确的损伤识别.
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图 7 第11单元12个损伤状态下各节点处加速度脉冲函数协方差参数分布图Figure 7. Comparison of CoCs of every node from 12 damaged states in Element 11利用各单元的应变响应，通过式(15) 和式(9) 计算出应变脉冲响应协方差参数，并计算该结构在12个不同损伤状态下的CoS分布图，如图 8所示.观察到，整个CoS分布曲线在除了第11单元外，在12个不同损伤状态下变化不大，几乎重合，但是在第11单元处却有显著的变化；这表明由于结构局部刚度的改变，在损伤单元处的CoS参数改变明显，而非损伤处的CoS参数改变则不显著，说明CoS参数对结构损伤灵敏，而且具有良好的空间性.
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图 8 第11单元12个损伤状态下各单元的CoS分布比较图Figure 8. Comparison of CoSs of each element from 12 damaged states in Element 11进一步将每个单元的CoS参数按照损伤状态的不同，或者随着损伤程度的变化，画出其变化曲线图，可以得到18个单元的18条CoS参数变化趋势图，如图 9所示.从图中可以看出，只有来自第11单元的CoS曲线具有特殊表现，它是随着第11单元刚度的减小(0%到55%)而单调递增的，其他单元CoS参数的变化则趋于平坦或者小幅振动，这又一次表明CoS参数具有很好的损伤识别性能.
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图 9 第11单元损伤时各单元的CoS随损伤程度增加的变化趋势图Figure 9. Variation of CoSs of each element versus the damage extent in Element 112.2 损伤识别
基于以上分析可以发现CoS参数是一个较好的损伤识别指标，所以在本节中将利用CoS指标来进行结构损伤判定和损伤位置识别，仍然使用图 1中的简支钢梁结构，所受激励大小和位置不变，使用第1个单元到第18个单元的应变响应计算对应的CoS参数，来进行单损伤、两处损伤和三处损伤共3种损伤工况下的损伤识别.
第1种损伤工况：第3单元的刚度减小10%，计算该结构在未损伤和损伤状态下的CoS参数，然后把损伤状态下的CoS参数减去未损伤时各对应单元的CoS参数，得到各单元CoS参数的改变分布图，如图 10所示.可以看出只有在第3单元处CoS的改变值最大最突出，而其他单元的CoS改变值则很小，因此，可以很容易判定损伤发生，而且能确定损伤发生在第3单元处.
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图 10 第3单元损伤时结构的CoS变化分布图Figure 10. Variation of CoS of each element of the structure due to damage in Element 3第2种损伤工况：假定第3单元的刚度减少10%和第4单元的刚度减少15%，仍然把结构在该损伤状态下各单元的CoS参数，减去结构未损伤时各单元的CoS参数，得到结构所有单元的CoS变化分布图，如图 11所示.可以看到，只有第3和4单元CoS的改变值最突出，其他单元的改变值都较小，因此可以判定结构发生损伤，而且损伤位置在第3单元和第4单元.第3单元的改变值比第4单元小很多，这可能是由于第3单元的实际损伤10%小于第4单元的实际损伤15%，另外，可能是由于图中的CoS改变是绝对改变值，受到激励位置和损伤单元位置的影响，例如第4单元比第3单元离激励位置近和跨中近，所以其应变响应和CoS值都更大，绝对改变值也更大.
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图 11 第3和第4单元损伤时结构CoS变化分布图Figure 11. Variation of CoS of each element of the structure due to damages in Elements 3 and 4第3种损伤工况：假定第9单元的刚度减少15%，第13单元和第15单元的刚度都减少10%，同样的方法计算得到各单元CoS的变化值如图 12所示.从图中可以看到只有第9单元、第13单元和第15单元CoS的改变值是正的，而且幅度是最大的，这表明利用CoS参数可以判定多个损伤发生的情况，而且能准确地识别损伤的位置.
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图 12 第9、第13和第15单元损伤时结构CoS变化分布图Figure 12. Variation of CoS of each element of the structure due to damages in Elements 9, 13 and 15通过以上3种损伤工况的分析，发现只要计算得到结构在未损伤和损伤两种状态下的CoS参数，直接通过各单元CoS参数的改变值就可以判定该单元是否发生损伤，准确率高，而且具有较好的抗噪能力，计算简单，无需进行反问题计算，也无需建立结构的分析模型(本节使用有限元分析模型仅为了模拟测试得到的应变响应)，所以CoS参数是一个较有潜力的结构损伤识别指标.
3. 结论
本文首先推导和建立了应变响应脉冲函数协方差参数(CoS)，证明它是结构固有参数(频率，振型和阻尼)的函数，所以结构物理参数的改变会最终传递到CoS参数，从而可以利用CoS参数来进行结构损伤识别；还得到了利用实际测试应变响应计算应变脉冲响应的简化公式，以避免进行傅里叶变换从而减少误差；利用一个简支钢梁结构进行了数值模拟，比较了频率、位移振型、应变振型、CoC参数和CoS参数在结构损伤识别中的性能，发现只有应变振型和CoS参数能比较直观简单地判定损伤的发生和识别损伤的位置，但CoS的计算比应变振型简单.
本文提出的CoS参数，简单易算，有较好的抗噪性，对结构损伤敏感，对结构刚度减少呈现一致性的变化；更重要的是，该方法无需建立结构分析模型，只需对结构损伤前后两个状态下的CoS参数进行对比就能判断损伤发生和识别损伤位置，这为CoS参数应用到实际工程结构的健康监测提供了可能性，因为实际工程结构往往难以得到准确的分析模型；另一方面，由于应变响应是结构的局部性参数，只有应变传感器附近的结构损伤才会引起应变类参数发生显著改变，CoS参数也有此局限性；在实际工程中，可以对结构进行事先评估，找出关键和危险的结构部件，再在这些区域进行传感器密集布置.另外，本文未进行损伤程度的识别，这是在以后的研究中需要继续的工作.
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图 2 简支钢梁第7节点处的竖向加速度响应
Figure 2. The vertical acceleration response from Node 7 of the steel beam
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图 4 第11单元12个损伤状态下的前15阶频率分布图
Figure 4. Distribution of the first 15 natural frequencies from 12 damaged states in Element 11
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图 5 第11单元12个损伤状态下前4阶位移振型比较图
Figure 5. Comparison of the first 4 displacement mode shapes from 12 damaged states in Element 11
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图 6 第11单元12个损伤状态下前4阶应变振型比较图
Figure 6. Comparison of the first 4 strain mode shapes from 12 damaged states in Element 11
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图 7 第11单元12个损伤状态下各节点处加速度脉冲函数协方差参数分布图
Figure 7. Comparison of CoCs of every node from 12 damaged states in Element 11
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图 8 第11单元12个损伤状态下各单元的CoS分布比较图
Figure 8. Comparison of CoSs of each element from 12 damaged states in Element 11
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图 9 第11单元损伤时各单元的CoS随损伤程度增加的变化趋势图
Figure 9. Variation of CoSs of each element versus the damage extent in Element 11
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图 10 第3单元损伤时结构的CoS变化分布图
Figure 10. Variation of CoS of each element of the structure due to damage in Element 3
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图 11 第3和第4单元损伤时结构CoS变化分布图
Figure 11. Variation of CoS of each element of the structure due to damages in Elements 3 and 4
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