力学学报, 2021, 53(6): 1720-1732 DOI: 10.6052/0459-1879-21-074

动力学与控制

负刚度时滞反馈控制动力吸振器的等峰优化1)

代晗, 赵艳影,2)

南昌航空大学飞行器工程学院, 南昌 330063

EQUAL-PEAK OPTIMIZATION OF DYNAMIC VIBRATION ABSORBER WITH NEGATIVE STIFFNESS AND DELAY FEEDBACK CONTROL1)

Dai Han, Zhao Yanying,2)

Department of Aircraft Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China

通讯作者: 2)赵艳影, 教授, 主要研究方向: 结构振动与控制. E-mail:yanyingzhao@nchu.edu.cn

收稿日期: 2021-02-10   接受日期: 2021-05-13   网络出版日期: 2021-06-18

基金资助: 1)国家自然科学基金.  12072140
江西省自然科学基金.  20202ACBL201003

Received: 2021-02-10   Accepted: 2021-05-13   Online: 2021-06-18

作者简介 About authors

摘要

相比于传统动力吸振器, 负刚度动力吸振器同时具有更好的减振能力和更宽的有效减振频带宽度, 为了进一步降低共振峰幅值, 在负刚度吸振器系统耦合时滞反馈控制. 对负刚度时滞反馈控制动力吸振器系统进行等峰优化设计, 优化设计的准则是:第一和第二共振峰的峰值相等; 同时兼顾两个目标, 一个目标是在优化时的最大共振峰幅值小于被动负刚度吸振器系统的反共振峰幅值, 另一目标是在优化时共振峰幅值与反共振峰幅值差小于被动吸振器系统. 接着, 通过设计和调节负刚度系数、吸振器阻尼系数和时滞反馈控制系数对控制系统进行等峰优化设计. 最后, 在降低幅值的同时, 分析结构参数对有效减振频带宽度的影响. 经过等峰优化之后, 选择本文的一组结构参数与两个典型的模型进行对比. 为了定量比较不同模型的降幅效果, 定义了减幅百分比, 研究发现在有效减振频带区间内减幅百分比超过40%以上. 结果表明, 通过等峰优化准则对结构参数进行优化设计和调节增益系数和时滞量, 共振峰幅值的减幅百分比也近似达到40%, 也可以调节增益系数和时滞量, 使得幅频响应曲线具有较宽的有效减振频带和较低的共振峰幅值与反共振峰幅值的差值.

关键词: 负刚度 ; 等峰优化 ; 时滞反馈控制 ; 动力吸振器 ; 频带宽度

Abstract

Compared with the traditional dynamic vibration absorber, negative stiffness dynamic vibration absorber has better damping capacity and wider effective damping frequency bandwidth. The time-delay feedback control is coupled into negative stiffness dynamic vibration absorber system to further reduce the amplitude of the resonant peak and increase the bandwidth of the effective damping frequency. In the present paper, the time-delay feedback control dynamic vibration absorber system with negative stiffness is designed by equal-peak optimization. The optimal design criteria are as follows: the peak values of the first and the second resonance peaks are equal; two objectives are considered at the same time, one is to optimize the maximum resonance peak amplitude to be less than the anti-resonance peak amplitude of the passive negative stiffness absorber system, and the other is to optimize the difference between the resonance peak and the anti-resonance peak to be less than the passive absorber system. Then, the equal-peak optimum design of the control system is carried out by designing and adjusting the negative stiffness coefficient, the damper coefficient of vibration absorber and the time-delay feedback control coefficient. Finally, the effect of structural parameters on effective damping frequency bandwidth is analyzed under the condition of reducing amplitude of resonant peak. A set of structural parameters are selected and compared with two typical models based on the results of equal-peak optimization. In order to quantitatively compare the reduction effect of different models, the amplitude reduction percentage is defined. It is found that the percentage amplitude reduction is over 40% in the effective damping frequency band. The results show that the percentage reduction of the resonance peak amplitude also approximates to 40% by optimizing the structural parameters and adjusting the gain coefficient and time delay. In addition, the amplitude-frequency response curve has wider effective damping frequency bandwidth and a lower difference between the amplitude of the resonance peak and the amplitude of the anti-resonance peak by adjusting gain coefficient and time delay.

Keywords: negative stiffness ; equal-peak optimization ; delayed feedback control ; dynamic vibration absorber ; frequency bandwidth

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本文引用格式

代晗, 赵艳影. 负刚度时滞反馈控制动力吸振器的等峰优化1). 力学学报, 2021, 53(6): 1720-1732 DOI:10.6052/0459-1879-21-074

Dai Han, Zhao Yanying. EQUAL-PEAK OPTIMIZATION OF DYNAMIC VIBRATION ABSORBER WITH NEGATIVE STIFFNESS AND DELAY FEEDBACK CONTROL1). Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(6): 1720-1732 DOI:10.6052/0459-1879-21-074

引言

工程上大多数机械振动是有害的, 会加剧结构损伤、缩短设备使用寿命、降低舒适度和其他缺点. 为了抑制有害的振动, Frahm[1]第一次提出了一种在单自由度主系统上耦合上无阻尼式吸振器, 该型吸振器只有在外激励频率等于主系统频率附近其减振效果才明显, 也导致其有效减振频带宽度比较窄. 为了进一步减振和拓宽频带宽度, 文献[2,3]发展了无阻尼吸振器, 研究的有阻尼吸振器克服了Frahm吸振器的缺点, 有效减低幅值的同时拓宽有效减振频带宽度, 并发现主系统的频响曲线始终通过两固定点, 即频率和幅值不受吸振器阻尼值的影响. Brock[4]在文献[2]基础之上给出了阻尼值优化公式. Liu[5]改进了文献[4]优化方法, 设计了悬空阻尼器和接地阻尼器等两种阻尼吸振器, 给出了详细的推导过程并数值验证了优化方法. Asami和Nishihara[6-7]不考虑主系统结构阻尼, 在保证两个共振峰幅值相等并且最小的前提下, 利用固定点理论原理, 对阻尼吸振器优化系统结构参数并给出解析表达式. 然而, 调谐质量阻尼器(tuned mass damper, TMD)在比较窄的频带范围内有效并且依赖于固定的结构参数, 当外激励频率在变化时, 不能很好地减振.

彭海波等[8]研究了一种含有负刚度弹簧元件的新型动力吸振器模型, 利用固定点理论, 得到动力吸振器的最优阻尼比和最优频率比, 其减振效果远优于传统的调谐质量阻尼器吸振器模型. 邢昭阳等[9]对一种含有放大机构的负刚度动力吸振器模型进行参数优化, 其优化结果表明能够大幅降低共振振幅、拓宽减振频带并且降低系统的谐振频率. Benacchio等[10]把磁铁产生的磁力搭建一个变刚度的磁吸振器(magnetic vibration absorber, MVA), 通过调节MVA的几何参数, 可以在含有线性负刚度元件下实现MVA的非线性动力吸振器、非线性能量阱和双稳态的转换. 刘刚等[11]设计了一种新型连续可调的变质量-负刚度动力吸振器, 具有较好的低频有效性和较宽有效频带宽度. 李强等[12]提出一种由柔性螺旋弹簧(spiral flexure spring, SFS)及磁性负刚度弹(magnetic negative stiffness spring, MNSS)组成的新型可调动力吸振器, 很好地抑制了航天设备上的低频和超低频振动. 胡方圆等[13]提出了一种基于回复力曲面的时域非参数辨识方法, 研究了4种典型负刚度振子, 实验结果表明表面识别结果与实测回复力面吻合较好, 解决了负刚度非线性系统回复力的辨识困难问题.

同样, 半主动吸振器(semi-active vibration absorbers, SAVs)也经常用在变外激励频率的振动减振. 郎君等[14]将两个半主动开关控制策略应用到Voigt型动力吸振器中, 经过优化设计给出了最优控制策略. 张婉洁等[15]研究了3种基于相对速度反馈的控制策略, 通过转换控制开关在低频共振区域、高频共振区域和瞬态响应振幅方面具有很好的抑制振幅的效果. 李锁斌等[16]研究的超结构夹层板很好地满足低宽频振动带隙减振. 某些智能材料也被用在半主动吸振器上, 如介电弹性体功能材料[17] (dielectric elastomers, DE)、压电材料[18] (piezoelectric material, PM)、磁流变液[19] (magnetorheological elastomers, MRE)和形状记忆合金[20] (shape memory alloys, SMA). 然而, SAVs也仅仅是在外激励缓慢变化的一段频带有效.

传统的TMD和SAVs有作用的减振频带较窄, 对变频和宽频带的减振降幅效果差. 国内外学者发展了很多应用于动力吸振器上的控制方法, 如经典PID/PD[21]、 PPF[22]、 鲁棒控制[23]、 神经网络控制[24]、 模糊控制[25]和滑膜控制[26]等. 文献[27,28]提出在线性动力吸振器系统耦合时滞位移和加速度反馈控制, 能根据外激励频率实时调节时滞反馈的状态量并提出一种针对时滞系统稳定的方法(cluster treatment of characteristic roots, CTCR). Zhao和Xu[29-30]进行了非线性系统的时滞减振的研究, 研究发现时滞反馈控制在非线性系统具有更宽的有效减振频带. 文献[31,32]利用时滞反馈在线性系统和非线性系统进行反共振峰优化, 通过调节增益系数和时滞量, 把反共振频率点的幅值降低到零. Sun等[33]在非线性系统研究了非线性吸振器的等峰和去非线性问题, 通过等峰优化方法对非线性吸振器的非线性系数进行优化后, 实现了非线性系统的等峰特性, 同时也消除了不利非线性振动现象, 最后的实验结果很好地验证了理论结果. Meng等[34]在时滞非线性系统设计等峰优化准则, 利用时滞非线性吸振器对非线性系统进行减振, 即使外激励幅值较大时非线性吸振器减振效果也非常明显.

综上所述, 鉴于负刚度吸振器和时滞反馈控制作动器在减低幅值和拓宽有效减振频带方面具有很好的效果, 本文在负刚度吸振器系统耦合时滞反馈控制作动器, 进行等峰优化后收到了更好的控制效果. 为了评价等峰优化的效果, 定义了有效减振频带宽度和共振峰幅值与反共振峰幅值差等指标, 并在幅频响应曲线图中标示出指标值. 为了定量分析减幅情况, 定义了减幅百分比, 直观表示出各个频带内的减幅情况.

1 负刚度时滞反馈控制振动系统

1.1 力学模型

为了进一步完善振动系统, 本文在彭海波等[8]学者研究的负刚度系统等峰优化模型中考虑了主系统的结构阻尼; 同时为了进一步控制和优化等峰的幅值和拓宽负刚度系统的减振频带, 又在该振动系统中加入位移时滞反馈控制;本文研究的负刚度时滞反馈控制吸振器系统的力学模型化简为图1.其中$k$是变负刚度的刚度系数; $m_{1}$, $m_{2}$, $c_{1}$, $c_{2}$, $k_{1}$和$k_{2} $分别是主系统和吸振器的质量、阻尼和刚度系数; $g_{1}$和$\tau$分别是时滞反馈增益系数和时滞量; $x_{1} $和$x_{2}$分别是主系统和吸振器的位移; $F_{0} $是外激励力的幅值, $\omega$是外激励频率.

图1

图1   时滞耦合负刚度吸振器系统的力学模型

Fig.1   Mechanical model of delay-coupled negative stiffness system


由牛顿第二定律得到系统的运动微分方程

$\left. {\begin{array}{l} m_{1} \ddot{{x}}_{1} +k_{1} x_{1} +k_{2} x_{1} +c_{1} \dot{{x}}_{1} +c_{2} \dot{{x}}_{1} -k_{2} x_{2} - \\ \qquad c_{2} \dot{{x}}_{2} -g_{1} x_{2} \left( {t-\tau } \right)=F_{0} \cos \left({\omega t} \right) \\ m_{2} \ddot{{x}}_{2} +k_{2} x_{2} +kx_{2} +c_{2} \dot{{x}}_{2} +g_{1} x_{2} \left( {t-\tau } \right)- \\ \qquad k_{2} x_{1} -c_{2} \dot{{x}}_{1} =0 \\ \end{array}} \right\}$

为了优化参数的方便和使方程更具有通用性, 对方程式(1)进行无量纲处理, 为此引入如下相关参数及无量纲量

$\left. \begin{array}{l} \omega_{1} =\sqrt {\dfrac{k_{1} }{m_{1} }} , \ \omega_{2} =\sqrt {\dfrac{k_{2}}{m_{2} }} , \ \varOmega \ =\dfrac{\omega }{\omega_{1} }, \ \mu =\dfrac{m_{2}}{m_{1} } \\ p^{2}=\dfrac{\omega_{2}^{2} }{\omega_{1}^{2} }, \ \xi_{1} =\dfrac{c_{1} }{2m_{1} \omega_{1} }, \ \xi_{2} =\dfrac{c_{2} }{2m_{2} \omega_{2} }, \ g=\dfrac{g_{1} }{k_{2} } \\ \bar{{x}}_{1} =\dfrac{k_{1} x_{1} }{F_{0} }, \ \bar{{x}}_{2} =\dfrac{k_{1} x_{2}}{F_{0} }, \ \alpha =\dfrac{k}{k_{2} }, \ \bar{{t}}=\omega_{1} t, \ \bar{{\tau }}=\omega_{1} \tau \\ \end{array} \right\}$

为书写方便仍记为$x_{1} =\bar{{x}}_{1} $, $x_{2} =\bar{{x}}_{2}$, $t=\bar{{t}}$, $\tau =\bar{{\tau }}$, 有量纲的运动微分方程(1)转化为无量纲运动微分方程(3)

$\left. {\begin{array}{l} {x}"_{1} +(1+\mu p^{2})x_{1} +2(\xi_{1} +p\mu \xi_{2} ){x}'_{1} -\mu p^{2}x_{2}- \\\qquad 2p\mu \xi_{2} {x}'_{2} -\mu p^{2}gx_{2} (t-\tau )=\cos \left( {\varOmega t} \right) \\ {x}"_{2} +(1+\alpha )p^{2}x_{2} +2p\xi_{2} {x}'_{2} +p^{2}gx_{2} (t-\tau )- \\\qquad p^{2}x_{1} -2p\xi_{2} {x}'_{1} =0 \\ \end{array}} \right\}$

其中$\left( \cdot \right)^{\prime }={d\left( \cdot \right)}/{dt}$, $\left( \cdot \right)^{\prime \prime }={d^{2}\left( \cdot \right)}/{dt^{2}}$. 设方程组(3)的解为

$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ \end{array} }} \right]=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\tilde{{x}}_{1} } \\ {\tilde{{x}}_{2} } \\ \end{array} }} \right]e^{j\varOmega t}$

将解(4)代入方程组(3)解得

$\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\tilde{{x}}_{1} } \\ {\tilde{{x}}_{2} } \\ \end{array} }} \right]=\dfrac{1}{\varDelta (\varOmega )}\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {-\varOmega^{2}+\left( {1+\alpha } \right)p^{2}+2jp\xi_{2} \varOmega +p^{2}ge^{-j\varOmega \tau }} \\ {2jp\xi_{2} \varOmega +p^{2}} \\ \end{array} }} \right]$

其中$\varDelta \left( \varOmega \right)$为

$\begin{align} \varDelta (\varOmega )= \left[ {2j\varOmega \left( {p\mu \xi_{2} +\xi_{1} } \right)+\mu p^{2}-\varOmega^{2}+1} \right]\cdot \\ \left[ {p^{2}ge^{-j\varOmega \tau }+2jp\xi_{2} \varOmega +\left( {\alpha +1} \right)p^{2}-\varOmega^{2}} \right]- \\ \left( {p^{2}+2jp\xi_{2} \varOmega } \right)\left( {\mu p^{2}+2jp\mu \xi_{2} \varOmega +\mu p^{2}ge^{-j\varOmega \tau }} \right) \end{align}$

引入变量$A_{1} $和$A_{2} $, 分别代表主系统和吸振器的振幅, 如下式

$A_{i} =\left\| {\tilde{{x}}_{i} } \right\|\ \ \left( {i=1, 2} \right)$

1.2 被动负刚度吸振系统

忽略主系统的结构阻尼(即主系统的阻尼系数$\xi_{1}=0$), 同时令时滞反馈控制增益系数$g=0$和时滞量$\tau=0$, 本文1.1节所述的吸振器模型就退化为文献[8]所研究的被动式接地负刚度型动力吸振器. 文献[8]是通过固定点理论对两个共振峰进行优化来寻找最优结构参数$ s p=\left\{ {\xi_{2} , \alpha , p, \mu } \right\}$, 满足如下等峰优化的条件

$\mbox{Min}\left\| {A_{1} ( s p, \varOmega )} \right\|_{\infty } = \mbox{Min}\left\{ {\mbox{Max}\left[ {A_{1} ( s p, \varOmega_{ 1} ), A_{1} ( s p, \varOmega_{ 2} )} \right]} \right\} \to A_{1} ( s p, \varOmega_{1} )=A_{1} ( s p, \varOmega_{2} )$

其中$A_{1} ( s p, \varOmega )$是主系统频率响应, $\varOmega_{1} $和$\varOmega_{2} $分别是第一阶共振频率和第二阶共振频率. 通过式(8)的优化过程, 文献[8]得到最优的一组结构参数, 如下式

$\left. {\begin{array}{l} \alpha =-1-\mu (2+\mu )+(1+\mu )\sqrt {\mu (2+\mu )} \\ \xi_{2} =\sqrt {\dfrac{\mu (3+3\alpha +3\mu +2\alpha \mu )}{8(1+\mu)^{2}+4(2+\mu )\left[ {\alpha^{2}+2\alpha (1+\mu )} \right]}} \\ p=\sqrt {\dfrac{1}{\alpha +(1+\mu )^{2}}} \\ \end{array}} \right\}$

Asami和Nishihara[6]通过固定点理论和$H_{\infty }$优化理论得到满足幅值相等的结构参数如下

$\left. {\begin{array}{l} \xi_{2} =\dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{8+9\mu -4\sqrt {4+3\mu } }{1+\mu }} \\ p=\dfrac{2}{1+\mu }\sqrt {\dfrac{2\left( {16+23\mu +9\mu^{2}+2(2+\mu )\sqrt{4+3\mu } } \right)}{3\left( {64+80\mu +27\mu^{2}} \right)}} \\ \end{array}} \right\}$

在$\mu =0.1$和最优结构参数下, 画出含接地负刚度吸振器的文献[8]系统的幅频响应曲线, 如图2中的虚线所示; 在相同的结构参数下, 画出不含接地负刚度吸振器的文献[6]系统的幅频响应曲线, 如图2中的实线所示. 为了定量的分析图2中两模型的幅频响应曲线, 本文参考文献[35]有效减振频带和衰减量的定义, 定义了如下考查量

$\left. {\begin{array}{l} F_{BW} =\varOmega_{res2} -\varOmega_{res1} \\ A_{PV} =\dfrac{A_{res1} +A_{res2} }{2}-A_{anti}\\ \end{array}} \right\}$

图2

图2   最优结构参数下的幅频响应曲线

Fig.2   Amplitude-frequency response curves for optimal structural parameters


其中$A_{res1} $, $A_{res2} $和$A_{anti}$分别是第一、第二共振峰和反共振峰的振幅; $\varOmega_{res1}$, $\varOmega_{res2} $和$\varOmega_{anti}$分别是第一、第二共振频率和反共振频率; $A_PV$是两个共振峰幅值的中间值与反共振峰幅值的差值; 定义$F_{BW}$是在满足一定$A_{PV} $值时的有效减振频带宽度.

图2中知, 在相同质量比$\mu=0.1$时, 文献[8]减振系统的$A_PV $是0.58, 文献[6]减振系统的主系统反共振峰幅值$A_{anti} $是1.80.因此, 依据上述减振系统的$A_{PV} $和反共振峰幅值$A_{anti} $, 本文模型在进行等峰优化时$A_{PV} $小于0.5和$A_anti $小于1.8, 后文用到上述两个值时不再说明.

虽然被动式接地负刚度吸振器具有很好的降幅效果, 但为了进一步降低幅值, 同时兼顾有效减振频带宽度和适当的共振峰幅值与反共振峰幅值差, 本文考虑在负刚度吸振器系统加入主动时滞反馈控制.

1.3 时滞耦合振动系统

为了解决进一步降低幅值、增大有效减振频带宽度和适当的共振峰幅值与反共振峰幅值差等问题, 考虑在含有负刚度的吸振器中耦合入时滞反馈控制, 此时系统的运动微分方程即为方程组(3), 该方程组考虑了以下两种条件:

(1) 考虑到主系统存在结构阻尼且不可以忽略, 此时主系统的阻尼系数为$\xi_{1} \ne 0$.

(2) 考虑到控制器硬件设备的限制, 时滞反馈控制增益系数$g$和时滞量$\tau $的取值范围做适当的限定, $g$和$\tau $的实际取值区间为: $r_{0} =\left\{(g, \tau)|0\leqslant g\leqslant 2, 0\leqslant \tau \leqslant 2\right\}$.

依据等峰优化条件式(8), 对含有时滞反馈控制的负刚度吸振器系统进行初步的等峰优化设计, 其优化条件如下

$A_{1} ( p, \varOmega_{res1} , g, \tau )=A_{1} ( p, \varOmega_{res2} , g, \tau )$

其中$ p=\left\{ {\mu , \xi_{1} , \xi_{2} , p, \alpha }\right\}$反映的是系统结构参数. 为了减小优化分析过程计算量, 考虑实际结构模型, 并对结构参数进行取值的限定, 假设质量比$\mu ={{m_{2} }/{m_{1} }}=0.1$和$\xi_{1} =0.501 7$固定不变, $ p$的其他结构参数初始值$ p_{0} $由式(9)确定.

2 时滞反馈控制的等峰优化设计

2.1 系统稳定性分析

时滞反馈控制会引起系统不稳定, 需要对反馈增益参数$g$和时滞量$\tau$进行稳定性分析, 判定方程组(3)稳定性的特征方程如下

$\begin{align} CE\left( {g, \tau , p} \right)=2\lambda^{3}\left( {\xi_{1} +p\left( {1+\mu } \right)\xi_{2} } \right)+ \\ \lambda^{4}+\lambda^{2}\left[ {1+p^{2}\left( {1+\alpha +\mu } \right)+4p\xi_{1} \xi_{2} } \right]+ \\ p^{2}(1+\alpha +p^{2}\alpha \mu )+gp^{2}e^{-\lambda \tau }(\lambda ^{2}+2\lambda \xi_{1} +1)+ \\ 2\lambda \left[ {p^{2}\left( {1+\alpha } \right)\xi_{1} +p\xi_{2} \left( {1+p^{2}\mu \alpha } \right)} \right]=0 \end{align}$

根据罗斯-霍尔维茨准则, 时滞耦合系统稳定的条件是特征方程(13)的特征根均为负实部, 其稳定区间的边界是特征方程(13)的特征根均为纯虚根, 即$\lambda =j\varOmega_c $, $\varOmega_c \in R^{+}$, 令$0\leqslant \varOmega_c \tau \leqslant 2\pi $, $\varOmega_c $是根的虚部. 本文考虑用CTCR[28]方法对系统进行稳定性分析, 进而得到如图3所示的$g$和$\tau $的稳定区间$r_{1} =\{(g, \tau )|Re[ C E( p, g, \tau)]<0\}\cap r_{0} $, 阴影部分代表稳定区间. 其中, 图3(a)以负刚度系数$\alpha =-0.8$为例, 给出了不同吸振器阻尼系数下$g$和$\tau $的稳定区间;图3(b)以吸振器阻尼系数$\xi_{2} =0.46$为例, 给出了不同负刚度系数下$g$和$\tau$的稳定区间, 此时结构参数$ p=\left\{ {\mu , \xi_{1} , \xi_{2} , p, \alpha } \right\}$.

图3

图3   不同结构参数下$g$和$\tau $的稳定区间

Fig.3   Stable intervals of $g$ and $\tau$ for different structural parameters


图3(a)中观察到, 随着吸振器阻尼系数的增大, $g$和$\tau$的稳定区间在不断增大; 从图3(b)中观察到, 随着负刚度系数绝对值的减小, $g$和$\tau $的稳定区间也在不断增大.

为了验证CTCR法求得的稳定区间, 以系统参数$\alpha =-0.8$, $\xi_{2}=0.46$为例, 给出$g$和$\tau $的稳定区域图如图4(a)所示. 从图4(a)中可以看出当$g=1.2$, $\tau =0.8$时, 时滞反馈控制系统是稳定的; 将上述时滞控制参数值分别代入特征方程(13), 用"quasi-polynomial mapping based root-finder"[36]法得到特征根, 取所有特征根中的实部最大值$Re_{\max } $, 分别得到图4(b)的$\tau-Re_{\max}$曲线和图4(c)的$g-Re_{\max}$曲线. 观察上述图可知, 图4(a)中的阴影区域是稳定的, 同时图4(b)和图4(c)中的临界值等于图4(a)的临界曲线上的值, 验证了CTCR方法求得的稳定区间是正确的.

图4

图4   $g$和$\tau $的稳定区域图

Fig.4   Stable intervals of $g$ and $\tau $


2.2 等峰优化准则

针对线性系统的被动式吸振器的等峰优化问题, 文献[6, 8]均通过固定点理论给出了详细的推导过程并给出式(9)和式(10)所示的优化参数解析表达式. 将质量比$\mu $代入该公式, 可以求得满足等峰的一组结构参数值, 但是无法通过优化过程控制和降低等峰值的振幅.

鉴于以上原因, 本文通过耦合入位移时滞反馈主动控制来对减振系统的等峰优化进行改善, 等峰优化同时能够实现控制和降低等峰振幅的目的. 但是, 运动微分方程中含有位移时滞反馈项, 对于这样的无限维振动系统, 无法通过固定点理论获得如式(9)所示的优化参数解析表达式. 本文采用半解析-半数值方法对该振动系统进行等峰优化设计, 数值计算的步长影响求解最优结构参数的精度, 设计一种等峰优化准则, 过程如下.

本文研究的是二自由度线性系统的等峰优化问题, 可以通过求解主系统振幅的极大值来进行等峰优化. 首先, 通过极值原理得到主系统极大值条件如下

$\dfrac{dA_{1} }{d\varOmega }=0, \ \ \dfrac{d^{2}A_{1} }{d\varOmega^{2}}<0$

其中${dA_{1}}/{d\varOmega }$, ${d^{2}A_{1} }/{d\varOmega^{2}}$是由式(7)求导得到. 进而得到共振点的频率值$\varOmega_res1 $和$\varOmega_res2 $, 代入式(7)求得共振频率点的幅值$A_res1 $和$A_res2$. 其次, 从满足降低共振峰幅值的角度, 本文将共振峰幅值控制在1.8以下, 同时使得两个共振峰的峰值相等, 考虑利用位移时滞反馈控制来调控共振点的幅值及共振频率的位置, 需要设计共振点振幅相等准则, 即设计如下等峰值小于给定值同时小于给定适当$A_PV $值的等峰准则

$\left. {\begin{array}{l} \dfrac{dA_{1}}{d\varOmega}\bigg|_{\varOmega =\varOmega_res1}=0, \ \ \dfrac{dA_{1}}{d\varOmega}\bigg|_{\varOmega =\varOmega_res2}=0 \\ \dfrac{d^{2}A_{1}}{d\varOmega^{2}}\bigg|_{\varOmega =\varOmega_res1}<0, \ \ \dfrac{d^{2}A_{1}}{d\varOmega^{2}}\bigg|_{\varOmega =\varOmega_res2}<0 \\ \left\| {A_{1} ( p, \varOmega_res1 , g, \tau )} \right\|-\left\| {A_{1}( p, \varOmega_res2 , g, \tau )} \right\|=0 \\ \left\| {A_{1} ( p, \varOmega_res1 , g, \tau )} \right\|=\left\| {A_{1}( p, \varOmega_res2 , g, \tau )} \right\|\leqslant 1.8 \\ \left\| {A_{1} ( p, \varOmega_res1 , g, \tau )} \right\|-\left\| {A_{1} ( p, \varOmega_anti , g, \tau )} \right\|\leqslant A_PV \\ \end{array}} \right\}$

设定$r_{2} $为满足共振峰幅值相等且共振峰小于给定值和小于给定适当值$A_PV=0.5$的稳定$g$和$\tau $的区间, 如下式所示

$\begin{aligned}r_{2}=&\left\{(g, \tau) \mid\left\langle\left\|A_{1}\left(\boldsymbol{p}, \Omega_{\mathrm{res} 1}, g, \tau\right)\right\|=\right.\right.\\&\left.\left.\left\|A_{1}\left(\boldsymbol{p}, \Omega_{\mathrm{res} 2}, g, \tau\right)\right\| \leqslant 1.8\right\rangle \&\left\langle A_{\mathrm{PV}} \leqslant 0.5\right\rangle\right\} \cap r_{1}\end{aligned}$

计算$r_{2} $的详细过程如流程图5所示. 其中对系统结构参数$ p_{0}$和$ p$之间划分为$N$等份, 即$\Delta p=\left( { p- p_{0} } \right)/N$, 接着对结构参数$ p_{0}^{n} $和$ p^{n}$之间划分为$H$等份, 即$\Delta p^{n}=\left( { p^{n}- p_{0}^{n} } \right)/H$, $N$和$H$的取值越大, $\Delta p$和$\Delta p^{n}$越小精度越高, 本文中取$N=40$, $H=100$. $\Delta p$中的参数变化只针对$\xi_{2}^{n} $, $\Delta p^{n}$中的参数变化只针对$\alpha $, 其他参数如表1所示.

图5

图5   流程图

Fig.5   The flow chart


表1   结构参数

Table 1  The structural parameters

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应用流程图5, 在不同结构参数$\alpha $和$\xi_{2}$下得到如图6(a)所示的增益系数$g$和时滞$\tau $所能调节共振峰的最大值$A_1H$曲面和最小值$A_1L $曲面, 其$\xi_{2} $截面如图6(c)的阴影区域所示; 同时得到增益系数$g$和时滞$\tau$所能调节的频带宽度最大值$F_BWH $曲面和最小值$F_BWL $曲面如图6(b)所示, 其$\xi_{2} $截面如图6(d)的阴影区域. 从图6(a)和图6(c)中知, 对于固定的负刚度值$\alpha $, 吸振器阻尼系数$\xi_{2} $取值越小, 位移时滞反馈控制所能优化降低共振峰的幅值越大, 减幅效果越不明显, 但都控制在1.8内; 对于固定的吸振器阻尼系数, 负刚度值$\alpha $的绝对值越小, 增益系数$g$和时滞$\tau $优化降低共振峰的幅值越小, 减幅效果越明显, 但最低幅值并没有低于1.2; 综上所述, 吸振器阻尼系数$\xi_{2}$对共振峰的影响较小, 负刚度值$\alpha $对共振峰的影响较大. 从图6(b)和图6(d)中知, 对于固定的负刚度值$\alpha $, 随着吸振器阻尼系数取值增大, $F_BWL $先减小后增大, $F_BWH $则一直增大, 即增益系数$g$和时滞$\tau $所能调节的有效频带宽度值$F_BW $呈增大趋势; 对于固定的吸振器阻尼系数, 随着负刚度值$\alpha $的绝对值越小, $F_BWL $-$\alpha $先减小后增大呈凹型抛物线状, 然后随着$\xi_{2} $增大$F_BWL $-$\alpha $的曲线呈凸型抛物线状, 而$F_BWH $-$\alpha$一直在增大. 这种$F_BWL $由凹变凸的变化趋势和$F_BWH$增大有助于增宽有效减振频带$F_BW $宽度.

图6

图6   (a) $A_{1}$, $\xi_{2}$, $\alpha $响应曲面; (b) $F_BW$, $\xi_{2}$, $\alpha $ 响应曲面; (c)不同$\xi_{2}$参数下$A_{1}-\alpha $ 响应截面图;(d) 不同$\xi_{2}$参数下$F_BW-\alpha $ 响应截面图

Fig.6   (a) Response curved surfaces of $A_{1}$, $\xi_{2}$ and $\alpha $; (b) response curved surfaces of $F_BW$, $\xi_{2}$ and $\alpha $; (c) response curves $A_{1}-\alpha$ on the section of different $\xi_{2}$; (d) response curves $F_BW-\alpha$ on the section of different $\xi_{2}$


以吸振器阻尼系数$\xi_{2} =0.46$为例, 下面分析负刚度值$\alpha$分别对$g$-$\tau$稳定曲线、共振峰幅值$A_1$和有效减振频带宽度$F_BW $的影响, 经过流程图5得到图7.为了便于从$\alpha$轴观察, 在图7(a)中画出不同负刚度值$\alpha$的截面, 随着负刚度值$\alpha$的绝对值增大, 满足所提等峰优化方法的$g$和$\tau$曲线范围越大. 图7(b)是不同负刚度值$\alpha$下的$g$, $\tau$和$A_1$的曲线, 从图中知, 负刚度值$\alpha$的绝对值越小, 使系统稳定的$g$和$\tau$所能降低共振峰$A_1$的幅值越小. 图7(c)是不同负刚度值$\alpha$下的$g$, $\tau$和$F_BW$的曲线, 从图中知, 负刚度值$\alpha$的绝对值越大, 使系统稳定的$g$和$\tau$所能拓宽有效减振频带宽度$F_BW $的范围越大.

图7

图7   在$\xi_{2}=0.46$时, 不同参数$\alpha $ 时等峰优化的各参数关系图

Fig.7   Parameter relationship graphs of equal-peak optimization under $\xi_{2}=$ 0.46 for different $\alpha $


综合图6图7可知, 在对共振峰幅值优化时, 当吸振器阻尼系数取值确定时, 负刚度$\alpha$的绝对值越小, 使系统稳定的$g$和$\tau$曲线范围越小, $g$和$\tau$所能降低的共振峰$A_1$的幅值越小和所能拓宽有效减振频带宽度$F_BW $的范围越小, 可以综合考虑共振峰$A_1$和有效减振频带宽度$F_BW $来取负刚度$\alpha$的值. 同时, 在实际控制系统中, 也可以选择能够使得有效减振频带宽度较宽和等峰幅值较小的控制参数, 实现对系统的宽频和低幅控制.

2.3 频域验证

为了验证位移时滞反馈控制的等峰优化结果, 以吸振器阻尼系数$\xi_{2} =0.46$为例, 从图7(b)中取$\alpha =-0.24$, 得到满足所提等峰优化方法的$g$和$\tau $曲线图8(a)和对应参数下的幅频响应曲线, 如图8(b) $\sim\!$图8(d). 从图8(b) $\sim\!$图8(d)中知, 共振峰幅值均控制在1.3左右, 有效减振频带$F_BW $能控制在在0.6附近, 此时共振峰幅值与反共振峰幅值的差值$A_PV $也控制在0.5以内.

图8

图8   稳定$g$-$\tau $曲线上3个标记圆点的幅频响应曲线: $\alpha =-0.24$; $\xi_{2}= 0.46$

Fig.8   Amplitude-frequency response curves for three dots on the stability curve of $g$-$\tau $: $\alpha=-0.24$; $\xi_{2}=0.46$


3 模型对比分析

本文设计了时滞反馈控制等峰优化的方法并对结构参数进行优化分析, 对共振峰的幅值和有效减振频带的宽度具有调节作用. 为了证明位移时滞反馈控制等峰优化方法的有效性, 选取本文的一组结构参数与Asami振动系统[6]和Peng振动系统[8]模型的最优结构参数进行对比分析, 其中$g=1.05$, $\tau =0.97$, 3种模型的其他结构参数如表2所示.

表2   三种模型的结构参数

Table 2  Structural parameters for three models

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把3种模型的结构参数分别代入式(7)得到3种吸振器的幅频响应曲线如图9所示, 其中实线是文献[6]模型的幅频响应曲线, 点划线是文献[8]模型的幅频响应曲线, 虚线是本文研究模型的幅频响应曲线. 从图9中可以看出, 与文献[6]的吸振器模型相比, 外激励频率$\varOmega $在$\left( {0.5\sim 1.3} \right)$区间内, 本文的位移时滞负刚度吸振器的减幅效果明显, 同时也极大的降低了共振频率点的幅值并且具有较宽的有效减振频带; 与文献[8]的吸振器模型相比, 当外激励频率$\varOmega $在$\left( {0\sim 1.3}\right)$区间, 本文的模型具有较好的减幅效果, 同时也把共振峰的幅值控制在1.3附近, 并且有效减振频带宽度与文献[8]的相差不到0.1.

图9

图9   不同吸振器模型下的幅频响应曲线

Fig.9   Amplitude-frequency response curves for different vibration absorber models


为了定量上对比分析本文吸振器模型与其他两种吸振器模型的减幅效果, 定义减幅百分比, 定义如下

$\rho _{1} =\dfrac{A_A -A_{1} }{A_A }\times 100\% , \ \ \rho _{2} =\dfrac{A_P -A_{1} }{A_P }\times 100\%$

其中$A_A$, $A_P $和$A_{1}$分别代表文献[6, 8]和本文模型的主系统的振幅, $\rho _{1} $和$\rho _{2} $是减幅百分比, 当外激励频率$\varOmega \in \left( {0\sim 3}\right)$画出减幅的百分比如图10所示.

图10

图10   主系统减振效果对比图

Fig.10   Control performance of the main system


图10是本文模型分别与Asami模型[6]和Peng模型[8]的主系统减振幅值百分比. 从图10(a)和图10(b)中可以看出, 均存在3个最大减振幅值百分比, 在$\varOmega \in \left( {0.5\sim 1.3} \right)$内的两个减幅百分比最大值对应文献[6]模型和文献[8]模型的两个共振频率;第三个最大的减幅百分比是由于本文模型的幅频响应曲线在第二共振峰后急剧下降引起的. 与文献[8]模型相比, 外激励$\varOmega $在$\left( {0\sim 1.3} \right)$内都能控制在20%以上, 特别在文献[8]的共振频率处能达到以上45%; 与文献[6]模型相比, 外激励$\varOmega $在$\left( {0.53\sim 1.3} \right)$内都能控制在20%以上, 特别在文献[6]的共振频率处能达到70%以上.

当外激励频率$\varOmega =1$时, 分别给出文献[6]模型, 文献[8]模型和本文模型的主系统的时间历程响应曲线图11(a) $\sim\!$图11(c)所示, 仿真的结果与图9的结果相吻合.

图11

图11   主系统的时间历程响应曲线

Fig.11   Time-history response curves of main system


4 结论

本文对时滞负刚度吸振器在共振频率点的幅值进行等峰优化设计, 优化过程兼顾了控制和降低共振峰幅值以及拓宽有效减振频带宽度, 得到以下主要几点结论.

(1) 对稳定区间的影响: 负刚度值$\alpha $的绝对值越小和吸振器阻尼系数$\xi_{2} $越大, 增益系数$g$和时滞$\tau $的稳定曲线所围成的阴影区域面积越大.

(2) 对共振峰的影响: 负刚度值$\alpha $的绝对值越小和吸振器阻尼系数$\xi_{2}$越大, 在增益系数$g$和时滞$\tau $的有效调节范围内降低共振峰幅值的效果越好, 共振峰最低能控制在1.3附近.

(3) 对有效减振频带宽度的影响: 随着负刚度值$\alpha $的绝对值减少和吸振器阻尼系数$\xi_{2} $增大, 增益系数$g$和时滞$\tau $所能调节的有效减振频带宽度最大值$F_BWH $一直在增大, 所能调节的频带宽度最小值$F_BWL $曲线先减少后增大, 其变化趋势由凹型抛物线变为凸型抛物线.

(4) 取一组经过等峰优化准则的增益系数$g$和时滞$\tau $, 对比文献[6]模型和文献[8]模型, 本文的模型在两者的共振频率附近的一段频带宽度内表现出很好的减幅效果, 同时在整个频率段具有较低的振幅.

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