﻿ 分离压对波状基底上活性剂液滴铺展过程的影响
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 力学学报  2015, Vol. 47 Issue (1): 71-81  DOI: 10.6052/0459-1879-14-161 0

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Li Chunxi, Yang Baocai, Ye Xuemin. EFFECT OF DISJOINING PRESSURE ON SPREADING OF LIQUID DROPLET CONTAINING SURFACTANT OVER CORRUGATED TOPOGRAPHY SURFACE[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2015, 47(1): 71-81. DOI: 10.6052/0459-1879-14-161.
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2014-06-04 收稿
2014-09-01 录用
2014–09–24 网络版发表

1 理论模型及演化方程组 1.1 液滴铺展物理模型

 图 1 波状基底上含不溶性活性剂液滴的铺展示意图 Fig. 1 Schematic diagram of the spreading of liquid droplet with insoluble surfactants on corrugated topography
1.2 演化方程组推导

 $u_x + w_z = 0$ (1)

 $u_{zz} = \left( {p + { \varPi}} \right)_x$ (2)

 $\left( {p + { \varPi} } \right)_z = 0$ (3)

 $\varGamma _t + \left( {u_s \varGamma } \right)_x = \dfrac{1}{Pe}\varGamma _{xx}$ (4)

 $\sigma = 1 - M\varGamma$ (5)

 $z = s ,\quad u = w = 0$ (6)

 $z = h + s ,\quad u_z = \sigma _x$ (7)

 $z = h + s ,\quad p = - C\left( {h_{xx} + s_{xx} } \right)$ (8)

 $z = h + s ,\quad h_t + u_s \left( {h_x + s_x } \right) = w_s$ (9)

 ${ \varPi} = - \dfrac{A}{h^3} + \dfrac{Bh_\infty }{h^4}$ (10)

 $h_t = \left[{ - \dfrac{C}{3}h^3\left( {h_{xxx} + s_{xxx} } \right) + \dfrac{M}{2}h^2\varGamma_x - } \right. \\ \qquad \left.{\dfrac{h^3}{3}\left( { - \dfrac{A}{h^3} + \dfrac{Bh_\infty}{h^4}} \right)_x } \right]_x$ (11)

 $\varGamma_t = \dfrac{\varGamma_{xx} }{Pe} - \left[{\dfrac{C}{2}h^2\varGamma\left({h_{xxx} + s_{xxx} } \right) - Mh \varGamma \varGamma_x + } \right. \\ \qquad \left.{\dfrac{1}{2}h^2\varGamma\left( { - \dfrac{A}{h^3} + \dfrac{Bh_\infty }{h^4}} \right)_x } \right]_x$ (12)

2 数值模拟和结果分析 2.1 数值模拟初始条件及边界条件

 $s\left( x \right) = D / 2\left[{\sin \left( {kx} \right) + 1} \right]$ (13)

 $\begin{array}{l} h\left( {x,0} \right) = \left( {1 + {H_b} - {x^2}} \right)F\left( {1 - x} \right) + \\ \qquad {H_b}F\left( {x - 1} \right) + D - s\left( x \right) \end{array}$ (14)

 $\varGamma\left( {x,0} \right) = \varGamma_0 F\left( {1 - x} \right)$ (15)

 $\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\varGamma} {\rm{d}} x = 1$ (16)

 图 2 活性剂总量 Fig. 2 The total amount of surfactant
2.2 不考虑分离压时的铺展特性

 图 3 $\varPi$ = 0 时液膜高度和活性剂浓度的演化历程 (M = 100, C = 0:1, Pe = 100) Fig. 3 Evolutions of the film height and surfactant concentration at $\varPi$ = 0 (M = 100, C = 0:1, Pe = 100)
2.3 考虑分离压时的铺展特性

$\varPi \ne 0$时的演化历程如图4所示. 此时，液膜高度演化时间缩减为$t =0.3$，受分离压影响，铺展前沿后的预置液膜呈现出与基底形状相似的波状结构[12]，形成与$\varPi =0$时截然不同的演化特征. 基底第一波谷处的$[h(x,t)+s(x)]_{\min}$随时间逐渐下降，但由于受到分离压中Born斥力阻碍作用，下降速率逐渐减缓，最终在分离压、活性剂及波状基底耦合作用下，基本保持不变. 但与$\varPi =0$时相比，其高度明显增大，去润湿现象消失.这与Saprykin等[12]得出的分离压有助于抑制受热波状基底波峰处液膜破断现象的结论吻合. $\varPi \ne0$时铺展前沿处衍生出的子波结构明显减少. 相对于$\varPi =0$情形，分离压影响下铺展过程更加稳定.叶学民等[26]在分析分离压作用下液滴铺展时亦得出相同结论.

 图 4 $\varPi \ne 0$时液膜高度和活性剂浓度的演化历程 ($\alpha_{1}= - 1$, $\alpha_{2} =1$, $M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 4 Evolutions of the film height and surfactant concentration at $\varPi \ne 0$ ($\alpha_{1}=-1$, $\alpha _{2}=1$, $M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)

2.4 初始液滴位置对演化影响

 图 5 初始液滴位于波峰处对液滴演化影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 5 Effect of initial droplet at the crest on evolutions ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)

 图 6 Marangoni力、毛细力和分离压对液膜高度演化的影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 6 Effect of Marangoni stress, capillary force and disjoiningpressure on the film height evolution ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)

4mm上述分析表明，分离压是影响液滴铺展过程的重要因素，因此有必要研究不同阶段的分离压对液膜高度演化造成的影响.如图7所示，$t =0.000 3$时刻液滴刚开始铺展，在活性剂浓度梯度驱使下铺展前沿处[3] ($x=1.1$)液膜高度开始增大，但幅度较小，铺展前沿后预置液膜仍然保持水平状态(如图7(b)).而分离压对液膜高度的变化较敏感，$t=0.000 3$时刻铺展前沿附近分离压出现波动，强度较大；而在铺展前沿后基底波峰处液膜较薄，Born斥力较大，分离压为正值，而波谷处液膜较厚，范德华力作用明显，分离压为负值(如图7(a)).随时间持续，分离压强度减小，铺展前沿向前推移，铺展前沿高度增大.铺展前沿后受Born斥力影响基底波峰处液膜出现隆起，而波谷处液膜在范德华力作用下出现凹陷.液膜高度变化又会对分离压造成影响，使基底波峰处分离压减小，波谷处分离压增大.最终在两者协同作用下，铺展前沿后的分离压逐渐趋向于0，而液膜高度则呈现基底形状的波状结构，液滴铺展达到平衡状态.

 图 7 分离压演化过程及对液膜高度的影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 7 The disjoining pressure evolution and its effect on filmheight ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)
2.5 关联系数$\alpha_{1}$ 的影响

 图 8 关联系数$\alpha_{1}$的影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 8 Effect of Correlation coefficient $\alpha_{1}$ ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)

2.6 关联系数$\alpha_{2}$ 的影响}

 图 9 关联系数$\alpha_{2}$的影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100)$ Fig. 9 Effect of correlation coefficient $\alpha _{2}$ ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100)$

 图 10 $t =0.3$时，基底高度$D$对演化历程和Marangoni项及分离压项的影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 10 Effect of height $D$ on spreadingevolution, Marangoni item and disjoining pressure at$t =0.3$ ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)

 图 11 $t =0.003$时，基底波数$k$对演化历程和分离压项的影响 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe=100$) Fig. 11 Effect of wave-number $k$ on spreading evolution and disjoining pressure at $t =0.003$ ($M =100$,$C =0.1$, $Pe =100$)

 图 12 波峰波谷处液膜高度$h(x,t)+s(x)$演化过程 ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$) Fig. 12 The evolution of film height at the peak andTrough ($M =100$, $C =0.1$, $Pe =100$)

3 结 论

(1)分离压作用下液滴在波状基底上铺展时，受Marangoni力和分离压共同作用，铺展前沿高度在基底波峰处达到最大值，铺展前沿后的预置液膜呈现出与基底形状相似的波状结构；与$\varPi =0$相比，其铺展速率更快，铺展前沿处衍生出的不规则子波数量明显减少，液滴铺展更加稳定.

(2)分离压对液滴铺展稳定性的影响与活性剂关联强度密切相关，减小引力强度系数$\alpha_{1}$可促进液滴铺展，而减小斥力强度系数$\alpha_{2}$则起到抑制作用，尤其是$\alpha_{2}= - 1$时，液滴几乎不能铺展，处于"冻结"状态，分离压放大了液滴的演化扰动能量，使液膜高度在铺展前沿处出现震荡特征.

(3) $\varPi =0$时铺展前沿高度随时间$t$持续增加，而$\varPi \ne 0$时则呈现明显的波状变化；提高引力强度系数$\alpha_{1}$，铺展前沿$X_{f}$减小但增长率不变，提高斥力强度系数$\alpha_{2}$使铺展前沿$X_{f}$增加，增长率也略有提高；增大基底高度$D$或波数$k$则加剧基底对液滴铺展的扰动，使铺展速率减慢；另外，分离压是造成铺展前沿后液膜呈现类似基底形状的主要原因.