``密度界面 (the density interfaces)''普遍存在于各种地球物理流体中，它们控制、影响着垂向上的质量、能量等的转换与输 移，一直是流体力学家感兴趣的课题，尤其集中在理解湍流与密度界面相互作用的物理学.

(1)稳定分层流无剪切密度界面处湍流混合、卷挟

国外，早期分层流的研究主要起源于大气中层化的效应，许多流体力学家开展此项理论研究，例如文献[1, 2, 3, 4].本文所关注的``卷挟(entrainment)''，是指由于湍流的存在，不断将非湍流层的流体卷入湍流层中，从而使湍流层不断增长的一种作用.根据文献[5]，``卷挟''由泰勒在第二次世界大战时的一次关于而热气流上升的报告中首次提出，而后又于1949年的大西洋科学联合会中再次提及，正式文献是在文献[6]中首次出现卷挟一词，Morton等^[7]首次定义了卷挟.

鉴于笔者兴趣，本文主要注重稳定分层流无剪切密度界面处湍流混合. 早期的相关工作，例如：Rouse等^[8]利用振动格栅产 生垂向上的湍流，从而对分层流无剪切湍流混合进行研究. 他们指出密度界面上的势能变化应与振栅振动所产生的湍动能成比例，但他们的实验未能证实这一假设. 参照文献[8]中的实验，Tumer^[9]进行了稳定分层流湍流混合的实验，揭示出由于密度界面两侧湍流的存在，使界面上的输移量显著 增加，同时也产生了密度变化. 他将这种输移定义为``卷挟速度(entrainment velocity) $u_{\rm e}$''，并且借鉴Ellison等<sup>[10]</sup>提出的``卷挟定律(entrainment law)''，将卷挟速度和$Ri_{\rm o} $作为扰动层上的势能变化率和振栅产生的湍动能率，证实了文献[8] 的假设. 但是,文献[9] 的实验并没有测量湍流的长度尺度和速度尺度，使得结果只能用于定性分析，而不适用于定量分析. 为研究实验中湍流的长度尺度和速度尺度，Crapper等^[11]对密度界面两侧的密度差值的变化规律进行了研究. Thompson等^[12]提出了湍流的长度尺度. Toly等^[13]在文献[12, 14]的基础上对湍流的速度尺度进行了进一步研究. 这些研究揭示了稳定分层流湍流混合的宏观过程.

之后，流体力学家开始对密度界面处混合与卷挟的机制进行研究，例如：Linden^[15]用一个球形涡环去撞击密度界面，得 出混合是由下层重的流体溅起到上层流体中产生的. Long等^[16]认为$Ri_{\rm o} >30$时，密度界面上波的破碎是唯一的混合机制. List\linebreak 等^[17]通过实验表明密度界面上的斑块由开尔文-亥姆霍兹(Kelvin-Helmholtz)不稳定性产生.

以上对于稳定分层流无剪切密度界面处湍流混合的研究多集中于宏观(例如 文献[9])和一维、二维密度界面(例如 文献[15])的分析，但稳定分层流的混合本身是个三维问题，如何在实验室里显示出稳定分层流的三维密度界面，一直困扰流体力学家.

(2) 稳定分层流无剪切密度界面的结构与分形

国外，湍流中自相似的理念很久以前就已经存在，Richardson^[18]就将这一现象简洁地描述于自己的诗中. 目前，湍流和密 度界面结构依旧很大程度上地依靠``欧几里得对象(Euclidean objects)''来描述，例如：水滴状、棒状、片状、条状. Mandelbrot <sup>[19]</sup>指出，自相似不能仅靠这些传统的描述来建立，还需依靠一些更大胆的假设. 而自相似正是分形学的自然属性. Sreenivasan <sup>[20]</sup>认为可以用尺度上的相似性来包含``自相似(self-similarity)''和``自仿射(self-affinity)''. 本文试图用分形学来定量的分析密度界面及与湍流的关系.

以往的稳定分层流无剪切密度界面结构的研究，多集中于二维密度界面的定性分析，三维密度界面的定量分析依旧是比 较困难的. McGrath等 ^[21]使用激光诱导荧光技术，通过同步移动的激光片和相机拍摄出多张不同位置的二维密度界面图片，从而整合出密度界面的三维结构. 这种方法得来的三维密度界面比较粗糙，且只适合用于涡影响已经消失的实验后半段. 稳定分层流的三维密度界面的结构依然值得继续研究. 然而，利用图像灰度判断形体的结构，已经广泛应用于生物医学工程领域，例如文献[22]. 本文通过借鉴这种方法，试图来研究稳定分层流密度界面的三维结构.

国内，稳定分层流的研究也一直引起环境水力学、流体力学家的兴趣，例如 文献[23, 24, 25, 26, 27]. 航天流体力学界，赵玉新 等^[28]进行了超声速湍流混合层实验图像的分形度量研究. 但是，未见稳定分层流二维、三维密度界面结构研究报道.

本文目的：(1) 通过对稳定分层流密度界面高程随时间的变化、卷挟速率与$Ri_{\rm o} $的定量计算，研究稳定分层流密度界面处的混合机制；(2) 通过分形计算定量理解稳定分层流密度界面处的二维、三维 结构，并通过分析分形维度与$Ri_{\rm o}$之间的关系，探讨密度界面结构与湍流之间的关系.

湍流引起的分层流体的垂向混合，是湍动能转化为势能同时被黏滞耗散的过程，目前还没有可以有效估算海洋中势能与 动能比率的理论^[29]. 数值方法和计算流体力学不断发展，最终仍需分层流湍流混合实验证实. 假设混合实验箱中的流体不可压缩，则满足纳维-斯托克斯方程

根据文献 [30]，当满足(a) 科氏力可以忽略；\linebreak (b) 雷诺数远大于1，即黏滞力可以忽略；(c) 马赫数很小，即密度变化来自于重力作用和初始密度差异；动量方程和质量守恒分别为

其中，${\pmb u}$，$\rho $，$p$分别代表流体速度、密度和压力.

假设有一团流体，质量、内能，比热容比与研究对象相同，这团流体的压力、密度和温度分别为$p_{\rm a} $,$\rho _{\rm a} $和$T_{\rm a} $，假设各处$p / p_{\rm a} $接近1，对于流体移动颗粒$\rho / \rho _{\rm a} $近似为常数. 用$\rho - \rho _{\rm a} $，$p - p_{\rm a} $作为新的变量，利用$\nabla p_{\rm a} = \rho _{\rm a}{\pmb g}$，控制方程(1)和(2)分别变为^[30]

引入特征量 $L$,$U$,$\rho _0 $和$p_0 $，定义无量纲变量 ${\pmb u}' ={\pmb u} / U$,$\rho' = \rho / \rho _0$,$p' = p / p_0$,${\pmb x}' ={\pmb x} / L$,$t' = tU / L$. 将控制方程(3)和(4)无量纲化

两流体动力学相似的前提条件是式(5)和式(6)中各项数字系数应相等. 其中，式(5)右边第一项就是被称之为一种变形的理查 孙(Richardson)数^[2]

可见，此理查孙数是判断不同分层流的动力学相似性的重要参数. 正因如此，本文选用此理查孙数作为主要的无量纲控制参数. 一方面，可以为拟开展的室内实验提供理论背景；另一方面，可以为本实验结果应用到相关地球物理流体中提供理论依据. 后面将要看到此公式,即整体理查孙数.

笔者谨慎认为，基于文献[30]，即上述项(7a)，文献[11]提出了整体理查孙数($Ri_{\rm o}$)

式中，$Ri_{\rm o} $代表整体理查孙数，$\Delta \rho $代表密度界面两侧水体随时间变化的密度差值，$l$表示湍流长度尺度，$u$表示湍流的均方根流速，$\rho $表示参考密度，不同文献对$\rho $的取值有所不同但对结果影响很小，本文$\rho $取淡水密度.

密度界面上、下两侧的密度差值$\Delta \rho $随时间的变化非常缓慢，文献[11]认为密度的变化可以视为一个典型的准稳态的变化，即随时间线性变化.

文献[12]通过对实验结果的分析，认为密度界面处的湍流的长度尺度$l$与密度界面到振动格栅的平衡位置的距离成线性关系^[12]

根据文献[15]，$Ri_{\rm o} > 10$时，$\beta \approx 0.1$.

文献[14] 的实验结果显示: 随着界面与振动格栅平衡位置之间距离增加，密度界面处的湍流强度减弱，距格栅任意距离的均方根流速$u$与格栅振动频率$f$ 成正比. 文献[12] 进一步考虑到振动格栅冲程以及密度界面与振动格栅平衡位置的距离$z$可能对均方根流速产生影响，通过实验，得出新的均方根流 速公式^[12].

文献[13] 在文献[12]的基础上，通过控制变量的方法，研究了均方根流速$u$与格栅冲程$S$、网眼距离$M$、密度界面与振动格 栅平衡位置的距离$z$的关系，得到了混合箱中的均方根流速公式^[13]

根据他们的实验结果，得出式中$C$为常数，$C \approx 0.25$.

在密度界面单侧有格栅振动的实验中，文献[9] 定义湍流卷挟速度$u_{\rm e} $近似地视为密度界面高程上升的平均速度^[9]

文献[31]将湍流卷挟速度与湍流速度尺度$u$的比值作为代表混合效率的无量纲参数，即湍流卷挟率.

鉴于$Ri_{\rm o}$表示势能与湍动能的比值，湍动能的产生与消散均可用此数表达，而湍流卷挟率代表混合效率，混合效率与湍 动能的变化之间应该存在一定关系. 文献[32] 将湍流卷挟率与整体理查孙数的关系总结为``卷挟定律''^[32] (注：原式中使用$C$，为避免与式(9)中$C$重复，用$K$替代$C$)

式中$K$是常数.

(1) 图像处理

为研究二维与三维密度界面结构，实验中用照片记录可视化后的密度界面. 为便于对密度界面结构进行定量的分析，需先采 用一定方法将照片中的密度界面以数据形式表达.

本文利用计算机软件``Matlab(矩阵实验室)''处理照片中记录的可视化的密度界面. 读入``Matlab (矩阵实验室)''中的照片 为矩阵形式^[12]

(2) 二维密度界面结构

实验中通过向盐水层中添加荧光剂和染料使密度界面清晰可见，在图片上具体表现为亮度(灰度值)的差异. 将真彩色照片转换为灰度图. 为了便于后续可统一处理所有图像，可将灰度值取值范围转化为[0, 1]. 之后，将灰度图像转化为二值图像^[33]. 在二值图像中，二维密度界面上方值全为1，下方值全为0. 对二值图像进行收缩，再用原二值图像与收缩后的二值图像相减，得到边界点像素值为1，其余点值为0的矩阵. 将像素值为1的点的连线即为二维密度界面.

(3) 三维密度界面结构

实验中通过向盐水层添加荧光剂和染料使三维密度界面在钨光灯照射下可视化. 鉴于密度界面处扰动的存在，密度界面 上有高程变化，密度界面上较高的点距离光源稍近，较低的点距离光源稍远，使界面上出现明暗变化，这种明暗变化表现 在图像中，即为灰度值的变化. 利用灰度值判断形体的形态，广泛应用于生物医学工程领域，本文借鉴文献[22]的方法，用$x,y$轴表示密度界面上点的位置，灰度值作为表现密度界面高程的一个参考值，绘制于$z$轴上，显示三维密度界面.

Sreenivasan ^[20]认为对于大多数非线性的物理现象，无法得到构建分形的细节，只有经过多次迭代之后得到分 形形式. 因此可以通过``计盒法(boxing-counting method)''计算分形维度^[20]

式中，$N$为计盒数，$r$为分辨率. $D$为分形维度. Sreenivasan^[20] 为分形维度$D$可表示线或面的复杂程度. 对于三维密度界面分形维度的计算，本文参照文献[34] 的方法进行计算.

本项实验是由时钟博士于2012年秋冬期间在英国剑桥大学应用数学与理论物理系巴切勒(G.K. Batchelor)流体力学实验室完成的. 如图1所示，本实验中使用的混合箱与文献[9, 11, 35]中使用的相同. 实验在有机玻璃制成的混合箱中进行，其横截面为25.4cm $ \times $ 25.4cm、高为44.3cm. 产生振动的格栅为1cm见方的方棒，方棒间网眼尺寸($M$)为5cm，同样由有机玻璃制成. 格栅通过螺丝固定在一个不锈钢轴上. 不锈钢轴本身由混合箱顶部的两个以及底部的一个轴承约束，使得固定在轴上的格栅只能在垂直方向上进行上下振动. 不锈钢轴由连接棒连接到电机、变速箱和偏心传动装置来带动轴的振动. 振动的速度和幅度都可以调节，本实验中仅使用了2.5cm一种格栅冲程($S$，即格栅振动的幅度). 调节电机上的电压可以改变振动频率，从而改变湍流混合的强度，本文中使用了3种不同的振动频率：3.5Hz,4.29 Hz和4.75Hz.

图 1(Fig.1)

图 1 混合箱透视图 Fig.1 The perspective drawing of the mixing box

在实验开始前，将拟用的清水放入白色大桶中隔夜，使其中含的空气泡释放出去，最大限度地减少空气泡对实验的影响. 之后，先将隔夜后的一部分清水注入混合箱中至19.2cm，再将称重好的氯化钠(NaCl)放入其中，用木尺搅拌，使盐与水充分混 合均匀，制成盐水层. 将能漂浮在水面上的底部为海绵的乙烯泡沫盒轻轻地置于盐水水面，再将淡水缓慢注入到海绵上，利用海绵吸收水流流速，最大限度 地减少淡水与盐水的混合，使之形成有着清晰界面的淡、盐二层水体. 淡水层的起始厚度也是19.2cm. 振动格栅置于盐水层中，距离混合箱底部9.6cm，此距离既可以保证格栅完全浸没在各向同性的盐水中，又能减少混合箱底部边 界带来的影响. 用红色和蓝色染料和荧光剂注入盐水层中，便于在淡水层和盐水层之间形成清晰的界面. 测量界面高程($h$)，用带有长针管的注射器从盐水层取样，测量起始密度($\rho$).

共进行13组实验，其中，大致分为3类：(1) 在盐水层中仅添加荧光剂作为对照实验(实验I和IV); (2) 为了解湍流结构，加入密度 与水相同的白色的宝乐来树脂颗粒，以显示湍流的运动(实验II和XI); (3) 为研究密度界面的三维结构，在盐水层中均添加荧光剂和染料(实验III,V,VI,VII,VIII,IX,X,XII和XIII).

实验开始，打开弧光灯，启动电机，使格栅振动，用摄像机记录，摄像机的位置会随着密度界面的升高同步调整. 同时记录界面高程 随时间的变化. 每个实验以振栅开始振动计时，当发现密度界面近乎不再上升时结束实验，每组实验历时3h$\sim$ 25h不等. 在确保实验装置安全的前提下，夜里亦继续实验，隔日清晨观测、记录、录像.

向盐水层放入红色和蓝色的染料，以将白色尺子放入液体后仅能看清楚界面下几毫米为准(大约每40L水需要两种染料 各150mL). 加入一些荧光剂(大约每40L水一铲)，使其足以发光. 染料配好后，再用混合箱右侧上方2个钨光灯照亮混合实验箱中水层，即可显示出清晰的鲜绿色密度界面(2012年11月9日，时钟与M. D. 怀克丝(M. D. Wykes) 的个人通讯).

12组实验的平均密度界面高程随时间变化如图2所示. 从图中可以看出,12组实验平均密度界面高程随实验时间进行不断升高. 界面 高程升高是由湍流卷挟作用引起的. 上层的淡水不断地被卷挟到下层盐水中，使得密度界面离振动格栅越来越远. 盐水层中格栅的振动产生并维持了盐水层中的湍流，同时也促进了密度界面处的混合.

图 2(Fig.2)

图 2 12组实验平均密度界面高程随时间变化图. 上行：相同振栅频率(a) 3.5 Hz ($ \bullet $ 实验V, $\bigcirc$ 实验VI)，(b) 4.29Hz ($\nabla$ 实验IV, $\blacktriangledown$ 实验VII, $\blacktriangle$ 实验VIII, $\triangle$ 实验IX, ${\bf\ast}$ 实验X, $\blacklozenge$ 实验XII)，(c) 4.75Hz ($\diamondsuit$ 实验I, $\Box$ 实验II, $\blacksquare$ 实验III). 下行： 相同质量氯化钠(A) 52g ($\bigcirc$ 实验VI, $\blacktriangledown$ 实验VII),(B) 104g ($\Box$ 实验II，$ \bullet $ 实验V),(C) 200g ($\bigstar$ 实验XIII, $\triangle$ 实验IX) Fig.2 Time series of heights of the mean density interfaces for thirteen different runs. Upper line (at the same frequency): (a) $f=3.5$Hz $ \bullet $ Run V, $\bigcirc$ Run VI), (b) $f=4.29$Hz ($\nabla$ Run IV, $\blacktriangledown$ Run VII, $\blacktriangle$ Run VIII, $\triangle$ Run IX, ${\bf\ast}$ Run X, $\blacklozenge$ Run XII), (c) $f=4.75$Hz ($\diamondsuit$ Run I, $\Box$ Run II, $\blacksquare$ Run III). Lower line (at the same amount of salt): (A) 52g ($\bigcirc$ Run VI, $\blacktriangledown$ Run VII), (B) 104g ($\Box$ Run II，$ \bullet $ Run V), (C) 200g ($\bigstar$ Run XIII, $\triangle$ Run IX)

由图2可见，当格栅振动频率($f$) 相同时，盐水层密度($\rho_0$)越小，密度界面上升越快. 当盐水层密度($\rho_0$) 相同时，格 栅振动频率($f)$越高，密度界面上升越快. 密度界面的上升是由卷挟引起的，据文献[37]，密度界面的上升速度即相当于卷挟速度(式(10)). 而格栅振动频率越高，为盐水层提供的湍动能越多，密度界面处的惯性力就越大；盐水层密度越大，密度界面处的浮力越大. 出现图2中的结果，就表明浮力抑制两层水体的混合，而惯性力则促进两层水体的混合. 显然密度界面处的混合受二者之间的相互作用的影响，惯性力占主导时，混合速度快，浮力作用占主导时，混合速度慢；而二者 的比值正是$Ri_{\rm o}$.

利用实验中测得的平均密度界面高程和时间数据，分别代入式(10)和式(7b)中计算得到湍流卷挟率和$Ri_{\rm o}$，并将二 者绘制于双对数图上，结果如图3 所示.

图 3(Fig.3)

图 3 无量纲的湍流卷挟率与$Ri_{\rm o} $的关系选例及与文献结果对比. 图中$\blacktriangle $为本实验结果: (a) 振栅频率为4.29Hz，NaCl为200g; (b) 振栅频率为4.29Hz，NaCl为100g; (c) 振栅频率为3.5Hz，NaCl为104g; (d) 振栅频率为4.75Hz，NaCl为104g. 注：$\Box $ 为文献[31] 实验结果; $ \bullet $ 为文献[13]实验结果; $\bigcirc $ 为文献[32] 实验结果 Fig.3 Examples showing the relationship between the dimensionless turbulent entrainment rates and $Ri_{\rm o} $ and their comparison with those in the literature. $\blacktriangle $ refers to this study; (a) $f =4.29$Hz, NaCl is 200g;\\ (b) $f=4.29$Hz, NaCl is 100g; (c) $f=3.5$Hz; NaCl is 104g;\\ (d) $f=4.75$Hz, NaCl is 104g. Note: $\Box $ data from Ref.[31];\\ \vskip -1mm $ \bullet $ data from Ref.[13]; $\bigcirc $ data from Ref.[32]

由双对数图3可见，湍流卷挟率与$Ri_{\rm o} $均匀分布在一条直线两侧，4组实验结果均满足``卷挟定律''(式(11))，即：湍流卷挟率与$Ri_{\rm o}$成幂指数递 减关系. 图3 中$K$和$n$值的拟合结果分别为: (a) $K=8.58$,$n =3/2$; (b) $K=8.87$,$n =7/4$; (c) $K=3.89$,$n =3/2$;(d) $K=2.61$,$n =7/4$. 因$n$值对数据点分布的变化更敏感，所以借鉴大部分文献，本文主要讨论$n$值的变化. 文献[17]和 文献[21]得出$Ri_{\rm o}$取值范围在$30 < Ri_{\rm o} < 100$时，式(11)中$n$的取值范围应为$1.2 < n < 1.75$，本实验$n$值计算结果均在这一范围内. 与文献结果对比可知:本实验结果数据点分布范围与文献[31, 13]一致，与文献[32]的结果分布范围虽不同，但$n$值的拟合结果相近. 文献[32]分布范围不同，可能因使用的液体(酒精、淡水)不同引起. 而本实验结果与文献[31, 13]一致，也表明盐水层中荧光剂或染料的添加，对于实验中混合机制影响不大. 与文献[31, 13]不同的是，本实验未将不同设置的结果放在一起拟合，而是将不同设置的实验分别进行拟合. 本实验显示不同频率实验拟合出的$n$值大小有差异，而不同盐度拟合出的$n$值差异不大，表明混合效率对于惯性力的改变更加敏感.

结合式(11)与式(7b)，证明卷挟速度受湍流的速度尺度$u$、长度尺度$l$以及二层水体的密度差值$\delta \rho$影响. 由图3可知，当$ri_{\rm o}$趋于0，即浮力的影响可忽略时，卷挟率就接近于湍流速度尺度的一小部分；卷挟率随着$ri_{\rm o}$增大而减小，也说明浮力抑制了卷挟作用.

(1) 二维密度界面结构与分形分析

限于篇幅，为了便于对比分析，本文选用了实验V为例研究二维和三维的密度界面结构与分形. 实验V中用照相机图像记录了 时间序列的密度界面. 面对观测者的壁面上，密度界面下方的盐水层由于添加了荧光剂和染料不透光，在钨光灯的照射下发暗，而密度界面上因 添加荧光剂在钨光灯的照射下发亮，在图像上具体表现为``亮度''的差异. 显著的亮度差异可以非常清晰地展示出二维的密度界面. 计算机软件``Matlab(矩阵实验室)''可以识别并提取照片中存在显著亮度差异的边界：先用计算机软件``Matlab (矩阵实验室)''对照片进行二值化，再读取边界点的位置，从而提取出实验V的二维密度界面高程变化图，绘制成图4.

图 4(Fig.4)

图 4 实验V中随7个时刻的二维密度界面平均高程($h$)变化时间序列图及其对应的$Ri_{\rm o}$. 注：$x$表示界面所对应的水平位置; 右边箭头向上表示界面随时间上升 Fig.4 Time series of mean heights ($h$) of the two dimensional density interfaces and their corresponding $Ri_{\rm o}$ at seven different times in Run V. Note: $x$ is the horizontal position of the density interface and \\ \vskip -1mm the black arrow refers to the upward increasing interface

利用计盒法对图4二维密度界面进行计算，即将密度界面用边长为$r$的正方形覆盖，计有覆盖到界面的盒子数$N(r)$，其中$r$即相当于上节所提的分辨率. 随着$r$增大，盒子数$N(r)$会减小，将$N(r)$和$r$绘制于对数图上，并进行最小二 乘线性拟合，所得斜率$m =1- D$，如图5所示. 显然，二维密度界面存在分形维度.

图 5(Fig.5)

图 5 实验V对应于图4中的二维密度界面的计盒数与所对应分辨率之间的关系 Fig.5 The relationship between the box-counting number $N(r)$ and the resolution $r$ of the two dimensional interface corresponding to Fig.4 in Run V

为研究密度界面结构分形维度与湍流混合之间的关系，将密度界面分形维度$D$与$Ri_{\rm o} $绘制于图6.

图 6(Fig.6)

图 6 实验V对应于图5分形维度($D$)与$Ri_{\rm o} $之间的关系 Fig.6 The relationship between calculated fractal dimension ($D$) and $Ri_{\rm o} $ in Run V corresponding to Fig.5

显然，随着$Ri_{\rm o}$的增大，分形维度越来越小. 鉴于分形维度的大小表示界面的凸凹程度，分形维度越小，界面 越光滑. 这一结果能定量说明随着$Ri_{\rm o} $的增大，混合减弱，分形维度越来越小，界面越来越趋于光滑. 这一变化趋势与文献[21]中对于二维密度界面分形分析的结果一致.

(2) 三维密度界面与分形分析

文献[36]认为可以用图像的亮度值获取图像的形状信息和纹理特征. 受其启发,将实验V中记录的密度界面三维图像，用$x,y$轴表示像素点所在的位置，$z$轴表示像素点的亮度值，绘制出三维图像. 因相机拍摄角度与密度界面之间存在一定夹角，实际为正方形的密度界面投影到照片中变成了梯形，考虑到这点，本文也在图片上取位于湍流实验箱中部的梯形区域(图7(a)中红色梯形框内)，再利用文献[37]直接线性变化(DLT)算法对照片进行校正. 只选用梯形框内的密度界面结构进行分析的原因有二：(1) 湍流试验箱中用于固定振动格栅的不锈钢轴遮盖了一部分密度界面；(2) 为排除边壁影响. 本文借鉴文献[21]在进行密度界面分析时所用方法，即选用了密度界面的中心区域进行分析.

鉴于图像生成传输过程中，受混合箱外壁灰尘、反光等外界干扰产生噪点，在对图像处理前，需先进行去噪工作. 本文利用均值滤波法，即取$5\times 5$矩阵的亮度平均值为矩阵中点所对应的值，对图像进行去噪. 处理后的密度界面结果如图7(b)

图 7(Fig.7)

图 7 实验V中13:30时三维密度界面图. (a) 原始照片；(b) 对应(a)中红色梯形框内数字后的密度界面，水平面对应$x, y$轴，其值对应于在梯形框上的位置 Fig.7 hree dimensional density interfaces at 13:30 in Run V. (a) the original photo; (b) the digitized density interface corresponding to the region framed in the trapezoid. Horizontal plane is represented by $x$ and $y$ axes, and the scale shows the location on the trapezoid

不难看出，由上述方法得来的三维界面(图7(b))与真实界面(图7(a))很接近. 表明利用图片灰度值判断形体结构，研究稳定分层流密度界面三维结构的方法是可行的.

如图8所示，对应于图7实验V中三维密度界面的计盒数与所对应分辨率之间存在一一对应的关系，这表明密度界面确实存在分形结构.

图 8(Fig.8)

图 8 对应于图7实验V中三维密度界面的计盒数与所对应分辨率之间的关系 Fig.8 The relationship between the box-counting number $N(r)$ and the resolution $r$ of the three dimensional density interface in Run V corresponding to corresponding to Fig.7

相应地，将实验V中计算得到的分形维度$D$与$Ri_{\rm o} $绘于对数图表中，如图9所示，结果与二维的情况下的分析一致. 计算得到的三维分形维度为2.038，略大于2，表明密度界面确实存在分形结构. 分形维度随$Ri_{\rm o} $增大而减小. 实验开始时，$Ri_{\rm o} $较小，表明密度界面处惯性作用较大，浮力作用存在但不起主导作用，此时的混合主要由界面上的涡完成，界面的几何形态比较复杂，相应的，分形维度$D$也比较大. 随着$Ri_{\rm o} $增大，惯性作用减弱.

图 9(Fig.9)

图 9 实验V密度界面分形维度($D$)与$Ri_{\rm o} $之间的关系. 注：$ \bullet $ 二维密度界面分形维度; $\blacksquare $ 三维密度界面分形维度 Fig.9 he relationship between calculated fractal dimension $D$ of the density interface and $Ri_{\rm o} $ in Run V. Note: $ \bullet $ fractal dimension of the two dimensional density interface; $\blacksquare $ fractal dimension of the three dimensional density interface

据文献[21]，当$Ri_{\rm o} \geqslant 35$ 时，卷挟完全由内波的破碎引起，此时的界面几何形态相对简单，相应的，分形维度$D$也越来越小.

二维密度界面分形维度约等于三维密度界面中心区域的分形维度减1，这满足文献[20] 中提到的附加定理. 同时，也说明本实验所得到的三维密度界面是可靠的，本文所使用的三维密度界面的方法可以加以改进并用于稳定分层流三维密度界面的数字化.

通过以上实验、计算、分析可以得到以下初步结论：

(1) 平均密度界面高程随时间升高，说明卷挟的存在使湍流区不断沿垂直方向增长. 同时，界面高程的增长速度与振栅频率和盐水层密度相关，说明湍流提供的动能与浮力作用都影响混合过程.

(2) 湍流卷挟速率与$Ri_{\rm o} $满足``卷挟定律''，本实验中幂指数为3/2和7/4. 表明实验一开始惯性力的作用占主导，虽然浮力作用对混合有影响但影响较弱，此时混合效率较高，随着惯性力对浮力的优势越来越小，混合的效率也越来越缓慢.

(3) 密度界面分形分析表明，二维界面的分形维度大于1、三维界面的分形维度大于2，说明了密度界面上存在分形结构. 分形维度较小说明界面整体还不够复杂，但是在局部仍可以有很复杂的几何形态存在. 分形维度随$Ri_{\rm o} $增大而减小，表明随着湍动能影响的减弱，界面形态越来越趋于平滑.

致谢 感谢英国朱利安C.R.亨特(Julian C.R. Hunt)、保罗F.林登(Paul F. Linden)、斯图亚特B.达尔齐尔(Stuart B. Dalziel)和马克A.霍尔沃思(Mark A. Hallworth)的支持.

Zhang Shuang, John Z. Shi