引言

一般情况下钢筋混凝土梁的剪切变形占总变形的比例较小，各国规范的挠度计算规定都忽略剪切变形的影响^[1-3].然而多个钢筋混凝土梁的变形试验^[4-6]表明，试件的实测总变形比按照规范方法计算的预测值大，主要原因是在挠度计算时忽略了混凝土梁的剪切变形贡献，特别是斜向开裂后的混凝土梁剪切变形贡献.为了计算剪切变形的贡献，当混凝土梁处于弹性状态时，采用高阶梁理论即可取得较好的效果^[7]，但当混凝土梁斜向开裂后，结构的连续性遭到破坏，剪切刚度退化严重，弹性梁理论将不再适用.根据美国ACI规范的弯曲刚度公式，弯曲裂缝充分开展状态的弯曲刚度相比开裂前约降低40%$\sim $50%，相应的开裂弯曲变形约为弹性弯曲变形的2倍左右^[8]；而根据学者Park等^[9]的推导，构件斜裂缝充分开展状态的剪切刚度相比开裂前刚度降低70%$\sim $90%，相应的开裂剪切变形为弹性剪切变形的3$\sim $10倍.这表明，斜裂缝对剪切刚度的退化影响大于弯曲裂缝对弯曲刚度的退化影响，在设计计算时更应引起重视.对于开裂后的弯曲刚度计算，Branson^[10]提出的有效抗弯惯性矩模型以其有效性和易用性等特点，已得到国外主流规范的广泛采纳.然而，对于开裂后的剪切刚度计算，目前尚缺乏合理有效的计算模型，因此在各国规范中未能得到体现.

针对斜向开裂后的混凝土梁剪切刚度退化，国内外学者进行了一些剪切变形试验方面的研究^[4-6].总结其变形测试结果有以下主要特点：斜向开裂后的混凝土梁剪切变形在量级上与弯曲变形相当；随着斜裂缝的发展，剪切变形与弯曲变形的比例有不断增大的趋势；对于跨高比较大的混凝土浅梁，其开裂后剪切变形比例仍可达到25%以上.在理论研究方面，Park等^[9]基于平行弦桁架模型推导了混凝土梁的剪切刚度表达式，发现剪切刚度是配箍率和斜压杆倾角的函数，并建议桁架斜压杆的倾角可简单取为45°. Vecchio等^[11]，Bentz^[12]，Debernardi等^[13]，Desalegne等^[14]分别利用修正压力场理论(modified compression field theory,MCFT)和改进的MCFT来预测混凝土梁的载荷-位移曲线. Pang 等^[15]，Zhu等^[16]基于定角软化桁架模型(fix angle-soft truss model,FA-STM)和弥散裂缝概念给出了剪切刚度的迭代计算方法. MCFT方法和FA-STM方法通过迭代计算，最终能得到混凝土梁的载荷位移曲线，但需考虑的参数众多、迭代过程复杂，因此不适合设计应用.Barzegar^[17]，Hansapinyo等^[18]和Rahal^[19]试图通过拟合配箍率、混凝土纵向应变等参数建立剪切刚度模型的经验公式，但缺乏大量的直接剪切变形测量数据来验证. 近些年来，一些学者基于变角度桁架模型评价混凝土梁斜向充分开裂后的剪切刚度^[20-23]，但其充分开裂状态的剪切刚度需要迭代求解或者为数值解，且对随斜裂缝扩展的剪切刚度退化规律关注较少.

针对斜向开裂状态下钢筋混凝土梁的剪切刚度退化和剪切变形计算，本文尝试建立有腹筋混凝土梁的剪切刚度分析模型.首先，在分析弹性剪切刚度和箍筋屈服状态剪切刚度的基础上，得到一般开裂状态下的等效剪切刚度表达式.其次，根据试验观测的剪切刚度退化规律建立合理的有腹筋混凝土梁的剪切刚度退化模式.在此基础上，通过最小能量原理确定关键参数斜裂缝倾角和剪切刚度退化系数的解析计算式，建立有腹筋混凝土梁的剪切刚度分析模型.最后，总结斜向开裂混凝土梁的有效剪切刚度计算步骤，并利用混凝土梁直接剪切变形试验测试结果对本文模型进行试验验证.

1 剪切刚度退化模型 1.1 弹性剪切刚度

根据斜裂缝是否出现，可将有腹筋混凝土梁的剪切刚度划分为弹性剪切刚度和开裂后剪切刚度. 在斜裂缝出现之前，梁体弹性剪切刚度$K_{\rm e}$可按式(1)计算

$ K_{\rm e} = G_{\rm c} A_{\rm v} = \dfrac{1}{2(1 + \mu )}E_{\rm c} A_{\rm v} $

(1)

式中，$G_{\rm c}$为混凝土剪切模量；$E_{\rm c}$为混凝土弹性模量；$A_{\rm v}$为受剪面积；$\mu $混凝土泊松比，可取0.2.

斜裂缝出现之后，因斜裂缝破坏了混凝土的连续性，其开裂后的有效剪切刚度需要采用新的方法计算.

1.2 箍筋屈服状态剪切刚度

桁架模型能够较好地模拟剪力作用下混凝土梁的受力状态，也为混凝土梁的剪切刚度刻画提供了一种可能.对于钢筋混凝土梁，当斜裂缝充分开展后，可采用图 1所示的桁架模型进行分析.试验观测到的斜裂缝大致相互平行，因此桁架模型的斜压杆倾角可近似认为相等.桁架的剪切变形主要由其腹杆变形引起，包括混凝土斜压杆缩短引起的竖向变形$\delta _{\rm c}$和箍筋伸长引起的竖向变形$\delta_{\rm s}$.

在单位剪力作用下，桁架混凝土斜压杆缩短引起的竖向变形$\delta_{\rm c}$

$ \delta _{\rm c} = \dfrac{1}{E_{\rm c} b_{\rm w} \sin ^3\theta \cos \theta } $

(2)

箍筋伸长引起的竖向变形$\delta_{\rm s}$

$ \delta _{\rm s} = \dfrac{1}{E_{\rm s} \rho _{\rm v} b_{\rm w} \cot \theta } $

(3)

总的剪切变形为$\delta_{\rm shear}$

$ \delta _{{\rm shear}} = (\delta _{\rm c} + \delta _{\rm s} ) = \dfrac{1 + n\rho _{\rm v} \csc ^4\theta }{n\rho _{\rm v} E_{\rm c} b_{\rm w} \cot \theta } $

(4)

则对应单位长度桁架的剪切刚度$K_{\rm y}$为

$ K_{\rm y} = \dfrac{1}{\gamma } = \dfrac{1}{{\delta _{{\rm shear}} } / {(d_{\rm v} \cot \theta )}} = \dfrac{n\rho _{\rm v} E_{\rm c} A_{\rm v} \cot ^2\theta }{1 + n\rho _{\rm v} \csc ^4\theta } $

(5)

式(2) $\sim $式(5)中,$b_{\rm w}$为腹板厚度,$\theta $为斜压杆缝角,$E_{\rm s}$为钢筋弹性模量,$\rho_{\rm v}$为配箍率,$n$为钢筋与混凝土弹性模量的比值,$\gamma $为梁段剪切角,$d_{\rm v}$为受剪高度.

由式(5)可以看出，当斜裂缝充分开展且箍筋屈服后，结构的剪切刚度与斜压杆倾角$\theta $、截面尺寸$A_{\rm v}$、配箍率$\rho_{\rm v}$、材料弹性模量比$n$等因素相关.

1.3 剪切刚度退化系数

对比式(1)与式(5)，发现弹性剪切刚度$K_{\rm e}$和箍筋屈服状态剪切刚度$K_{\rm y}$拥有共同的参数$E_{\rm c}A_{\rm v}$，说明两者存在关联. 将$K_{\rm y}$与$K_{\rm e}$的比值提取出来，并取箍筋屈服状态斜压杆倾角$\theta =\theta_{\rm y}$，则有

$ \lambda _{\rm y} = \dfrac{K_{\rm y} }{K_{\rm e} } = \dfrac{2n(1 + \mu )\rho _{\rm v} \cot ^2\theta _{\rm y} }{1 + n\rho _{\rm v} \csc ^4\theta _{\rm y} } $

(6)

式中，$\lambda_{\rm y}$定义为剪切刚度退化系数. 由上式可以看出，退化系数的主要影响因素包括材料特性参数$n$和$\mu $、配箍率$\rho _{\rm v}$和斜压杆倾角$\theta_{\rm y}$. 其中斜压杆倾角$\theta_{\rm y}$为未知数，当倾角$\theta_{\rm y}$确定后，即可分别由式(5)和式(6)确定箍筋屈服状态剪切刚度和剪切刚度退化系数.

1.4 剪切刚度退化模式

尽管前文已得到弹性剪切刚度和箍筋屈服状态剪切刚度的解析表达式，但对一般开裂状态下的混凝土梁有效剪切刚度仍然难以描述. 由于从弹性刚度到箍筋屈服状态剪切刚度的过渡机理受钢筋配筋率、截面尺寸、混凝土强度等多种因素的影响，因此给出描述这一退化过程的精确定量表达式是不现实的. 目前，学者们尝试了一些简单的剪切刚度退化模式，例如线性退化^[24]、指数退化^[22]等，但并未对剪切刚度退化规律进行详细分析.

为了研究混凝土梁斜向开裂后剪切刚度的退化规律，对Debernardi等^[4]以及史国刚等^[25]进行的混凝土梁剪切变形试验测试结果进行分析.发现剪应变曲线的刚度退化具有以下特点：(1)第一条斜裂缝出现时，剪应变曲线会出现明显的拐点，表明斜裂缝初裂会使得剪切刚度相比开裂前有较大幅度的下降；(2)在初裂之后，箍筋屈服之前，剪应变曲线的切线斜率(即切线刚度)几乎保持不变；(3)随着箍筋的逐渐屈服，剪应变曲线出现"屈服台阶"段，切线斜率近似为零，随着剪应变的迅速增大，构件很快破坏.实际剪切刚度退化曲线和剪应变发展曲线分别如图 2(a)和图 2(b)中实线所示.

基于剪应变曲线刚度退化的特点，本文对剪切刚度退化模式进行适当简化，并采用以下假定：(1)混凝土梁开裂前，有效剪切刚度取弹性剪切刚度；(2)自构件斜向开裂直至箍筋屈服，混凝土梁的剪应变曲线的切线斜率不变，即切线剪切刚度保持不变，相应的有效剪切刚度如下式所示

$ K_{{\rm eff}} = \dfrac{V}{\dfrac{V_{{\rm cr}} }{K_{\rm e} } + \dfrac{V - V_{{\rm cr}} }{V_{\rm y} - V_{{\rm cr}} }\left( {\dfrac{V_{\rm y} }{K_{\rm y} } - \dfrac{V_{{\rm cr}} }{K_{\rm e} }} \right)} $

(7)

式中，$V$为计算截面的剪力,$V_{\rm cr}$为剪切开裂载荷,$V_{\rm y}$为箍筋屈服载荷；参考美国ACI规范^[2]，$V_{\rm cr}$和$V_{\rm y}$可分别采用式(8)和式(9)计算

${{V}_{\text{cr}}}=0.17\sqrt{{{{{f}'}}_{\text{c}}}}{{b}_{\text{w}}}{{d}_{\text{v}}}$

(8)

${{V}_{\text{y}}}={{V}_{\text{cr}}}+{{\rho }_{\text{v}}}{{f}_{\text{yv}}}{{b}_{\text{w}}}{{d}_{\text{v}}}\cot {{\theta }_{\text{y}}}$

(9)

图 2(a)分别示出了割线刚度线性退化模式、恒定切线刚度退化模式和实际剪切刚度退化模式下，剪切刚度随剪力变化的退化曲线，图 2(b)分别示出了按照割线刚度线性退化、恒定切线刚度退化计算的剪应变曲线和实际剪应变曲线.可以看出，在斜向开裂后，采用恒定切线刚度退化模型能够较好地描述混凝土梁剪切刚度退化的两个显著特点，即初裂时的剪切刚度急剧降低和箍筋屈服前的切线刚度恒定.相比于割线刚度线性退化模型，恒定切线刚度退化模型对剪切刚度和变形的预测更符合实际，且计算结果偏于安全.

2 关键参数的取值 2.1 斜压杆倾角

对于变角桁架模型，学者们认为最优的斜压杆倾角会使得桁架所储存的应变能取最小值.基于能量守恒准则，桁架模型构件中储存的应变能可利用虚功原理计算得到.在单位力竖向力作用下，计算梁段产生的剪切角(剪应变)即为外力做的剪切功ESW(图 1). 在此情形下，要使剪切功最小，剪切刚度需取最大值，因此，最小应变能准则又可理解为最大刚度准则.

基于最小应变能原理，令剪切功$ESW$对倾角的导数为0，即

$\frac{dESW}{d\theta }=\frac{d\gamma }{d\theta }=\frac{d\left( 1/{{K}_{\text{y}}} \right)}{d\theta }=0$

(10)

联立式(5)和式(10)，化简可得

$ \sin ^4\theta + 2n\rho _v \sin ^2\theta - n\rho _v = 0 $

(11)

由倾角的非负性，得到倾角唯一解

$ \theta _{\rm y} = \arcsin \left( {\sqrt {\sqrt {n^2\rho _{\rm v}^2 + n\rho _{\rm v} } - n\rho _{\rm v} } } \right) $

(12)

式(12)的倾角公式需要满足纵向受拉钢筋的屈服不会早于箍筋屈服的限定条件，即构件纵筋率满足式(13)的规定.

$ f_{\rm y} A_{\rm s} ≥ \dfrac{\left| {M_{\rm y} } \right|}{d_{\rm v} } + 0.5\left| {V_{\rm y} } \right|\cot \theta _{\rm y} $

(13)

式中，$M_{\rm y}$为与$V_{\rm y}$对应的截面弯矩.

分析式(12)可知，倾角$\theta_{\rm y}$主要受$n\rho_{\rm v}$的影响，对$n\rho _{\rm v}$进行参数分析，如图 3所示.可见倾角$\theta_{\rm y}$随$n\rho _{\rm v}$增大而增大，但增长趋势逐渐减缓.

2.2 剪切刚度退化系数

为了节省计算工作量，简化计算过程，可将式(12)代入式(6)，从而直接可得剪切刚度退化系数$\lambda_{\rm y}$的解析表达式

$ \lambda _{\rm y} = \dfrac{(1 + \mu )\left[{\left( {2n\rho _{\rm v} + 1} \right)\left( {\sqrt {n^2\rho _{\rm v}^2 + n\rho _{\rm v} } - n\rho _{\rm v} } \right) - n\rho _{\rm v} } \right]}{1 - \left( {\sqrt {n^2\rho _{\rm v}^2 + n\rho _{\rm v} } - n\rho _{\rm v} } \right)} $

(14)

分析式(14)，一般混凝土的泊松比取值较为稳定，故剪切刚度退化系数的主要影响因素为$n \rho_{\rm v}$，对其进行参数分析，其变化规律如图 4所示. 可以看出，剪切刚度退化系数随$n \rho _{\rm v}$增大而增大，但增长趋势逐渐减缓. 另外箍筋屈服状态剪切刚度约为弹性剪切刚度的10%$\sim $30%，说明充分开裂后的剪切刚度退化比较明显，这与Park等^[9]的推导结果相符.

考虑到式(14)形式较为复杂，在常用材料弹模比和配箍率区间($n \rho_{v}=1%\sim 10%$)，对式(14)的计算结果进行指数拟合，得到剪切刚度退化系数的简化计算式(15)

$ \lambda _{\rm y} = 0.7\left( {n\rho _{\rm v} } \right)^{0.4} $

(15)

由图 4比较可知，式(15)的计算结果与式(14)非常接近，但形式更为简洁，适合工程应用.

3 一般开裂状态有效剪切刚度计算步骤

在确定了退化模式和关键参数的取值后，一般开裂状态下的有效剪切刚度，可按照以下步骤进行计算：

(1) 斜向开裂前，利用式(1)计算弹性剪切刚度$K_{\rm e}$，并用于弹性剪切变形的计算；

(2) 联立式(8)、式(9)、式(12)计算梁段的开裂载荷$V_{\rm cr}$、屈服载荷$V_{\rm y}$；

(3) 斜向开裂后，利用式(15)计算箍筋屈服状态剪切刚度退化系数 $\lambda_{\rm y}$，进而得到箍筋屈服状态剪切刚度$K_{\rm y}$；

(4) 分别计算各级载荷$V$作用下的剪力增量$V-V_{\rm cr}$，并代入式(7)计算一般开裂状态的有效剪切刚度$K_{\rm eff}$；

(5) 根据各级载荷下的有效剪切刚度$K_{\rm eff}$，计算对应的梁段平均剪应变或剪切变形.

4 试验验证 4.1 试件参数

鉴于目前针对钢筋混凝土梁开裂后剪切变形的直接测量试验非常稀少，本文开展了2根大尺寸混凝土薄腹梁的剪切变形直接测量试验^[25]. 试件为工字型截面，梁长5.4 m，梁高0.8 m，腹板宽度为0.1 m. 试件基本参数与特征载荷见表 1.

为了直接测量试件梁段上的剪切变形，在试件梁段上布置了应变测量框格，每个测量框格由5根自制大标距应变计组成，如图 5(a)所示，框格梁段的剪跨比如表 2所示.

通过对框格测得的平均应变进行应变分析，可得到测量框格对应梁段的平均剪应变，梁段的剪切变形可取为平均剪应变和梁段长度的乘积. 由于集中力作用会对梁段的应力分布产生扰动，进而影响剪应变测量的精度，所以本文仅对不受局部集中力影响的测量框格G3，G4进行应变分析.

4.2 试验结果对比

为了研究斜向开裂后钢筋混凝土梁的剪切刚度变化情况，可根据实测剪应变反推出混凝土梁的有效剪切刚度$K_{\rm exp}$^[6]，如下式所示

$ K_{{\rm exp}} = \dfrac{\tau }{\gamma }A_{\rm v} = \dfrac{V}{\gamma _{{\rm exp}} } $

(16)

式中，$\tau $ 为名义剪应力，表示剪力$V$与受剪面积$A_{\rm v}$的比值； $\gamma _{\rm exp}$为试验测得的梁段平均剪应变.

试件C1和C2的各框格梁段的有效剪切刚度和平均剪应变实测值和理论预测值的对比分别如图 6和图 7所示.

由图 6可以看出，实测各框格梁段(G3, G4)的有效剪切刚度在初裂时下降显著，之后缓慢下降，到箍筋屈服时剪切刚度基本稳定.

相应的，由图 7可以看出，剪应变曲线在斜裂缝出现时有明显的转折，此后剪应变曲线的切线斜率几乎保持不变.在各级载荷作用下，梁段G3和G4的开裂后刚度退化和平均剪应变无明显的差别，但考虑到两个梁段相连且剪跨比相差不大，剪跨比对开裂后的剪切变形的影响大小还需更多试验数据对比.综合对比理论预测值与试验结果，发现建立的刚度分析模型能够较为准确的评价试验梁的剪切刚度退化并预测梁段的剪切变形.

4.3 其他试验验证

在试验基础上，补充收集了文献^[4]中给出详细变形数据的4根试件的15个观测梁段的试验结果，试件基本参数如表 1和表 2所示，试件详细截面尺寸及加载布置见文献^[4].对以上各梁段的平均剪应变和有效剪切刚度进行分析整理，并与推荐刚度分析模型的预测结果进行了对比，如图 8和图 9所示.

对比发现，本文刚度分析模型仍能够较好地评价各梁段的剪切刚度退化情况，并给出合理的剪切变形预测.另外，试验中同一试件不同观测梁段的剪跨比相差较大，但其实测的剪切刚度退化系数与剪跨比之间并无明显联系，各梁段的刚度退化曲线也较为接近.这说明剪跨比对剪切刚度的退化影响较小，开裂后剪切变形计算时可忽略其影响.

5 结论

为对斜向开裂后有腹筋混凝土梁的有效剪切刚度进行准确评价，本文建立了考虑斜裂缝开展程度影响的有腹筋混凝土梁剪切刚度分析模型，有如下主要结论.

(1) 基于变角桁架模型推导了混凝土梁箍筋屈服状态的剪切刚度，其主要影响因素为配箍率、材料弹模比和斜裂缝倾角；通过比较箍筋屈服状态剪切刚度和弹性剪切刚度，发现剪切刚度退化系数的主要影响因素为材料弹模比、配箍率和斜压杆倾角；在此基础上，根据试验剪切变形曲线的刚度退化特征抽象出剪切刚度的理论退化模型，实现了一般开裂状态下的混凝土梁剪切刚度评价.

(2) 根据最小应变能原理，推导了关键参数斜压杆倾角和剪切刚度退化系数的解析公式，其主要影响参数为材料弹模比和配箍率的乘积$n \rho_{\rm v}$. 参数分析表明，斜压杆倾角和剪切刚度退化系数均随$n \rho_{\rm v}$的增大而增大. 在常用配筋参数区间，拟合得到了剪切刚度退化系数的简化计算公式，省去了倾角的计算过程，且计算精度较高.

(3) 进行了2根薄腹混凝土梁的剪切变形试验，并收集了文献中15个观测梁段的剪切变形数据.利用本文刚度分析模型对各梁段的有效剪切刚度和平均剪应变进行了预测.对比结果表明：本文推荐的刚度退化模型能够较好地评价有腹筋混凝土梁在不同开裂程度下的剪切刚度退化，可用于斜向开裂混凝土梁的剪切刚度评估.