引言

超疏水壁面(SH)是指液滴表观接触角大于150°且滚动角小于10°的固壁表面^[1]，由于表面微纳二级结构引起的超疏水特性，具有减阻和自清洁的功能，因而获得了很多领域研究者的广泛关注^[2-3].自然界中有很多动植物表面都具有疏水性，例如荷叶表面^[4]，蝴蝶、蝉的翅膀表面等^[5]. Neinhuis等^[6]通过观察植物叶表面的微观结构发现，这种疏水性是由一定粗糙度表面上微米级突起以及纳米级蜡状物共同作用引起的.Cassie等^[7]在研究物质表面时，提出了"空气垫模型"，指出液滴与物质表面接触时并不是完全与物质表面直接接触，还有一部分是与表面微结构内部驻留气体形成的空气垫接触，使实际固液接触面积减小，导致表面摩擦阻力降低.Min等^[8]对超疏水壁面湍流减阻的直接数值模拟结果表明，超疏水壁面可产生滑移，其中流向滑移有益于减阻，展向滑移不利于减阻. Aljallis等^[9]通过对喷涂了疏水纳米颗粒的铝板和机翼模型进行外流减阻研究发现，超疏水壁面减阻除了依赖于表面的速度滑移之外还与其表面的结构特征和气膜稳定性相关.现在研究者多从超疏水微纳米二重结构^[10-11]以及其壁面表观滑移^[12-15]等方面认识超疏水壁面减阻机理，而容易忽视湍流中相干结构^[16]对壁面阻力的影响.

相干结构对近壁区湍流和壁面摩擦阻力可产生重要影响^[17]，Kang等^[18]和Kim等^[19]分别从正反两方面证明壁面摩擦力有很大部分由发卡涡产生. 实验研究表明，湍流边界层中流-法向平面内除存在大量涡量为负的发卡涡展向涡头(顺向涡)，还从一定的法向位置开始检测到涡量为正的逆向涡存在，其迁移速度与顺向涡相同，旋转方向相反^[20].逆向涡的发现对发卡涡理论模型提出了挑战，Hambleton 等^[21]通过立体粒子图像测速技术对平板湍流边界层中两种涡的相对位置关系进行了研究，发现顺向涡始终处于逆向涡的下游和上方，因此他们推断逆向涡可能是涡环结构或者$\Omega $型涡的展向截面.Yang等^[22]通过对粒子图像测速技术(partical image velocimetry, PIV)获得数据中顺向涡和逆向涡的位置信息进行统计得到很有趣的结果：98%的顺向涡和99%的逆向涡分别被限制在上下两个隔离区，而它们各自分散点拟合成的直线与平均速度场中转折点的线性回归很好得吻合.

本文针对微纳米二级结构超疏水壁面，利用高时间分辨率粒子图像测速技术(time-resovled partical image velocimetry, TRPIV) 获得速度场，比较超疏水与亲水壁面(PH)的平均速度剖面，计算超疏水壁面减阻率.采用空间多尺度局部平均涡量的概念提取壁湍流中流-法向涡结构，研究两种壁面湍流边界层中顺向涡和逆向涡相对位置的差异以及逆向涡对顺向涡的影响，最后通过两种壁面湍流边界层中顺向涡和逆向涡数量对比结果来进一步验证逆向涡与超疏水壁面减阻的关系.

1 实验设备与参数

实验在天津大学流体力学实验室低速循环式水槽中进行，调节水流的流速主要通过调节变频器控制的步进电机供水泵来实现，在0~50 Hz的频率范围内连续可调，实验段尺寸为530 cm × 25 cm × 38 cm.实验模型包括一块尺寸为240 cm × 38 cm × 1.5 cm的有机玻璃大平板，以及两块可镶嵌到大平板方槽中的亲水平板和超疏水平板(28 cm × 28 cm × 1.5 cm)，方槽距大平板前缘190 cm.平板与水槽底面平行放置并固定于水槽中心线，前端为8:1半椭圆修形，在距前缘8 cm位置加拌线以获得充分发展的湍流边界层.实验中用到的微纳二重结构超疏水板由清华大学姚朝晖课题组^[23]制作，其接触角为161°，滚动角为0.9°.

TRPIV 系统是基于PIV原理的高时间分辨率粒子图像测速技术，它拥有高速CCD相机以及高频脉冲激光器.实验中激光片光源、 高速CCD相机及平板的相对布置情况如图 1所示. 示踪粒子为直径20 μm的空心玻璃微珠，粒子密度为1.03 g/cm³.水槽中自由来流速度保持在0.165 m/s，经测量水温为21℃，此时水的密度和动力黏度分别为998 kg/m³，1.003 × 10^-3 kg/(m·s)，水槽来流的背景湍流度小于0.7%.所用相机的采样频率为500 Hz，脉冲时间间隔2 000 μs，单帧曝光时间1 500 μs，每种壁面结果记录6 547张图像(像素为1 280×1 024).对原始图像采用互相关算法进行处理，图像视野实际大小56.6 mm × 45.1 mm(流向×法向)，查询窗口像素设置为32×32，窗口重叠率为75%，得到的瞬时速度场中具有157×125(流向×法向)个速度矢量，对应流向和法向相邻矢量之间的实际距离为0.36 mm.

2 实验结果

对实验结果进行处理得到湍流边界层的平均壁面摩擦速度$u_\tau $，进一步得到平均壁面摩擦力${{\tau }_{\omega }}=\rho u_{\tau }^{2}$，从而求得亲水板和超疏水板平均壁面摩擦阻力系数分别为${{C}_{\text{fPH}}}=0.004589,{{C}_{\text{fSH}}}=0.004322$，由$\eta = 1 - C_{\rm fSH} / C_{ \rm fPH}$ 计算出减阻率为5.8%.图 2是无量纲平均速度剖面曲线，其中${{y}^{+}}=y{{u}_{\tau }}/\nu ,{{u}^{+}}=u/{{u}_{\tau }}$. 由图 2可知，在整个检测区域，超疏水壁面的无量纲速度均大于亲水壁面，相对于亲水壁面，超疏水壁面缓冲层变厚，对数律层外移，这些都是超疏水壁面减阻的特征.图 3为两种壁面拍摄区域内综合湍流度在法向上的分布，可以看出，在同一法向位置，超疏水壁面综合湍流度均小于亲水壁面，代表超疏水壁面湍流脉动幅值相对较弱.

3 发卡涡展向涡头及逆向涡的检测

为了研究超疏水壁面对湍流边界层中相干结构的影响，需要从瞬时速度场中识别提取大尺度展向涡结构^[24]，因此，准确识别涡心和排除小尺度涡的干扰是需首要解决的问题.本文利用空间多尺度局部平均涡量^[25]的概念来提取完整的展向涡结构. 流场中xy平面中一点的展向涡量为${{\omega }_{z}}=\partial v/\partial x-\partial u/\partial y$，但此式只能表示空间单点的旋度场，为了突出湍涡的尺度特征和整体旋转特征，使其更加符合湍涡本身的实际情况，本文在二维流场中的流向和法向选择了湍涡尺度l_x ，l_y ，作了如下定义

$\begin{align} & \overline{\omega \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{x}},{{l}_{y}} \right)}=\delta {{v}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{x}} \right)- \\ & \delta {{u}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{y}} \right) \\ \end{align}$

(1)

其中

$ \delta v_x \left( {x_0 ,y_0 ,l_x } \right) = \overline {{ v}\left( {x_0 + x,y_0 } \right)} _{x \in \left[{0,l_x } \right]} - \overline {{ v}\left( {x_0 - x,y_0 } \right)} _{x \in \left[{0,l_x } \right]} $

(2)

$\delta u_y \left( {x_0 ,y_0 ,l_y } \right) = \overline {{ u}\left( {x_0 ,y_0 + y} \right)} _{y \in \left[{0,l_y } \right]} - \overline {{ u}\left( {x_0 ,y_0 -y} \right)} _{y \in \left[{0,l_y } \right]} $

(3)

式中，u ,v分别表示流向法向的脉动速度矢量，$\delta {{v}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{x}} \right)$代表 v在流向l_x尺度范围内的局部平均结构函数，$\delta {{u}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{y}} \right)$代表 u在法向l_y尺度范围内的局部平均结构函数，则$\overline{\omega \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{x}},{{l}_{y}} \right)}$作为二者之差，表示在x₀ ,y₀空间位置，流向尺度l_x,法向尺度l_y 的一个展向湍涡.

湍流边界层中存在大量发卡涡以及发卡涡包，因此可在xy平面检测出大量发卡涡展向涡头，本文检测了流场中发卡涡展向涡头的中心，即$\overline{\omega \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{l}_{x}},{{l}_{y}} \right)}$负的极值点，还检测了正的极值点，称之为逆向涡的涡心.根据上式定义的局部涡量计算公式，现定义如下检测函数

$\begin{align} & {{D}_{1}}\left( x,y \right)= \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1,\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \overline{\omega \left( x,y \right)}＜0 \\ \overline{\omega \left( x-1,y \right)}>\overline{\omega \left( x,y \right)}\And \overline{\omega \left( x+1,y \right)}>\overline{\omega \left( x,y \right)} \\ \overline{\omega \left( x,y-1 \right)}>\overline{\omega \left( x,y \right)}\And \overline{\omega \left( x,y+1 \right)}>\overline{\omega \left( x,y \right)} \\ \end{array} \right. \\ 0,\text{otherwise} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}$

(4)

$\begin{align} & {{D}_{2}}\left( x,y \right)= \\ & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1,\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \overline{\omega \left( x,y \right)}>0 \\ \overline{\omega \left( x-1,y \right)}＜\overline{\omega \left( x,y \right)}\And \overline{\omega \left( x+1,y \right)}\text{ }＜\overline{\omega \left( x,y \right)}\text{ } \\ \overline{\omega \left( x,y-1 \right)}＜\overline{\omega \left( x,y \right)}\And \overline{\omega \left( x,y+1 \right)}＜\overline{\omega \left( x,y \right)} \\ \end{array} \right. \\ 0,\text{otherwise} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}$

(5)

其中，${{D}_{1}}\left( x,y \right),{{D}_{2}}\left( x,y \right)$分别为顺向涡、逆向涡中心识别函数.若检测到涡心位置，接下来任务就是如何提取大尺度涡，本文利用各物理量在一定尺度范围内的空间相位平均拓扑^[26]来实现涡结构的提取，即沿法线分层检测涡心并在同层进行叠加平均，获得展向涡特征的统计结果，当$D\left( {x^\ast \left( m \right),y^\ast \left( m \right)} \right) = 1$，计算公式如下

$f\left( {{x}_{L}},{{y}_{L}} \right)=\frac{1}{N}\sum\limits_{m=1}^{N}{f}\left( {{x}^{*}}\left( m \right)+{{x}_{L}},{{y}^{*}}\left( m \right)+{{y}_{L}} \right)$

(6)

式中，${{x}_{L}}\in \left[ -\frac{{{l}_{x}}}{2},\frac{{{l}_{x}}}{2} \right],{{y}_{L}}\in \left[ -\frac{{{l}_{y}}}{2},\frac{{{l}_{y}}}{2} \right],\left( {{x}^{*}}\left( m \right),{{y}^{*}}\left( m \right) \right)$表示第m次检测到的展向涡心位置，l_x,l_y 分别取64、32倍矢量间距. 并记录下检测出的展向涡的个数N.

3.1 发卡涡展向涡头α角以及逆向涡对顺向涡的抑制效果

图 4(a)和图 4(b)分别为亲水壁面与超疏水壁面发卡涡在$x y$ 平面检测到的展向涡头结构^[27].速度滞止点在流线场中呈现鞍点结构，处于展向涡头上游剪切层上，涡核表现为焦点结构，流线呈螺旋线结构顺时针旋转.由Elsinga等^[28]的观点可知，展向涡头的法向尺度随着壁面法向距离的增加而变大，展向涡头由椭圆形涡逐渐发展为圆形涡，发展的更为完整.因此，用过鞍点的剪切线(与上方剪切层相切)与水平方向的夹角表示发卡涡展向涡头发展的充分性，用α角来表示.Tian等^[29]同样通过TRPIV实验方法得到结论：在两种壁面中，α角随着法向位置的增高而增大，在相同法向高度，超疏水壁面α角均小于对应亲水壁面，说明了超疏水壁面发卡涡的发展受到抑制. 图 4为在Y⁺=75.0处顺向涡涡心的检测结果，图中显示，超疏水壁面α角为24.5°，而在同一法向位置亲水壁面为 33°，明显大于超疏水壁面. 仔细观察图 4(b)可以发现，在超疏水壁面展向涡的左下方有一个相对较小的逆向涡(由蓝色椭圆标志，逆时针旋转)，正是逆向涡的上剪切层与顺向涡的下剪切层相互作用，使顺向涡的流向尺度拉伸，抑制法向尺度的成长，使超疏水壁面α角明显小于亲水壁面，证明逆向涡的出现可阻碍发卡涡的进一步增强.逆向涡与展向涡的这种相互作用使逆向涡具有进一步研究的意义.

3.2 逆向涡的研究

逆向涡是由低速条带与其下方较为快速的流体相互剪切所产生，必须在顺向发卡涡头离开壁面一定远的距离下才会产生.

3.2.1 亲水和超疏水两种壁面顺向涡和逆向涡相对位置的对比

本节针对一对顺向涡和逆向涡位置关系在亲水和超疏水两种壁面相同法向高度进行对比研究，观察涡结构的内部特征.图 5为亲水、超疏水壁面在不同法向位置提取到的逆向涡结果(逆向涡涡心的检测位置依次为Y⁺=58.0,Y⁺=61.5,Y⁺=65.0).与提取顺向涡(图 4)相比，顺向涡和逆向涡相对位置更加明显，这是由于顺向涡数量远大于逆向涡所致. 图 5中，提取的逆向涡右上方始终存在一个顺向涡，但是因为检测区域是以逆向涡涡心为中心叠加而获得，而顺向涡相对逆向涡位置会有一定的变化，所以同时提取到的顺向涡会表现出不完整性.

虽然提取到的顺向涡不完整，但是获得的顺向涡涡心仍然含有其位置统计量信息，可用来研究顺向涡和逆向涡相对位置关系.图 5中逆向涡始终处于顺向涡的左下方，再次验证了逆向涡是涡环结构或者$\Omega$型涡截面的推断，可称顺向涡和逆向涡涡心连线与壁面的夹角为β角.由图 5可以明显看出，在相同法向位置，超疏水壁面涡结构β角均大于亲水板. β角越大，逆向涡越接近发卡涡头正下方，而发卡涡头附近伴随强烈的上抛和下扫^[30]，在壁面法向进行动量输运，逆向涡越接近发卡涡头正下方对顺向发卡涡的反向抑制作用越大.图中左下方的逆向涡明显阻挡右上方发卡涡头附近的下扫行为，同时也通过流向拉伸发卡涡头来减弱其上抛运动.与顺向涡可形成剪切层原理^[31]相似，逆向涡使其上方流体减速，下方流体增速，也可形成具有正涡量的剪切层^[21]，该剪切层可阻挡上方大尺度结构与壁面的强烈剪切，从而实现壁面减阻.而近壁面逆向涡的存在，使靠近壁面的流体加速，可能是造成超疏水壁面减阻更直接的原因.

3.2.2 亲水和超疏水两种壁面逆向涡数量随法向的变化

图 6为检测到的亲水和超疏水两种壁面上逆向涡数目沿法向分布规律，由图 6可知，在对数区的内边界以下(y⁺<40)，没有逆向涡的存在，但在边界层外区(y⁺>50)，逆向涡的数量逐渐增加并趋于稳定.图 7表示两种壁面上的逆向涡和顺向涡数目比沿法向分布规律，由图可知，亲水和超疏水两种壁面逆向涡与顺向涡数目比都在随着法向距离的增加而增大，分别达到了0.30 (SH)和0.24 (PH)，但是超疏水壁面二者的比值始终大于亲水壁面，这表明，阻力小的超疏水壁面逆向涡出现概率更大. 结合上文中逆向涡对顺向涡抑制的结论可知：更多逆向涡的出现有助于减阻的发生.

4 结论

本文利用高时间分辨率粒子图像测速技术分别对超疏水和亲水壁面的平板湍流边界层瞬时速度场进行测量，得到超疏水壁面在雷诺数$Re \approx 13 500$时减阻率达到5.8%，研究了两种壁面中顺向涡和逆向涡相对位置及其相互作用，并对两者数量进行比较，联系超疏水壁面减阻结果进行讨论，得到以下结论：逆向涡可抑制上方顺向涡与壁面的强烈剪切，并使靠近壁面的流体加速，从而产生减阻效果；超疏水壁面中涡结构β角均大于亲水板，使其对发卡涡头附近强烈的上抛和下扫有较明显的抑制作用；超疏水壁面逆向涡数量在外区(y⁺>50)明显多于亲水壁面，结合超疏水减阻结果，证明逆向涡的存在有助于壁面湍流边界层的减阻.