0 引言

灵敏度分析主要研究的是：模型的输出不确定性是如何分配到输入不确定性的^[1].灵敏度主要分为：局部灵敏度^[2-3]和全局灵敏度^[4].局部灵敏度定义为：输入变量取名义值时功能函数的偏导数，其无法提供输入变量在整个取值范围内的综合灵敏度信息.全局灵敏度以其能够反映输入变量在其整个分布范围的不确定性对输出响应不确定性的影响而被广为应用.目前，全局灵敏度的分析模型主要分为3类：非参模型(相关系数模型)^[5-6]、基于方差的模型^[7-10]和矩独立模型^[11-14].非参模型无法解决非线性模型，并且对于输入变量的高阶交叉影响项也无法提供充足的灵敏度信息，因此不具有"模型独立性".基于方差的灵敏度指标从输入输出函数关系的角度直接给出了输入变量对功能函数输出方差的贡献，其满足"全局性、可量化性及模型独立性".然而，方差仅是输出不确定性的一部分信息，其不能从整个分布的角度衡量输入变量的重要性信息.基于此，Borgonovo和Apostolakis^[2]提出了矩独立全局灵敏度指标，其从输出整个分布的角度考虑了输入变量的重要性，该指标在满足基于方差的灵敏度指标所具有的"全局性、可量化性及模型独立性"的基础上同时也满足"矩独立性".在Borgonovo和Apostolakis^[2] 提出的矩独立全局灵敏度的基础上，Cui等^[15]提出了基于失效概率的矩独立全局灵敏度指标，其主要衡量的是输入变量的不确定性对结构系统失效概率影响的大小.Li等^[16]随后建立了失效概率矩独立全局灵敏度指标与方差全局灵敏度指标的关系.然而，如何高效准确地计算该指标，仍亟待解决.

目前计算该指标的方法分为两类：基于代理模型的方法^[16-17]和基于数字模拟的方法^[18].本文主要致力于研究高效准确的数字模拟法. 在基于数字模拟的方法中，Wei等^[18]提出了单层Monte Carlo 模拟法(MCS)、重要抽样法及截断重要抽样法3种计算该指标的方法，虽然重要抽样法及截断重要抽样法的计算效率远高于MCS，但是其计算量依然与维数呈线性相关.本文为了解决失效概率矩独立全局灵敏度指标计算中的维数相关性，将空间分割^[19-20]及重要抽样的思想相结合，选择密度中心在设计点处的密度函数作为重要抽样密度函数，通过重要抽样使得样本落入失效域的概率增加，以此来获得高的抽样效率和快的收敛速度；再通过对重要抽样得到的样本空间进行不同的划分从而近似估计各个输入变量的失效概率矩独立全局灵敏度指标值.本文所提方法大大提高了样本的利用率，并且计算量与输入变量的维数无关.通过工程算例的计算结果，可以看出本文所提方法在计算精度及收敛速度方面都远高于Wei等^[9]提出的单层MCS以及重要抽样法.

1 基于失效概率的矩独立全局灵敏度指标的

对于可靠性模型$Y = g({ X})$，$Y$为结构或系统的输出，${ X} = (X_1 ,X_2 ,\cdots,X_n)$为结构或系统的随机输入变量，$g( \cdot )$为模型功能函数. 失效域指示函数$I_{ F} $定义为

${I_F}(X) = \left\{ {\matrix{ {1,X \in F} \cr {0,X \notin F} \cr } } \right.$

(1)

式中，${ F }= \{{ X}:g({ X}) ≤ 0\}$是由功能函数$g({ X})$定义的失效域.因此结构系统的失效概率为

${P_{{f_Y}}} = \int_{{R^n}} {{I_F}} (x){f_X}(x){\rm{d}}x = \int_F {{f_X}} (x){\rm{d}}x$

(2)

其中$f_{ X} ({ x})$为输入变量${ X}$的联合概率密度函数.

为更好地分析输入变量在其分布范围内变化时对结构系统失效概率的影响程度，Cui等^[15]定义了基于失效概率的矩独立全局灵敏度指标

$ \delta _i^P = E_{X_i } \left( {P_{f_Y } - P_{f_{Y | X_i } } } \right)^2 =\\ \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {P_{f_Y } - P_{f_{Y| X_i } } } \right)^2f_{X_i } (x_i ) d x_i } $

(3)

其中$P_{f_{Y| X_i } } $是$X_i $变量固定在某一名义值时结构或系统的条件失效概率，$f_{X_i } (x_i)$是输入变量$X_i $的概率密度函数.

Li等^[16]证明了

$ \delta _i^P = V_{X_i } (E_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i )) $

(4)

Wei等^[18]通过添加$V(I_{ F})$这一常数项，使得失效概率矩独立全局灵敏度指标与基于方差的全局灵敏度指标在形式上完全统一，即

$ S_i = \dfrac{V_{X_i } (E_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i )}{V(I_{ F} )} $

(5)

通过求解式(5)所示的指标，可以确定影响失效概率的重要变量，从而控制重要变量的不确定性，以达到最大程度地降低结构或系统失效概率的目的.

2 基于空间分割和重要抽样的S_i计算新方法 2.1 基于空间分割的S_i近似计算公式

本节首先利用文献^[20]中的方法，给出失效概率矩独立全局灵敏度指标的近似计算公式；然后证明在有限连续不重叠区间划分基础上的全期望和全方差公式；在该全方差公式的基础上将$S_i$的近似表达式变换为易于计算的条件低阶矩的高阶矩形式，进而提高$S_i $的近似计算精度和效率. 由文献^[20]可知

$ { E}_{X_i } (V_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i )) =\\ \sum_{k = 1}^s {p_k (V(I_{ F} | X_i \in A_k ) - V_{X_i } (E(I_{ F} | X_i } ) | X_i \in A_k )) =\\ E_{A_k } (V(I_{ F} | X_i \in A_k )) - \sum_{k = 1}^s {p_k } V_{X_i } (E(I_{ F} | X_i ) | X_i \in A_k ) $

(6)

其中，${p_k} = \int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} d {F_{{X_i}}}(x) = {F_{{X_i}}}({a_k}) - {F_{{X_i}}}({a_{k - 1}}) ({F_{{X_i}}}\left( \cdot \right)$是随机输入变量$X_i $的累积分布函数)为$X_i $落在区间$[a_{k - 1} ,a_k]$上的概率，$s$是将$X_i $的取值范围$[b_1 ,b_2]$划分为连续无重叠区间$A_k = [a_{k - 1} ,a_k]$ $(k =1,2,\cdots,s)$的个数，当$\Delta a = \mathop {\max }\limits_k | a_k - a_{k - 1} | \to 0$，$\sum_{k = 1}^s{p_k } V_{X_i } (E(I_{ F} | X_i ) | X_i \in A_k ) \to 0$. 因此，根据全方差公式^[21]、式(6)及$S_i$的定义，可得当$\Delta a \to 0$时的$S_i $的近似计算式如下

$ S_i = \dfrac{V_{X_i } (E_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i ))}{V(I_{ F} )} =\\ 1 - \dfrac{E_{X_i } (V_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i ))}{V(I_{ F} )} \approx 1 - \dfrac{E_{A_k } (V(I_{ F} | X_i \in A_k ))}{V(I_{ F} )} $

(7)

式(7)虽然使得求解所有变量的$S_i $可以利用同一组样本，但是在计算区间$A_k $上的条件二阶矩$V(I_{ F} | X_i\in A_k )$时可能会出现较大误差，这主要来源于有限样本容量下式(7) 成立的基本前提$\Delta a \to 0$与计算$V(I_{F} | X_i \in A_k )$需要较多的样本数之间的互相牵制. 当样本数一定时，使得$\Delta a \to 0$，则落入$A_k$区间上的样本就会很少，这样必然导致计算$V(I_{ F} | X_i \in A_k )$时产生较大误差.若能将二阶条件矩$V(I_{ F} | X_i \in A_k )$转化为一阶条件矩$E(I_{ F} | X_i \in A_k)$，则在相同样本数下计算精度会大幅提高，为此，以下将首先证明在有限连续不重叠区间上的全期望和全方差公式.

2.2 连续不重叠区间上的全期望和全方差公式

在输入变量相互独立时将$X_i $的取值区间$[b_1 ,b_2]$划分为$s$个连续互不重叠的子区间${A_k} = [{a_{k - 1}},{a_k}]{\rm{ }}(k = 1,2, \cdots ,s)$，则当$X_i $固定在子区间$A_k $内，$I_{ F} $的条件期望为

$\eqalign{ & E({I_F}|{X_i} \in {A_k}) = \cr & \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } \cdots } \int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{I_F}} (x)f_X^ * (x)d{x_i}\prod\limits_{j = 1,jei}^n d {x_j} \cr} $

(8)

其中，$f_{ X}^\ast ({ x})$是$X_i $减缩到区间$A_k = [a_{k - 1} ,a_k]$时的概率密度函数，其表达式如下

$ f_{ X}^\ast ({ x}) = \left\{ \begin{array}{cl} \dfrac{f_{ X} ({ x})}{\int_{a_{k - 1} }^{a_k } f_{X_i } (x_i ) d x_i } ,& x_i \in [a_{k - 1} ,a_k] \\ 0 ,& x_i otin [a_{k - 1} ,a_k] \end{array} \right. $

(9)

因此，将式(9)代入到式(8)中得

$\eqalign{ & E({I_F}|{X_i} \in {A_k}) = {1 \over {\int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{f_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}} \cdot \cr & \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } \cdots } \int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{I_F}} (x){f_X}(x)d{x_i}\prod\limits_{j = 1,jei}^n d {x_j} \cr} $

(10)

由于$\bigcup\limits_{k = 1}^s A_k = [b_1 ,b_2]$，因此$E_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k ))$有如下表达

$\eqalign{ & {E_{{A_k}}}(E({I_F}|{X_i} \in {A_k})) = \cr & \sum\limits_{k = 1}^s {P\{ {X_i} \in {A_k}\} \cdot E({I_F}|{X_i} \in {A_k})} = \cr & \sum\limits_{k = 1}^s {\int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{f_{{X_i}}}({x_i})d{x_i} \cdot {1 \over {\int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{f_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}}} } \cdot \cr & \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } { \cdots \int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{I_F}(x){f_X}(x)d{x_i}} \prod\limits_{j = 1,jei}^n {d{x_j}} } } = \cr & \sum\limits_{k = 1}^s {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } { \cdots \int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{I_F}(x){f_X}(x)d{x_i}} } } } \prod\limits_{j = 1,jei}^n {d{x_j}} = \cr & \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } { \cdots \int_{{b_1}}^{{b_2}} {{I_F}(x){f_X}(x)} } } dx = E({I_F}) \cr} $

(11)

式(11)证明了在连续区间上的全期望公式，即$E_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k )) = E(I_{ F})$，基于此，可以继续得到$A_k (k = 1,2,\cdots,s)$上的全方差公式，证明过程如下

$ V_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k )) =\\ E_{A_k } (E^2(I_{ F} | X_i \in A_k )) - E_{A_k }^2 (E(I_{ F} | X_i \in A_k ))= \\ E_{A_k } (E^2(I_{ F} | X_i \in A_k )) - E^2(I_{ F} ) $

(12)

$ E_{A_k } (V(I_{ F} | X_i \in A_k )) =\\ E_{A_k } (E(I_{ F}^2 | X_i \in A_k ) - E^2(I_{ F} | X_i \in A_k )) =\\ E(I_{ F} ^2) - E_{A_k } (E^2(I_{ F} | X_i \in A_k )) $

(13)

将式(12)与式(13)相加得

$ E_{A_k } (V(I_{ F} | X_i \in A_k ) + V_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k )) = V(I_{ F} ) $

(14)

2.3 基于连续区间上的全方差公式和重要抽样的 S_i的近似计算

基于式(14)的连续区间上的全方差公式，对式(7)的近似式进行等价变形如下

$ S_i \approx 1 - \dfrac{E_{A_k } (V(I_{ F} | X_i \in A_k ))}{V(I_{ F} )} =\\ 1 - \dfrac{V(I_{ F} ) - V_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k ))}{V(I_{ F} )} =\\ \dfrac{V_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k ))}{V(I_{ F} )} $

(15)

由式(15)可知原始近似计算式中的二阶条件矩$V(I_{ F} | X_i \in A_k )$项转换成了一阶条件矩$E(I_{ F} |X_i\in A_k )$计算项，在相同样本的情况下，高维模型一阶矩(均值)$E({I_F}|{X_i}{\rm{ }} \in {A_k})$的计算较二阶矩(方差)$V(I_{ F} | X_i \in A_k )$ 更精确，并且在样本容量$N$一定的情况下，$\Delta a\to0$与$s$在数量上的增加是一致的，而$s$的增加意味着计算$V_{A_k } ( \cdot )$的样本增加，从而估计$V_{A_k } (\cdot)$的精度也是提高的；而对于式(7)，$\Delta a \to0$时，内层的二阶方差估计常常是错误的，内层的错误结果必然导致外层的计算错误.因此，本文通过连续区间上的全方差公式等价变形后的计算式可以合理而高效地估计$S_i $.

失效概率矩独立全局灵敏度指标的空间分割方法计算中的抽样与方差灵敏度指标的空间分割方法中的抽样要求是不同的，前者要求尽可能多的样本点落入到失效域中，然而，一般的简单随机抽样，低偏差抽样是难以满足的. 因此，本文将重要抽样与空间分割结合，利用重要抽样^[22-26]将抽样中心平移到设计点处，使得抽取出的样本以较大的概率落入失效域而加快计算的收敛速度，再通过空间分割，重复利用重要抽样所产生的样本，计算得到所有变量的灵敏度指标. 重要抽样结合空间分割计算失效概率矩独立全局灵敏度指标的推导如下

$\eqalign{ & E({I_F}|{X_i} \in {A_k}) = \int_{{A_k}} {{I_F}} (x){{{f_X}(x)} \over {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}}dx = \cr & \int_{{A_k}} {{I_F}} (x) \cdot {{{f_X}(x)} \over {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}} \cdot \cr & {{\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}} \over {{H_X}(x)}} \cdot {{{H_X}(x)} \over {\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}}dx = \cr & {{\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}} \over {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}} \cdot \int_{{A_k}} {{I_F}} (x){{{f_X}(x)} \over {{H_X}(x)}} \cdot \cr & {{{H_X}(x)} \over {\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}}dx = \cr & {{\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}} \over {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}} \cdot {E_{{A_k}|H_X^*(x)}}[{I_F}(x){{{f_X}(x)} \over {{H_X}(x)}}] \cr} $

(16)

其中$H_{ X} ({ x})$为全局的重要抽样密度，$E_{A_k | H_{ X}^\ast ({ x})} ( \cdot )$表示在$X_i$减缩到$A_k$区间内的重要抽样密度函数$H_{ X}^\ast ({ x})$下的数学期望算子，且

$\eqalign{ & H_X^ * (x) = \left\{ {\matrix{ {{{{H_X}(x)} \over {\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}} ({x_i})d{x_i}}},} \hfill & {{x_i} \in {A_k}} \hfill \cr {0,} \hfill & {{x_i}otin{A_k}} \hfill \cr } } \right. \cr & {E_{{A_k}}}(E({I_F}|{X_i} \in {A_k})) = \cr & \sum\limits_{k = 1}^s {P\{ {X_i} \in {A_k}} \} \cdot E({I_F}|{X_i} \in {A_k}) = \cr & \sum\limits_{k = 1}^s {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}({x_i})d{x_i}} } \cdot {{\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}({x_i})d{x_i}} } \over {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}({x_i})d{x_i}} }} \cdot \cr & {E_{{A_k}|H_X^ * (x)}}\left[ {{I_F}(x){{{f_X}(x)} \over {{H_X}(x)}}} \right] = \cr & \sum\limits_{k = 1}^s {\int_{{A_k}} {{H_{{X_i}}}({x_i})d{x_i}} } \cdot {E_{{A_k}|H_X^ * (x)}}\left[ {{I_F}(x){{{f_X}(x)} \over {{H_X}(x)}}} \right] \cr} $

(17)

$\eqalign{ & {V_{{A_k}}}(E({I_F}|{X_i} \in {A_k})) = \sum\limits_{k = 1}^s {\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}({x_i})d{x_i}} } \cdot \cr & {\left( {E({I_F}|{X_i} \in {A_k}) - {E_{{A_k}}}(E({I_F}|{X_i} \in {A_k}))} \right)^2} \cr} $

(18)

通过式(16) $\sim$式(18)的推导，本文给出了如何将重要抽样和空间分割结合来高效计算失效概率矩全局灵敏度指标的计算式，下一小节将给出具体的计算流程.

2.4 基于失效概率的矩独立全局灵敏度指标的计算流程

第一步：采用改进的一次二阶矩方法计算出最可能失效点(设计点) ${ x}_{\rm MPP}$^{[23, 27]},将${x}_{\rm MPP}$作为抽样中心构造全局重要抽样密度函数$H_{ X}({x})$，采用低偏差抽样方式^[28]根据$H_{ X} ({ x})$抽取$N\times n$样本矩阵${ A}$，即

$ { A} = \left[\!\!\begin{array}{cccc} {x_1^{(1)} } & {x_2^{(1)} } & \cdots & {x_n^{(1)} } \\ {x_1^{(2)} } & {x_2^{(2)} } & \cdots & {x_n^{(2)} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {x_1^{(N)} } & {x_2^{(N)} } & \cdots & {x_n^{(N)} } \end{array} \!\! \right]$

(19)

第二步：依据失效域指示函数$I_{ F} ({ x})$的定义，计算${A}$样本矩阵对应的失效域指示值$\{I_{ F}^1 ,I_{ F}^2 ,\cdots,I_{ F}^N \}$，$I_{ F}$的方差可以通过样本方差$\widehat{V}(I_{ F} )$来近似得到.

第三步：等样本数连续地将$X_i $的样本空间划分为$s$个无重叠的子区间$A_k = [a_{k - 1} ,a_k]$，$1≤ k ≤ s$，计算$\int_{A_k } {H_{X_i } (x_i ) d x_i } $及$\int_{{A_k}} {{f_{{X_i}}}({x_i}){\rm{ }}d{x_i}} $，即

$ P_{X_i }^H (A_k ) = \int_{a_{k - 1} }^{a_k } {H_{X_i } (x_i )d x_i } $

(20)

$P_{{X_i}}^f({A_k}) = \int_{{a_{k - 1}}}^{{a_k}} {{f_{{X_i}}}({x_i})d{x_i}} $

(21)

根据$A_k $找到与之相对应的输出样本的子集，即

$ B_k = \{I_{ F} | X_i \in A_k \} ,1 ≤ k ≤ s$

(22)

那么$E_{A_k | H_{ X}^\ast ({ x})} \left[{I_{ F} ({ x})\dfrac{f_{ X} ({ x})}{H_{ X}({ x})}} \right]$及 $E(I_{ F} | X_i \in A_k )$可由下式估计得到

$ E_{A_k | H_{ X}^\ast ({ x})} \left[{I_{ F} ({ x})\dfrac{f_{ X} ({ x})}{H_{ X} ({ x})}} \right] = E\left( {B_k \cdot \dfrac{f_{ X} ({ x}) | x_i \in A_k }{H_{ X} ({ x}) | x_i \in A_k } } \right)$

(23)

$ E(I_{ F} | X_i \in A_k ) = E(B_k )$

(24)

第四步：条件期望的方差项$V_{X_i } (E_{{ X}_{ - i}} (I_{ F} | X_i))$由下式近似估计

$ \widehat{V_{X_i } }(E_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i )) = \sum_{k = 1}^s P_{X_i }^f (A_k ) \cdot \\ \left( {E(B_k ) - \sum_{k = 1}^s P_{X_i }^H (A_k )E\left( {B_k \cdot \dfrac{f_{ X} ({ x}) | x_i \in A_k }{H_{ X} ({ x}) | x_i \in A_k }} \right) } \right)^2$

(25)

因此，$S_i $有如下估计

$ \widehat{S}_i = \dfrac{\widehat{V_{X_i } }(E_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i ))}{\widehat{V}(I_{ F} )}$

(26)

本文所提重要抽样结合空间分割的思想，在计算$S_i $指标中，对不同的$X_i $仅需对$\{I_{ F}^1 ,I_{ F}^2,\cdots,I_{ F}^N \}$进行不同划分即可估计出所有变量的失效概率矩独立全局灵敏度指标$S_i $.因此，可以看出本文所提方法对样本利用率的提高，并且计算量仅为抽样数$N$，其与模型的输入维数无关，提高了计算效率.

2.5 空间划分策略

式(15)的估计值趋于真实值的前提条件是$\Delta a = \mathop {\max }\limits_k | a_k - a_{k - 1} | \to 0$，但在实际处理当中，$\Delta a = \mathop{\max }\limits_k | a_k - a_{k - 1} |$不能无限趋于0，因为若其无限趋于0，那么子区间内包含的样本数过少而不能准确地估计$E(I_{ F} | X_i \in A_k )$，从而导致计算结果的错误. 然而，$\Delta a = \mathop{\max }\limits_k| a_k - a_{k - 1} | $也不能太大，这样将不满足$V_{A_k } (E(I_{ F} | X_i \in A_k))$近似估计$V_{X_i }(E_{{ X}_{ - i} } (I_{ F} | X_i ))$的前提假设. 为此，本文定义累加灵敏度指标：$T = \sum_{i =1}^n{\widehat{S_i }}$.由于本文对重要抽样密度采用sobol序列^[29-30](低偏差抽样)进行抽样，利用sobol序列抽样时，建议抽取$2^k(k\in Z^ + )$个样本，根据该原理，每个子区间内也应有$2^{k'}(k' \in Z^+)$个样本，因此，区间划分情况是有限的，即$k$种情况，例如128个样本的情况下，其可有8种划分方式，即每个区间里可有2,4,8,16,32,64,128个样本.那么，通过计算$k$种划分情况下的$T$值($k$种划分情况中并不需要重新调用功能函数，只需利用已有的样本重新组合而已，因而计算量可以忽略不计)，采用相邻的$T$值较为接近的两组结果的平均作为最终$S_i $的估计值.

3 算例分析 3.1 矩形截面悬臂梁

矩形截面悬臂梁受到水平和竖直方向的载荷$X$和$Y$的作用，以其自由端位移不超过$D_0 $为约束建立极限状态方程为

$ g = D_0 - D(E,X,Y,w,t,L)$

(27)

其中，$D(E,X,Y,w,t,L) = \dfrac{4L^3}{Ewt}\sqrt {\left( {\dfrac{X}{w^2}} \right)^2 + \left( {\dfrac{Y}{t^2}}\right)^2} $，$E$，$w$和$t$分别为材料的弹性模量、梁的宽度和厚度，且$w$，$t$和$L$为常数，$w = 2.488 4$ m，$t =3.888 4$ m，$L = 100$ m，$E$，$X$和$Y$为服从正态分布的随机变量，其分布参数如表 1所示.

通过表 2对不同样本及不同区间划分情况下$T$的计算，我们可以选出不同样本情况下合理的划分策略.128个样本情况下采用子区间内包含8及16个样本这两种情况下的平均值，256个样本时采用子区间内包含16及32个样本这两种情况的平均值，512及1 024个样本情况下区间划分方式可相应地从表 2中读出. 选择好区间划分方式后，给出了各个输入变量灵敏度指标估计值随样本量增加的变化图，及100次重复计算的标准差.如图 1所示，可以看出本文方法计算结果的收敛速度很快，随着样本数的增加，计算结果的标准差很快趋于0，从而说明本文方法具有较高的稳健性.通过表 3，与文献^[18]所提方法100次重复计算结果的标准差对比，可以看出本文所提方法收敛速度远高于文献^[18]的方法.并且本文所提方法的计算量与输入维数无关，仅通过重复利用产生的一组样本即可得到所有输入变量的失效概率矩独立全局灵敏度指标值，而文献^[18]方法的计算量与输入维数线性相关为：$N (n + 2)$，其中$n$为输入变量的维数.

3.2 屋架结构

如图 2所示是一屋架结构的示意图，屋架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其他拉杆采用钢杆. 设屋架承受均布载荷$q$作用，将均布载荷$q$化成节点载荷$P= \dfrac{ql}{4}$. $C$点的向下挠度不大于0.025 m 时认为系统是可靠的. $C$点的位移为 $\varDelta _c = \dfrac{ql^2}{2} \Big(\dfrac{3.81}{A_{\rm c} E_{\rm c} } + \dfrac{1.13}{A_{\rm s} E_{\rm s} }\Big)$，该结构的极限状态函数为

$ g = 0.025 - \varDelta _c$

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随机输入变量$q$，$l$，$A_{\rm s} $，$A_{\rm c} $，$E_{\rm s} $及$E_{\rm c}$均服从正态分布，其分布参数如表 4所示.通过对$T$的计算结果，可以选择出在不同样本下区间的划分方式，从而计算得到$S_i $. $S_i$的计算结果如图 3所示，通过图 3的计算结果可以看出512次模型调用的结果就已经与MCS计算结果(表 5所示)非常接近了，并且通过图 4标准差随样本数的变化图可以看出本文所提方法的收敛速度及稳健性都是非常高的.从表 6中可以看出本文所提方法计算结果的收敛速度及稳健性都较文献^[18]的重要抽样法高，因此说明了本文方法的工程适用性.

4 总结

本文将连续区间上的全方差公式、空间分割及重要抽样法相结合，提出了一种高效准确计算失效概率矩独立全局灵敏度指标的方法，该方法通过重要抽样密度高效地抽取到失效的样本点，再通过空间分割的思想重复利用这一组样本即可得到所有随机输入变量的灵敏度指标，该方法的计算量与输入变量的维数无关，大大提高了样本的利用率和计算效率. 通过与文献^[18]提出的单层MCS结合重要抽样方法对比，说明了本文所提方法有较高的准确性、高效性及稳健性. 由于本文采用的是改进的一次二阶矩方法寻找设计点，因此，对于非线性程度较高的功能函数及多设计点的情况，该方法的使用将受到限制.