2015, Vol. 47
2. 桂林理工大学土木与建筑工程学院, 广西桂林 541004
Terzaghi[1]1923年提出了饱和土的有效应力原理，使土力学从一般力学中独立出来成为一门独立的学科. 目前饱和 土有效应力原理作为经典土力学的基石已经在岩土工程实践中得到成功应用. 本文首先讨论了对饱和土有效应力作用认识的不同和使用有效应力时应该注意的问题，以及土力学预测中出现的几种不确定性的情况. 然后重点针对非饱和土中的有效应力问题进行了探讨.
Terzaghi[1]给出了有效应力的如下定义
| $\begin{array}{l} {{\sigma '}_{ij}} = {\sigma _{ij}} - {u_{\text{w}}}{\delta _{ij}} \end{array}$ | (1) |
式中, σ'ij为饱和土有效应力； σij为总应力；uw 为孔隙水压力；δij 为克朗内克符号. Terzaghi认为,有效应力是沿土骨架传递的土骨架应力，它控制了饱和土的变形和强度.
饱和土有效应力原理实质上包括两方面：(1)有效应力的定义和表达式；(2)有效应力的作用. 本文仅就有效应力的作用问题进行讨论. 通常, 人们对有效应力的作用有两种理解：(1)多数人正确和清楚地认识到(包括Terzaghi本人)：该原理给出有效应力的概念及有效应力的 确定方法；但并不认为它是影响变形和强度的唯一变量. (2)在很多文献中给出有效应力是控制强度和变形的唯一因素；或许研究者思想上并不认为如此，但客观上文献确实是如此表述的， 例如土力学中强度理论方面的研究. 第2种理解的局限性在于 它仅承认有效应力是控制因素而没有明确指出其他因素对强度和变形的影响.
实际上土体变形和强度是很多因素的函数，赵成刚等[2]2009年给出了饱和土体的变形和强度与多种影响因素的一种函数关系
| $\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _{ij}}或{\tau _{\text{f}}} = F({{\sigma '}_{ij}},e,{{\dot \varepsilon }_{ij}},C,S,H,{S_{\text{p}}},t,T,E, \cdots )} \end{array}} \end{array}$ | (2) |
式中，εij为土的应变，τf为土的强度，σ'ij 为有效应力，e为孔隙比, $\mathop \varepsilon \limits^. $ij 为应变率，C为土的矿物成分，S为土的结构，H为土的应力历史，Sp为土的应力路径，t为时间，T为温度，E为周围环境和土的生成条件；还有其他一些影响因素没能列出，用省略号表示. 通过长期的研究和实践，人们认识到：就饱和土而言，式(2)诸多影响因素中，有效应力σ'ij影响最大. 如果仅选择一个变量描述土体的变形和强度，那就只能选具有最重要影响的有效应力.
土作为摩擦性材料,它的变形和强度主要取决于土颗粒之间的骨架应力(有效压应力)、摩擦系数和连接强度. 也就是说，土的变形和强度 并不唯一取决于土颗粒之间的骨架应力；其他对土颗粒连接强度有影响的因素也会影响它的变形和强度，例如物理-化学作用、吸力和饱和度等. 所以研究者不但要注意有效应力的影响(当然这肯定是正确的)，还需换一个视角，考虑其他因素作为独立变量的影响；而不是仅在相 应的参数和条件中考虑其他因素的影响. 因为这些变量的变化会改变原有的变形和强度关系，例如低温或低饱和度情况下的变形和强度关系就与高温或高饱和度情况下的变形 和强度关系有很大不同. 本文的讨论仅是对有效应力原理的进一步补充和说明.
目前土力学理论的预测结果具有很大的不确定性. 从实验的角度，这主要是由以下几种情况导致的. 第1种情况是强度方面，在土的实 际工程应用中使用最多的是莫尔-库仑强度理论. 该理论认为有效应力是控制土的强度的唯一变量；但由于该理论忽略了很多其他因素的影响，而这些影响要由c， φ值来协调和容纳. 所以实验结果中c和 φ 已经失去了黏聚力和摩擦角的物理含义，它们把其他忽略的因素都考虑和包括进来，并导致实验c和 φ 值具有很大的离散性. 例如不同排水条件c和 φ值就不同. 第2种情况是变形方面. 三轴仪通常可以较为准确的控制土样的应力并可测到孔隙水压，但却难以控制其他具有影响的因素,例如土的内部结构的变化、 孔隙内的物理-化学作用等，由此导致误差和不确定性. 过去都把这种误差归因于土样的扰动. 但实际上除应力外还有一些其他影响因素难以在三轴仪中得到有效控制，由此产生误差. 基于三轴实验所得到的变形参数，进行变形计算或预测则必然具有很大的不确定性和误差. 第3种情况是实验使用的土样及其边界条件与场地具体的实际情况的差别,由此产生的不确定性. 当然从理论的角度，模型与实际情况的差别也会产生不确定性.
2 非饱和土有效应力的表述 2.1 非饱和土总应力和各相应力的关系首先讨论非饱和土应力的表述. 为此在非饱和土体中选取一个表征体元(REV). 假设非饱和土均质各向同性，且土中的水和气均连 通. 首先把各相应力转化为REV尺度的宏观应力. 设REV体积为V = d xdydz，各截面面积为A = dxdy = dydz = dzdx，若非饱和土的孔隙率为n，饱和度为Sr ，土颗粒、孔隙水、孔隙气的密度分别取为ρs,ρw 和ρa ，则REV中土骨架、水和气的重力(体积力)分别为V( 1 - n )ρsg,VnSrρ wg和Vn( 1 - Sr)ρag. 用 ${{\bar \sigma }_{ij}}$ ,uw和 ua 分别表示切割面上土颗粒的本征应力(即相内的真实应力)、本征孔隙水压力和本征孔隙气压力，见图1(a)；将这3个应力在表征 体元总截面面积A上进行平均等效，分别用σij ,σw和σa 表示，称为各相的表征应力，见图1(b).
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图 1 本征应力与表征应力示意图 Fig.1 Intrinsic stress of unsaturated soil and corresponding representative stress at REV level |
表征应力可以表示为
| $\begin{array}{3} {\sigma _{ij}} = \frac{{{{\bar \sigma }_{ij}}{A_{\text{s}}}}}{A} \approx \left( {1 - n} \right){{\bar \sigma }_{ij}}{\text{ }} \end{array}$ | (3) |
| $\begin{array}{4} {\sigma _{\text{w}}} = \frac{{{u_{\text{w}}}{A_{\text{w}}}}}{A} \approx {u_{\text{w}}}n{S_{\text{r}}}{\text{ }} \end{array}$ | (4) |
| $\begin{array}{5} {\sigma _{\text{a}}} = \frac{{{u_{\text{a}}}{A_{\text{a}}}}}{A} \approx {u_{\text{a}}}n\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right) \end{array}$ | (5) |
式中，As,Aw和Aa分别表示图1(a)右侧竖向切割面上土颗粒、孔隙水和孔隙气的面积，As = As1+ As2 + As3 + As4，Aw = Aw1 + Aw2 + Aw3，Aa = Aa1+ Aa2 . 分别对土骨架、水和气相取隔离体，并进行受力分析，其结果示于图2. 图2(a)表示土骨架的受力情况，土骨架所受到i方向孔隙水和气的作用分别用fisw和fisa 表示.,同样，图2(b)和图2(c)分别表示液相和气相受力情况. 因此三相各自的平衡方程可以用表征应力表述为
| $\begin{array}{6} \left. \begin{gathered} {\sigma _{ij,j}} + \left( {1 - n} \right){\rho _{\text{s}}}{g_i} + f_i^{{\text{sw}}} + f_i^{{\text{sa}}} = 0 \hfill \\ {\sigma _{{\text{w}},i}} + n{S_{\text{r}}}{\rho _{\text{w}}}{g_i} + f_i^{{\text{ws}}} + f_i^{{\text{wa}}} = 0 \hfill \\ {\sigma _{{\text{a}},i}} + n\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right){\rho _{\text{w}}}{g_i} + f_i^{{\text{as}}} + f_i^{{\text{aw}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \end{array}$ | (6) |
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图 2 非饱和土 REV 的受力分析 Fig.2 Stress analysis of unsaturated soil REV |
将式(3)~(5) 代入式(6)中，得到用本征应力表述的三相平衡方程为
| $\begin{array}{7} \left. \begin{gathered} \left( {1 - n} \right){{\bar \sigma }_{ij,j}} + \left( {1 - n} \right){\rho _{\text{s}}}{g_i} + f_i^{{\text{sw}}} + f_i^{{\text{sa}}} = 0 \hfill \\ n{S_{\text{r}}}{u_{{\text{w}},i}} + n{S_{\text{r}}}{\rho _{\text{w}}}{g_i} + f_i^{{\text{ws}}} + f_i^{{\text{wa}}} = 0 \hfill \\ n\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right){u_{{\text{a}},i}} + n\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right){\rho _{\text{w}}}{g_i} + f_i^{{\text{as}}} + f_i^{{\text{aw}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \end{array}$ | (7) |
采用陈正汉[3]给出的方法，将上述3式相加；由于三相之间的相互作用互相抵消，可得到如下表达式
| $\begin{array}{8} \left( {1 - n} \right){\bar \sigma _{ij,j}} + n{S_{\text{r}}}{u_{{\text{w}},i}} + n\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right){u_{{\text{a}},i}} + \rho {g_i} = 0 \end{array}$ | (8) |
用Tij表示非饱和土的总应力，由非饱和土的总体平衡可得到
| $\begin{array}{9} {T_{ij,j}} + \rho {g_i} = 0{\text{ }} \end{array}$ | (9) |
比较式(8)和式(9)可得
| $\begin{array}{10} {T_{ij}} = \left( {1 - n} \right){\bar \sigma _{ij}} + n{S_{\text{r}}}{u_{\text{w}}}{\delta _{ij}} + n\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right){u_{\text{a}}}{\delta _{ij}} \end{array}$ | (10) |
可见，非饱和土的总应力是固液气三相表征应力之和. 式(10)给出了总应力和各相本征应力之间的关系，与文献[3]中的式(28)相同.
2.2 非饱和土平均骨架应力的表达式饱和土中的有效应力是由于土颗粒接触点的接触和摩擦而传递的应力，通常也称之为骨架应力. 下面将推导给出非饱和土的骨架应力.
先推导土颗粒切割面上的本征应力$\bar {\sigma }_z $,$\bar {\sigma }_{xz} $与颗粒接触点处接触力$P_{\rm s}^m $的关系. 在图1(a)中截取$a - a$截面，假设$a - a$截面上有$N$($N$为正整数)个颗粒，并在$a - a$截面上选取第$m$颗粒进行分析，颗粒$m$的详细截面图见图3. 分析颗粒$m$在$a - a$截面上的固相本征应力与颗粒$m$上表面同其他颗粒接触点处的接触力以及孔隙水压力和孔隙气压力的关系. 颗粒$m$周围作 用有：孔隙水压力$u_{\rm w} $、孔隙气压力$u_{\rm a} $、切割面上的正应力$\sigma _{{\rm s}zz}^m $、切割面上的剪应力$\sigma _{{\rm s}xz}^m $以及颗粒间的接触力$P_{\rm s}^1 $,$P_{\rm s}^2 $ (其竖向分量分别为$P_{{\rm s}z}^1 $和 $P_{{\rm s}z}^2 $，水平向分量为$P_{{\rm s}x}^1 $,$P_{{\rm s}x}^2 $)；显然$m$颗粒与周围颗粒接触点处接触力的竖向分量之和为$P_{{\rm s}z}^m = P_{{\rm s}z}^1 + P_{{\rm s}z}^2 $，水平向分量之和为$P_{{\rm s}x}^m = P_{{\rm s}x}^1 + P_{{\rm s}x}^2 $. 用$A_{\rm s}^m $表示$a - a$截面切割的第$m$颗粒的切割面积；$A_{{\rm w}z}^m $和$A_{{\rm a}z}^m $分别表示$m$颗粒上表面孔隙水压力和孔隙气压力作用的面积在$a - a$截面的竖向投影面积，则$A_{{\rm w}z}^m = A_{\rm w1}^m + A_{\rm w2}^m $，$A_{{\rm a}z}^m = A_{\rm a1}^m + A_{\rm a2}^m + A_{\rm a3}^m $；如图3所示. 则图1(a)中$a - a$截面切割的所有土颗粒的总面积为
| $\begin{array}{11} \sum\limits_{m = 1}^N {A_{\text{s}}^m = A\left( {1 - n} \right)} \end{array}$ | (11) |
|
图 3 被切割的第 m 颗粒的静力平衡 Fig.3 Static equilibrium of particle cut m |
a-a截面切割的所有颗粒上表面孔隙水压力、孔隙气压力作用的面积在 a-a截面的竖向投影之和分别为
| $\begin{array}{12} \sum\limits_{m = 1}^N {A_{{\text{w}}z}^m = A\left( {1 - n} \right){S_{\text{r}}}} \end{array}$ | (12) |
| $\begin{array}{13} \sum\limits_{m = 1}^N {A_{{\text{a}}z}^m = A\left( {1 - n} \right)\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right)} \end{array}$ | (13) |
由第 m 颗粒竖向 z 方向受力平衡可得
| $\begin{array}{14} \sigma _{{\text{s}}zz}^mA_{\text{s}}^m = P_{{\text{s}}z}^m + {u_{\text{w}}}A_{{\text{w}}z}^m + {u_{\text{a}}}A_{{\text{a}}z}^m \end{array}$ | (14) |
由第 m 颗粒水平 x 向受力平衡可得
| $\begin{array}{15} \sigma _{{\text{s}}xz}^mA_{\text{s}}^m = P_{{\text{s}}x}^m + {u_{\text{w}}}A_{{\text{w}}x}^m + {u_{\text{a}}}A_{{\text{a}}x}^m \end{array}$ | (15) |
式中,$A_{{\rm w}x}^m $和$A_{{\rm a}x}^m $分别表示$m$颗粒上表面孔隙水压力、孔隙气压力作用的面积沿$x$方向投影的矢量面积之和. $a - a$切割的所有土颗粒截面面积上的竖向$z$方向的总合力为
| $\begin{gathered} \sum\limits_{m = 1}^N {\sigma _{{\text{s}}zz}^mA_{\text{s}}^m} = {\text{ }}\sum\limits_{m = 1}^N {[P_{{\text{s}}z}^m + {u_{\text{w}}}A_{{\text{w}}z}^m + {u_{\text{a}}}A_{{\text{a}}z}^m]} = \hfill \\ \sum\limits_{m = 1}^N {P_{{\text{s}}z}^m + {u_{\text{w}}}A\left( {1 - n} \right){S_{\text{r}}} + {u_{\text{a}}}A\left( {1 - n} \right)\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right)} \hfill \\ \end{gathered} $ | (16) |
a-a 切割的所有土颗粒截面面积上水平 x 方向的剪切合力为
| $\begin{array}{17} \sum\limits_{m = 1}^N {\sigma _{{\text{sx}}z}^mA_{\text{s}}^m} = {\text{ }}\sum\limits_{m = 1}^N {[P_{{\text{sx}}}^m + {u_{\text{w}}}A_{{\text{w}}x}^m + {u_{\text{a}}}A_{{\text{ax}}}^m]} = \sum\limits_{m = 1}^N {P_{{\text{sx}}}^m} \end{array}$ | (17) |
当表征体元与周围环境平衡时，假定上式中a-a切割的所有土颗粒截面面积上水平x方向的总剪切力不受孔隙水压力和孔隙气压力的影响. 这一假定在孔隙、孔隙水和孔隙气都是均匀分布并且各向同性时是合理的.
所以由式(16)，可以得到a-a截面上固相的平均正压力(即固相表征正压力)为
| $\begin{array}{18} \begin{gathered} {\sigma _{zz}} = {{\bar \sigma }_{zz}}(1 - n) = (\sum\limits_{m = 1}^N {\sigma _{{\text{s}}zz}^mA_{\text{s}}^m} )/A = \hfill \\ (\sum\limits_{m = 1}^N {P_{{\text{s}}z}^m} )/A + {u_{\text{w}}}\left( {1 - n} \right){S_{\text{r}}} + {u_{\text{a}}}\left( {1 - n} \right)\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}$ | (18) |
由式(17)，可以得到a-a截面上固相的平均剪切应力(即固相表征剪切应力)为
| $\begin{array}{19} {\sigma _{xz}} = {\bar \sigma _{xz}}(1 - n) = (\sum\limits_{m = 1}^N {\text{ }} \sigma _{{\text{s}}xz}^mA_{\text{s}}^m)/A = (\sum\limits_{m = 1}^N {P_{{\text{s}}x}^m} )/A{\text{ }} \end{array}$ | (19) |
式(18)最后等号右端第一项为土颗粒之间的接触作用力在a-a截面平均后的正压应力，通常也称为平均土骨架压应力. 式(19)表明土颗粒之间的接触作用力在a-a截面平均后的剪切应力即平均骨架剪切应力与a-a截面固相的表征剪切应力相等(前提是：假定a-a截面切割的所有土颗粒截面面积上水平x方向的剪切应力不受孔隙水压力和孔隙气压力的影响).
令非饱和土的平均土骨架正压应力和平均骨架剪切应力(即式(18)最后等号的右端第一项和式(19)最后等号的右端项)分别用和 σ'zz 和 σ'xz表示，则式(18)和式(19)可以表示为
| $\begin{array}{20} {\bar \sigma _{zz}}(1 - n) = {\sigma '_{zz}} + {u_{\text{w}}}\left( {1 - n} \right){S_{\text{r}}} + {u_{\text{a}}}\left( {1 - n} \right)\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right) \end{array}$ | (20) |
| $\begin{array}{21} {\bar \sigma _{xz}}(1 - n) = {\sigma '_{xz}} \end{array}$ | (21) |
在图3中取与a-a截面类似，但方向竖直的z截面, ${\bar \sigma _{xx}}(1 - n)$和 ${\bar \sigma _{zx}}(1 - n)$分别为作用于该截面的平均正压力和平均剪切应力. 与式(14)~式(21)同理可以得到${\bar \sigma _{xx}}(1 - n)$和 ${\bar \sigma _{zx}}(1 - n)$的表达式.
因此在二维情况下可以得到以下两式
| $\begin{array}{22} \begin{gathered} {{\bar \sigma }_{ii}}(1 - n) = {{\sigma '}_{ii}} + {u_{\text{w}}}\left( {1 - n} \right){S_{\text{r}}} + {u_{\text{a}}}\left( {1 - n} \right)\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right) \qquad \hfill \\ (i = x,z) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}$ | (22) |
| $\begin{array}{23} {\bar \sigma _{ij}}(1 - n) = {\sigma '_{ij}}\;\;\;\left( {i \ne j;\;i,j = x,z} \right) \end{array}$ | (23) |
将式(22)和式(23)代入式(10)可得土颗粒之间的接触应力或平均骨架应力与总应力之间的关系为
| $\begin{array}{24} {\sigma '_{ij}} = {T_{ij}} - [{u_{\text{w}}}{S_{\text{r}}} + {u_{\text{a}}}\left( {1 - {S_{\text{r}}}} \right)]{\delta _{ij}} = {T_{ij}} - {u_{\text{a}}}{\delta _{ij}} + ({u_{\text{a}}} - {u_{\text{w}}}){S_{\text{r}}}{\delta _{ij}} \end{array}$ | (24) |
三维情况更复杂，但用上述方法可以得到同样的结果，这里不再赘述. 式(24)反映了外载荷沿着土颗粒接触的方式而传播的关系.
仿照饱和土的做法，非饱和土的平均骨架应力就可以认为是其有效应力. 因此式(24)就可以作为非饱和土有效应力的表达式. 并 且式(24)与文献[4, 5, 6]及其他一些研究者所建议的有效应力公式一致.
3 非饱和土有效应力的讨论文献[7]提出了非饱和土的单应力变量有效应力. 文献[8]对此提出质疑，指出它不能说明非饱和土湿化过程中的湿陷现象.
文献[9]通过零位试验验证了用2个独立变量(净应力和基质吸力)描述非饱和土的强度和变形的正确性. 此后，使用2个应力变量描述非 饱和土的行为居于主流地位. 还有一些学者提出采用毕晓普(Bishop)形式的有效应力和吸力作为2个独立变量描述非饱和土的行为，例如，文献[4, 6, 10].
文献[4]指出，2个具有相同净应力、基质吸力和孔隙比，但不同饱和度的非饱和土土样，它们的力学行为和土颗粒间的相互作用力 却可以明显不同. 这意味着各种外力或内部应力(指吸力)相同时，饱和度的不同可导致非饱和土强度和变形的不同. 由此说明：仅采用力学变量描述非饱和土的力学行为是不够的. 原因是，力学变量以及力学平衡仅仅是整个热力学系统平衡或整个系统性质的一个方面，还有其他方面的平衡，例如化学势的平衡、热平衡等. 另外非饱和土的强度和变形还与周围环境变化(例如温度、饱和度等变化)和由环境变化所导致的内部结构的变化有关. 这种环境的作用和内部结构变化的影响仅用力学量是很难准确和完备地描述. 因此从热力学的观点，表述系统状态的变量可以采用不同类型的变量，而不必仅仅采用应力变量.
另外,非饱和土有效应力的选择并不唯一. 根据文献[5]的研究以及非饱和土有效应力研究的发展历史，可以看到非饱和土有效应 力的表达不是唯一的. 目前普遍认同:应该采用2个变量作为本构变量. 但采用何种具体变量，依赖于研究者的认识和方便. 另外，评价本构模型的优劣不仅取决于所选择的应力变量，更重要的是取决于它对非饱和土的关键性质的描述能力.
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2. College of Civil Engineering and Architecture, Guilin University of Technology, Guangxi Guilin 541004, China