由Birkhoff GD开创的、Santilli RM发展的Birkhoff力学^{[1, 2]}，已取得重要发展.Santilli在其著作中指出^[2]，Birkhoff力学是最一般可能的力学，它可应用于强子物理、空间力学、统计力学、生物物理、 工程等.本文对Birkhoff力学的形成、发展以及未来研究做一综述，包括Birkhoff及其《动力系统》、Pfaff-Birkhoff原理、Birkhoff方程、约束Birkhoff系统、Birkhoff方程的积分方法、Birkhoff动力学逆问题、Birkhoff方程的运动稳定性、Birkhoff系统的几何方法、Birkhoff系统的全局分析 以及Birkhoff系统的未来研究等.

Birkhoff GD (1884---1944)，汉译伯克霍夫，美国著名数学家.1925年任美国数学学会会长，其数学工作领域十分广泛，被公认为当时 美国数学界领袖人物.1927年出版名著《动力系统》^[1].全书共9章：(1)动力系统的物理看法；(2)变分原理及应用；(3)动力学的形式观点；(4)周期运动的稳定性；(5)周期运动的存在性；(6)Poincaré几何定理的应用；(7)动力系统的一般理论；(8)二自由度情形；(9)三体问题.

在第3章第10节《Pfaff乘子》中写道：

"现设取推广的Pfaff变分问题

(12) $\delta \int_{t_0}^{t_1} \Bigg [\sum_{j = 1}^{2m} X_j (x_1 ,x_2,\cdots ,x_{2m}){x}'_j +$ $$ Z(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_{2m} ) \Bigg] d t = 0$$

它立刻导出阶为2$m$的常微分方程组

(13) $\sum_{j = 1}^{2m} \left( {\dfrac{\partial X_i }{\partial x_j } - \dfrac{\partial X_j }{\partial x_i }} \right) \dfrac{d x_j }{d t} - \dfrac{\partial Z}{\partial x_i } = 0 \quad (i = 1,2, \cdots ,2m)$

当在原点有平衡点的情形，假设2$m$个解析函数$X_i $使得反对称行列式

$\left| {\dfrac{\partial X_i }{\partial x_j } - \dfrac{\partial X_j }{\partial x_i }} \right|$ 在原点不为零，来考虑这些方程."

在第3章第13节《Pfaff问题的推广》中写道：

"在上面情形下自然希望Pfaff方程包含时间$t$，在原点有广义平衡点，允许形式归为Hamilton形式. 基于上面讨论的少许修改，不难证实这种推测.

在这样平衡情形下，方程确定为

(14) $\delta \int_{t_0}^{t_1} \Bigg[\sum_{j = 1}^{2m} X_j (x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_{2m} ,t){x}'_j +$ $$ Z(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_{2m} ,t) \Bigg] d t = 0$$ 其中$X_i (i = 1,\cdots ,2m)$和$Z$以$t$为周期，即有

(15) $\sum_{j = 1}^{2m} {\left( {\dfrac{\partial X_i }{\partial x_j } - \dfrac{\partial X_j }{\partial x_i }} \right)} \dfrac{d x_j }{d t} + \dfrac{\partial X_i }{\partial z} - \dfrac{\partial Z}{\partial x_i } = 0$

$ (i = 1,2,\cdots ,2m)$ "

原理(12)和(14)，方程(13)和(15)就是Birkhoff力学的起源.

美国强子物理学家Santilli RM在其著作《理论力学基础Ⅱ》^[2]第32和第33页上写道：

"最一般可能的线性一阶作用泛函由Pfaff作用量 $$A(\tilde {E}) = \int_{t_1 }^{t_2 } d t\left[{R_u \left( {t,{ a}} \right)\dot {a}^u - B\left( {t,{ a}} \right)} \right] (\tilde {E}) (4.2.14) $$ 给出，$\cdots \cdots$"

对比Birkhoff的式(14)和Santilli的式(4.2.14)，有

(14) $ \to $ (4.2.14)

$x_i \to a^u $

$X_i \to R_u $

$Z \to -B$

Birkhoff称为Pfaff变分问题，Santilli称为线性一阶变分原理，《Birkhoff系统动力学》中称为Pfaff-Birkhoff原理^[3].这种命名，既考虑了Pfaff的贡献，也考虑了Birkhoff的贡献，因此是恰当的.

积分 $$ A = \int_{t_1 }^{t_2 } \left[{R_u \left( {t,{ a}} \right)\dot {a}^u - B\left( {t,{ a}} \right)} \right] d t \tag{1}$$ 称为Pfaff作用量. 等时变分原理 $$ \delta A = 0 \tag{2}$$ 带有交换关系 $$ d \delta a^u = \delta d a^u \quad (u = 1,2,\cdots ,2n) \tag{3}$$ 及端点条件 $$ \delta a^u \left|_{t = t_1 } \right. = \delta a^u \left|_{t = t_2 } \right. = 0\quad (u = 1,2,\cdots ,2n) \tag{4}$$ 称为Pfaff-Birkhoff原理.

由Pfaff-Birkhoff原理(2)$\sim$(4)可导出 $$ \int_{t_1 }^{t_2 } \left[{\left( {\dfrac{\partial R_u }{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial a^u }} \right)\dot {a}^u - \dfrac{\partial B}{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial t}} \right] \delta a^\mu d t = 0 \tag{5}$$ 由积分区间[$t_{1}$,$t_{2}$]的任意性，得到 $$ \left[{\left( {\dfrac{\partial R_u }{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial a^u }} \right)\dot {a}^u - \dfrac{\partial B}{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial t}} \right] { \delta }a^\mu = 0 \tag{6}$$ 称其为Pfaff-Birkhoff-d'Alembert原理^[3]. 由这个原理出发，可研究约束Birkhoff系统.

类似于Hamilton原理对非保守系统的推广，Pfaff-Birkhoff原理可做如下推广^{[4, 5]} $$ \int_{t_1 }^{t_2 } \left[{ \delta \left( {R_u \dot {a}^u - B} \right) + \delta' W} \right] d t = 0 \tag{7}$$ 其中 $$ \delta'W = \varLambda _u \left( {t,{ a} } \right) {\delta }a^u \tag{8}$$

由Pfaff-Birkhoff原理可导出Birkhoff方程 $$ \left[{\dfrac{\partial R_u (t,{ a})}{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu (t,{ a})}{\partial a^u }} \right]\dot {a}^u - \\ \left[{\dfrac{\partial B(t,{ a})}{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu (t,{ a})}{\partial t}} \right] = 0 \tag{9}$$ 方程(9)命名为Birkhoff方程，是Santilli在1978年建议的，其后得到更多学者的赞同.

Birkhoff方程也可由Hamilton方程的变换得 到^[2].

如果$R_u $和$B$都不显含时间$t$，则有 $$ \Omega _{\mu u } ({ a})\dot {a}^u - \dfrac{\partial B({ a} )}{\partial a^\mu } = 0 \tag{10}$$ 其中 $$ \Omega _{\mu u } = \dfrac{\partial R_u }{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial a^u } \tag{11}$$ 称为Birkhoff协变张量，此时方程称为自治的. 当$R_\mu $不显含时间$t$，而Birkhoff函数$B$显含时间$t$，则方程称为半自治的. 有形式 $$ \Omega _{\mu u } ({ a})\dot {a}^u - \dfrac{\partial B(t, { a })}{\partial a^\mu } = 0 \tag{12}$$ 如果 $$ \det (\Omega _{\mu u } ) e 0 \tag{13}$$ 则称为规则的，否则称为奇异的. 方程(9)，(10)，(12)称为协变形式的. 在规则情形下，方程可写成逆变形式的，有 $$\dot {a}^\mu - \Omega ^{\mu u }\left( {t,{ a}} \right)\left[ {\dfrac{\partial B\left( {t,{ a}} \right)}{\partial a^u } + \dfrac{\partial R_u \left( {t,{ a}} \right)}{\partial t}} \right] = 0 (14)$$ $$\dot {a}^\mu - \Omega ^{\mu u }\left( { a} \right)\dfrac{\partial B\left( { a} \right)}{\partial a^u } = 0 (15)$$ $$\dot {a}^\mu - \Omega ^{\mu u }\left( { a} \right)\dfrac{\partial B\left( {t,{ a}} \right)}{\partial a^u } = 0 (16)$$ 其中矩阵$\left( {\Omega ^{\mu u }} \right)$为矩阵$\left( {\Omega _{\mu u } } \right)$的逆.

方程(15)由Feraud ^[6]和Lewis ^[7]研究.

方程(16)改写为^[8] $$ \dot {x}_u = C^{u \mu }\left( { { x}} \right)\dfrac{\partial H\left( {t,{ x}} \right)}{\partial x_\mu } \tag{17}$$ 由Lee ^[9]，Martin ^[10]，Sudarshan和Mukunda ^[11]所研究. 在Pauli ^[12]和Martin的工作中，由非局域经典和量子场论的需要来研究这些方程的^[8]. Pauli W (1900---1958)是瑞士著名物理学家，由于在理论物理学方面的成就，获1946年诺贝尔物理学奖.

广义Hamilton方程有形式^[13] $$ \dot {a}^i = J_{ij} \left( { a} \right)\dfrac{\partial H\left( { { a} } \right)}{\partial a^j}\quad \left( {i,j = 1,2, \cdots ,m} \right) \tag{18}$$ 当$m$为偶数时，它成为自治Birkhoff方程(15).

自治和半自治情形的Birkhoff方程具有容许代数结构并具有Lie代数结构.

Birkhoff方程以局部坐标中最一般可能的恰当辛形式为特征.

一般非自治一阶方程组自伴随的充分必要条件是它们有Birkhoff形式.

由Pfaff-Birkhoff原理的推广形式(7)和式(8)，利用积分区间$[t_1 ,t_2]$的任意性和$ {\delta }a^u $的独立性，可导出方程 $$ \left( {\dfrac{\partial R_u }{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial a^u }} \right)\dot {a}^u - \dfrac{\partial B}{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial t} = - \varLambda _\mu \quad \left( {\mu ,u = 1,2,\cdots ,2n} \right) \tag{19}$$ 称其为广义Birkhoff方程.

方程(19)已于1993年由文献^[14]给出. 在文献^[14]中，方程(19)是根据Pfaff作用量在时间和变量的无限小变换下的广义准对称性而提出来的.

文献^[15]将$\varLambda _\mu $写成$F_\mu $并称之为受迫Birkhoff方程，并研究了变分积分子.

文献^[2]证明，所有局部、解析、规则、有限维、无约束或完整约束，保守或非保守、自伴随或非自伴随一阶形式系统，在其变量规则点的一星形邻域内总有用坐标和时间变量的Birkhoff方程表示.

对非完整系统，将其化成相应的完整系统，如果初始条件满足非完整约束方程，则相应完整系统的解就给出非完整系统的运动^{[16, 17]}. 因此，可先按完整系统Birkhoff方法进行. 对高阶非完整系统，亦可实现Birkhoff化^[3].

如果Pfaff-Birkhoff原理中的变分$ {\delta }a^\mu $是彼此独立的，则称为自由Birkhoff系统；如果$ {\delta }a^\mu $不是彼此独立的，则称为约束Birkhoff系统.

如果系统变量$a^\mu $不是彼此独立的，而受到一些限制，这些限制表示为约束方程 $$ f_\beta \left( {t,{ a}} \right) = 0\quad \left( {\beta = 1,2,\cdots ,g} \right) \tag{20}$$ 对其取变分，有 $$ \dfrac{\partial f_\beta }{\partial a^\mu }\delta a^\mu = 0\quad \left( {\mu = 1,2,\cdots ,2n} \right) \tag{21}$$ 利用Lagrange乘子法，由原理(6)和式(21)，得到 $$ \left( {\dfrac{\partial R_u }{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial a^u }} \right)\dot {a}^u - \dfrac{\partial B}{\partial a^\mu } - \dfrac{\partial R_\mu }{\partial t} = \lambda _\beta \dfrac{\partial f_\beta }{\partial a^\mu }\tag{22}$$ 其中$\lambda _\beta \left( {\beta = 1,2,\cdots ,g} \right)$是约束乘子. 联合方程(20)和(22)可求运动，亦可求约束力.

专著^[2]研究了Birkhoff方程的变换理论，给出一些变换使Birkhoff方程形式保持不变，进而研究了广义正则变换和广义 Hamilton-Jacobi方法.

Birkhoff系统有Poincaré-Cartan积分不变量^[5] $$ \oint_c {\left( {R_\mu \Delta a^\mu - B\Delta t} \right)} = {\rm inv.} (23)$$ 以及线性积分不变量^[8] $$ I_1 = \oint_c {R_\mu } {\delta }a^\mu \tag{24}$$

对自治情形Birkhoff方程，Birkhoff函数$B = B\left( { a} \right)$是积分，称其为类能量积分.对一般情形Birkhoff方程，在一定条件下也存在类循环积分.利用这两类积分可降阶Birkhoff方程^{[5, 18]}，还可降阶广义Birkhoff方程^[19].

对自治和半自治情形的Birkhoff方程，有Lie代数结构，可以定义广义Poisson括号 $$ \dfrac{\partial A}{\partial a^\mu }\Omega ^{\mu u }\dfrac{\partial B}{\partial a^u }\underline{\underline {\rm def}} \left[{A,B} \right] \tag{25}$$ 关于第一积分$I = I\left( {t,{ a}} \right)$的广义Poisson条件表示为 $$ \dfrac{\partial I}{\partial t} + \left[{I,B} \right] = 0 \tag{26}$$

Poisson定理表示为：如果自治情形或半自治情形Birkhoff方程有不处于相互内旋的两个积分$I_1 \left( {t,{ a}} \right)$ 和$I_2 \left( {t,{ a}} \right)$，则它们的广义Poisson括号$\left[{I_1 ,I_2 } \right]$也是方程的积分.

Poisson方法还包含由已知积分生成新的积分的方法^[3].

由南斯拉夫学者Vujanovié开创的场积分方 法^[20]，也可应用于Birkhoff方程的积分^[3].

(1) Noether对称性

Noether对称性是Pfaff作用量在群的无限小变换下的一种不变性. 对Birkhoff方程，如果存在规范函数$G_{\rm N} = G_{\rm N} \left( {t,{ a}} \right)$使无限小生成元$\xi _0 = \xi _0 \left( {t,{ a}} \right)$，$\xi _\mu = \xi _\mu \left( {t,{ a}} \right)$满足如下Noether等式^[21] $$ \left( {\dfrac{\partial R_\mu }{\partial t}\dot {a}^\mu - \dfrac{\partial B}{\partial t}} \right)\xi _0 + \left( {\dfrac{\partial R_u }{\partial a^\mu }\dot {a}^u - \dfrac{\partial B}{\partial a^\mu }} \right)\xi _\mu - \\ B\dot {\xi }_0 + R_\mu \dot {\xi }_\mu + \dot {G}_{\rm N} = 0 \tag{27}$$ 则存在Noether守恒量 $$ I_{\rm N} = R_\mu \xi _\mu - B\xi _0 + G_{\rm N} = {\rm const.} \tag{28}$$

对广义Birkhoff方程，Noether等式有形式 $$ \begin{array}{l} \left( {\frac{{\partial {R_\mu }}}{{\partial t}}{{\dot a}^\mu } - \frac{{\partial B}}{{\partial t}}} \right){\xi _0} + \left( {\frac{{\partial {R_u}}}{{\partial {a^\mu }}}{{\dot a}^u} - \frac{{\partial B}}{{\partial {a^\mu }}}} \right){\xi _\mu } - \;B{{\dot \xi }_0} + {R_\mu }{{\dot \xi }_\mu } + \\ {\Lambda _\mu }\left( {{\xi _\mu } - {{\dot a}^\mu }{\xi _0}} \right) + {{\dot G}_{\rm{N}}} = 0 \end{array} \tag{29}$$ 则存在Noether守恒量(28).

(2) Lie对称性

Lie对称性是微分方程在无限小变换下的一种不变性. Birkhoff方程的Lie对称性在一定条件下可导致Noether守恒量或 Hojman型守恒量^[21].

(3)形式不变性

形式不变性是指方程中的动力学函数经历无限小变换后仍满足原来方程的一种不变性. 2000年文献^[22]研究了Lagrange系统的形式不变性，其后得到进一步发展[23 -28].Birkhoff系统的形式不变性在一定条件下，可导出Noether守恒量，Hojman型守恒量和新型守恒量^[21].

(4) Birkhoff对称性

如果两组Birkhoff函数和Birkhoff函数组，$B,R_\mu $和$B^ * ,R_\mu ^ *$，满足同一Birkhoff方程，则这种不变性称为 Birkhoff对称性. Birkhoff对称性也可导致守恒 量^[29].

此外，专著^[8]还研究了Birkhoff方程的共形不变性.

一般说，动力学正问题是由方程出发来求运动，而动力学逆问题是指由运动反过来组建方程. 专著^{[30, 31]}研究了各类力学系统的动力学逆问题.

专著^{[3, 8]}研究了Birkhoff方程的建立，方程的修改，方程的封闭等问题.文献^[3]研究了根据Pfaff-Birkhoff-d'Alembert原理 组建运动方程，广义Poisson方法与动力学逆问题等.

对自治Birkhoff方程，其一次近似的特征方程若有根$\lambda $，则必有根$\left( { - \lambda } \right)$，因此，可判断平衡的稳定性.

对自治Birkhoff方程，Birkhoff函数$B = B\left( { a} \right)$是积分，因此，如果$B$可以成为Lyapunov函数，则可判断平衡稳定性.

专著^[3]还研究了Birkhoff方程的运动稳定性以及约束Birkhoff系统的稳定性.

几何力学是分析力学的一个近代发展方向. 专著^{[2, 3]}有一些结果. 文献^[32]研究了非完整系统的Birkhoff表示. 几何方法尚需进一步开展研究.

Birkhoff系统的全局分析包括Birkhoff系统的奇点分类，分岔及混沌等问题，文献^{[33, 34, 35]} 研究了二阶自治Birkhoff系统的奇点类型，以及代数极限环问题. 文献^[36]研究了Birkhoff系统的Poincaré分岔. 文献^[37]利用Lyapunov中心定理和Melnikov方法研究二阶自治Birkhoff系统的混沌问题.

对高阶系统的全局分析存在较大困难.

另外，分数阶Birkhoff力学的研究也取得重要进展^{[38, 39]}.

Birkhoff力学的研究已取得重要进展，仍有不少问题有待进一步研究，可提出如下问题.

(1)构造Birkhoff函数的简单好用的方法；

(2) Birkhoff系统的计算方法；

(3) Birkhoff系统的几何方法；

(4) Birkhoff系统的全局分析；

(5) Birkhoff系统对力学，物理和工程的应用.

分析力学的发展可分为Lagrange力学，Hamilton力学，非完整力学和Birkhoff力学等4个阶段. Birkhoff力学是第4个阶段.因为前3个阶段可纳入第4个阶段，因此，Birkhoff力学更具有普遍性.同时，Birkhoff力学的应用范畴有可能超出经典力学，因此，深入开展Birkhoff力学研究显得十分重要.

Mei Fengxiang, Wu Huibiny, Li Yanmin, Chen Xiangwei