不同排水条件下非饱和土中柱孔扩张问题的解析分析1)

doi:10.6052/0459-1879-20-439

不同排水条件下非饱和土中柱孔扩张问题的解析分析¹⁾

周凤玺^,^*^,^†^,²⁾, 牟占霖^*, 杨汝贤^**, 张雅森^*

^*兰州理工大学土木工程学院, 兰州 730050

^†西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心, 兰州 730050

^**甘肃建投建设有限公司, 兰州 730050

ANALYTICAL ANALYSIS ON THE EXPANSION OF CYLINDRICAL CAVITY IN UNSATURATED SOILS UNDER DIFFERENT DRAINAGE CONDITIONS¹⁾

Zhou Fengxi^,^*^,^†^,²⁾, Mu Zhanlin^*, Yang Ruxian^**, Zhang Yasen^*

^*School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China

^†Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou 730050, China

^**Gansu Jiantou Construction Co. LTD, Lanzhou 730050, China

通讯作者: 2)周凤玺, 教授, 主要研究方向: 岩土力学、复合材料结构力学. E-mail:geolut@163.com

收稿日期: 2020-12-20 接受日期: 2021-03-29 网络出版日期: 2021-05-19

基金资助:

1)国家自然科学基金. 11962016
国家自然科学基金. 51978320

Received: 2020-12-20 Accepted: 2021-03-29 Online: 2021-05-19

作者简介 About authors

摘要

现有的圆柱孔扩张理论已可为诸如石油工程中井筒稳定性鉴定、及旁压和圆锥贯入实验分析等提供理论依据, 但在非饱和地基压力注浆, 复合地基处理等实际工程问题中却鲜有应用. 基于弹塑性理论和非饱和土力学原理, 采用统一强度理论, 对非饱和土中柱形小孔扩张问题进行了解析研究. 首先将柱孔周围土体分为弹性区和塑性区, 并考虑在弹性区遵循小应变理论, 在塑性区遵循大应变理论, 同时考虑了中间主应力及粒间吸力对非饱和土体强度的影响. 其次应用有效应力表示的统一强度准则, 在本构关系、几何方程、动量平衡方程等基本方程的基础上, 结合相应的边界条件, 最终获得了不同排水条件下柱孔扩张时周围弹塑性区域内的应力场、应变场、位移场及极限扩孔压力的解析表达式. 通过数值算例和参数分析, 在与现有的饱和及非饱和土中柱孔扩张理论进行退化验证的同时, 分析了吸力、剪胀参数、中主应力效应参数及初始径向有效应力等对弹塑性区域内的应力场、应变场及位移场的影响规律, 验证了本文理论的正确性及有效性, 以期为实际工程问题提供合理的理论依据.

关键词： 非饱和土 ; 柱孔扩张 ; 统一强度准则 ; 极限扩孔压力 ; 弹塑性分析

Abstract

The existing expansion theory of cylindrical cavity has been able to provide theoretical basis for such as the wellbore stability evaluation in petroleum engineering and side pressure and cone penetration experiment analysis. But it is rarely applied in practical engineering problems such as unsaturated foundation pressure grouting and composite foundation treatment. Based on the theory of elastoplasticity and the principle of unsaturated soil mechanics, this paper adopts the unified strength theory to analyze the problem of cylindrical cavity expansion in unsaturated soil. Firstly, the soil around the cylindrical cavity is divided into the elastic zone and plastic zone and consider following the small strain theory in the elastic zone and the large strain theory in the plastic zone, and considering the influence of intermediate principal stress and inter-grain suction on the strength of unsaturated soil. Secondly, applying the unified strength criterion expressed by effective stress, based on basic equations such as constitutive relations, geometric equations, and momentum balance equations, combined with the corresponding boundary conditions. Finally, the analytical expressions of the stress field, strain field, displacement field and limit reaming pressure in the surrounding elastic-plastic region when the cylindrical cavity expands under different drainage conditions are obtained. Through numerical examples and parameter analysis, while degenerating verification with the existing expansion theory of cylindrical cavity in saturated and unsaturated soils, the influence laws of suction, dilatancy parameters, intermediate principal stress effect parameters and initial radial effective stress on the stress field, strain field and displacement field in the elasto-plastic region are analyzed. So as to verify the correctness and effectiveness of the theory in this article, in order to provide a reasonable theoretical basis for the later practical engineering problems.

Keywords： unsaturated soil ; expansion of cylindrical cavity ; unified strength criterion ; limited cavity expansion pressure ; elastoplastic analysis

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本文引用格式

周凤玺, 牟占霖, 杨汝贤, 张雅森. 不同排水条件下非饱和土中柱孔扩张问题的解析分析¹⁾. 力学学报, 2021, 53(5): 1496-1509 DOI:10.6052/0459-1879-20-439

Zhou Fengxi, Mu Zhanlin, Yang Ruxian, Zhang Yasen. ANALYTICAL ANALYSIS ON THE EXPANSION OF CYLINDRICAL CAVITY IN UNSATURATED SOILS UNDER DIFFERENT DRAINAGE CONDITIONS¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2021, 53(5): 1496-1509 DOI:10.6052/0459-1879-20-439

引言

圆孔扩张理论最先由Bishop等^[1]提出用来解决金属压痕问题, 被Vesic^[2]将其引入岩土与地下工程领域后, 在诸如旁压和圆锥贯入试验问题^[3-4]、石油工程中井筒稳定性的鉴定^[5-6]、桩轴和地锚承载力的确定^[7]以及沉桩扩孔和静力触探^[8-13]等工程实践中得到了普遍应用, 同时也促进了圆孔扩张理论的长足发展.

圆孔扩张问题的现有解答大多数都是建立在饱和土体基础上提出的^[14-18], 因而对于非饱和土地区的实际工程问题缺乏指导意义. 首先, 非饱和土是多相混合体, 土中吸力会显著影响圆孔扩张后周围土体中应力场的分布, 且不同于饱和土体, 超孔隙水压力在非饱和土中难以产生, 尤其在不同排水条件下, 土体的体积变化情况对土体中应力应变场分布成为关键影响因素. 现有对于非饱和土中圆孔扩张问题的研究中, Russell和Khalili^[19]采用有效应力和界面塑性理论的概念, 在临界状态框架下建立统一的本构模型并考虑吸力和颗粒破碎的影响, 对非饱和土圆孔扩张问题进行了求解, 但其采用的是相对复杂的边界面模型, 最终使用相似解技术得到了两种不同土壤条件下的球柱形小孔扩张的半解析解; 胡伟等^[20-21]考虑了土体体积变化的影响, 结合修正剑桥模型推导出了非饱和土中球形孔扩张后土体中应力、位移分布的解析解, 但其未将净应力和吸力的作用效应分开考虑, 认为球孔扩张是在净应力和基质吸力耦合作用下发生的, 忽略了吸力的影响; Yang和Russell^[22]使用相似解技术对非饱和粉砂的圆孔扩张进行分析, 在分析中, 孔隙比、吸力、饱和度和有效应力作用是完全耦合的, 此外, 他研究了3种不同排水条件(恒定吸力、恒定含水量和吸力对有效应力的恒定贡献)对空腔壁压的影响, 发现排水条件下吸力的影响与其他两个条件非常接近. 目前, 非饱和土圆孔扩张问题的解答多是基于修正剑桥模型和边界面塑性模型进行分析, 很少考虑土体中的中间主应力在圆孔扩张中的影响. 鉴于此, 赵均海等^[23]利用统一强度理论, 合理考虑中间主应力和基质吸力的效应, 得到了非饱和土中柱孔扩张问题的统一弹塑性解, 并与现有的基于M-C准则的公式进行对比验证, 但上述成果并未分析不同排水条件下柱孔周围土体体积变化及土体剪胀对于周围弹塑性区应力应变场分布的影响.

基于以上研究基础, 本文将采用统一强度理论, 视非饱和土体为均匀且各向同性的弹塑性材料, 将柱孔周围土体分为弹性区和塑性区, 并提出在弹性区遵循小应变理论, 在塑性区遵循大应变理论, 以得到综合考虑中间主应力、吸力、不同排水条件及土体剪胀等影响因素下的非饱和土中柱孔扩张时周围弹塑性区内应力场和应变场分布规律与最大塑性区半径及极限扩孔压力的解析解, 通过与已有的饱和及非饱和土中柱孔扩张解答进行退化验证与对比计算来证明解答的有效性, 以期为非饱和地基压力注浆、复合地基处理等设计提供合理的理论参考依据.

1 柱孔扩张模型

实际工程中, 非饱和土地基进行压力注浆时, 浆柱与周围土壤存在明显的分界面, 在均匀土壤中, 其近似于柱状, 水泥浆的膨胀会导致紧邻膨胀桨柱的注浆土壤区域在径向和切向有效应力作用下出现严重的破坏区, 即剪切和塑性变形. 随着土壤与注浆界面距离的增大, 变形基本变为弹性. 考虑一种理想情况, 钻孔后将浆液注入地面, 而不干扰周围土壤, 并将注浆管牢固地密封在周围地面上, 从而使上述问题变为一个典型的柱孔扩张问题.

非饱和土中柱孔扩张模型示意图如图1所示. 柱形孔初始半径为$a_0$, 承受初始内压力$p$, 当内压从初始内压力$p$增大至极限有效孔压$p_u'$时, 小孔半径达到最终扩孔半径$a_u$, 此时塑性区半径为$r_p$, 塑性区范围为$a_{u} \leqslant r \leqslant r_{p}$, 弹性区范围为$r \geqslant r_{p}$. 图中$u_{rp}$为扩孔后弹性区与塑性区交界处的位移, ${\sigma }'_{r} $和${\sigma}'_{\theta } $分别为径向有效应力和切向有效应力, $r_{p0}$为弹塑性交界面在扩孔前距孔中心的距离, $p'_0$为作用在周围的初始径向有效应力.

图1

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图1 柱孔扩张模型示意图

Fig.1 Schematic diagram of the expansion of cylindrical cavity model

1.1 基本假定

在对非饱和土在排水条件及不排水条件下的柱孔扩张问题的弹塑性解析中, 作出以下几点假设:

(1)非饱和土体是均匀的且各向同性的弹塑性材料, 且在发生柱孔扩张前$\sigma_{r 0}^{\prime}=\sigma_{\theta 0}^{\prime}=p_{0}^{\prime}$;

(2)充分考虑中间主应力效应对不同应力条件下的土体发生屈服及破坏的影响, 柱孔周围土体屈服服从统一强度准则;

(3)扩孔过程中, 土体在弹性区遵循小应变理论, 在塑性区遵循大应变理论.

1.2 基本方程

1.2.1 有效应力原理

非饱和土的有效应力原理是非饱和土力学的核心, 目前有以单应力状态变量^[24]、双应力状态变量^[25]和复合应力状态变量^[26]表示的有效应力公式. 其中Lu等^[27]在考虑颗粒间相互作用力的基础上, 提出了简化后的有效应力表达式为

(1)$\begin{eqnarray} \label{eq1} {\sigma }'=\sigma -u_{\rm a} +s_{r} (u_{\rm a} -u_{\rm w} )=\sigma_{\rm n} +s_{r} s \end{eqnarray}$

式中, $\sigma'$为有效应力, $u_{\rm a}$为孔隙气压力, $u_{\rm w}$为孔隙水压力, $s_{r}$为土体饱和度, $\sigma_{\rm n}=\sigma-u_{\rm a}$为净法向应力, $s=u_{\rm a}-u_{\rm w}$为基质吸力.

1.2.2 非饱和土抗剪强度理论

将式(1)代入有效应力表示的抗剪强度公式,可得

(2)$\begin{eqnarray} \label{eq2} \tau_{\rm f} ={c}'+(\sigma -u_{\rm a} )\tan {\varphi }' \end{eqnarray}$

式中, $c'=c'_{0}+s_{r}\left(u_{\rm a}-u_{\rm w}\right)_{\rm f} \tan \varphi'$为非饱和土有效黏聚力, 其中$c'_0$为相应饱和状态时的黏聚力; $\varphi'$为有效内摩擦角.

式(2)表明非饱和土的抗剪强度随净法向应力的增大而增大, 并且由于饱和度对粒间吸力的影响使得基质吸力的增大引起了非饱和土黏聚力的增大.

1.2.3 几何方程

弹性区遵循小应变理论的几何方程为

(3a)$\varepsilon_{r}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} r}$

(3b)$\varepsilon_{\theta}=\frac{u}{r}$

式中, $\varepsilon_{r}$, $\varepsilon_{\theta }$分别为径向应变与切向应变; $u$为土体位移; $r$为土体半径.

在塑性区根据大变形理论可得几何方程为

(4a)$\varepsilon_{r}=-\ln \left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} r_{0}}\right)$

(4b)$\varepsilon_{\theta}=-\ln \left(\frac{r}{r_{0}}\right)$

式中, $r_0$为土体内任意某一土体单元距离柱孔中心的初始半径距离; $r$为这一单元扩孔后的半径.

1.2.4 本构方程

考虑非饱和土中的柱形扩孔问题属于平面应变问题, 则本构关系用有效应力形式表示为

(5)$\left.\begin{array}{rl}\varepsilon_{r} & =\frac{1-\mu^{2}}{E}\left(\sigma_{r}^{\prime}-\frac{\mu}{1-\mu} \sigma_{\theta}^{\prime}\right) \\\varepsilon_{\theta} & =\frac{1-\mu^{2}}{E}\left(\sigma_{\theta}^{\prime}-\frac{\mu}{1-\mu} \sigma_{r}^{\prime}\right)\end{array}\right\}$

式中, $E$为材料的弹性模量, $\mu$为泊松比.

1.2.5 微分平衡方程

小孔周围土体的应力关系满足下式

(6)$\begin{eqnarray} \label{eq6} \dfrac{\partial \sigma_{r} }{\partial r}+\dfrac{\sigma_{r} -\sigma_{\theta } }{r}=0 \end{eqnarray}$

结合式(1)和式(6)可得到用有效应力表示的小孔周围土体满足的平衡方程为

(7)$\begin{eqnarray} \dfrac{\partial {\sigma }'_{r} }{\partial r}+\dfrac{{\sigma }'_{r} -{\sigma }'_{\theta } }{r}-\eta s_{r} \dfrac{\partial s}{\partial r}=0 \end{eqnarray}$

式中, $\eta$代表折减系数, $\eta =1+({s}/{s_{r} })({\partial s_{r} }/{\partial s})$.

1.2.6 屈服准则

根据统一强度理论^[28], 用有效应力表示的非饱和土屈服准则为

(8)$\begin{eqnarray} {\sigma }'_{r} ={M}{\sigma }'_{\theta } +{\sigma}_{0} \end{eqnarray}$

其中

(9a)$M=\frac{2(1+b)\left(1+\sin \varphi^{\prime}\right)+m b\left(\sin \varphi^{\prime}-1\right)}{[2(1+b)-m b]\left(1-\sin \varphi^{\prime}\right)}$

(9b)$\sigma_{0}=\frac{4(1+b) c^{\prime} \cos \varphi^{\prime}}{[2(1+b)-m b]\left(1-\sin \varphi^{\prime}\right)}$

式中, $c'$为土体有效黏聚力; $\varphi'$为有效内摩擦角; $b$为表征中间主应力效应的参数, 可由试验测定, 通常取值范围为$0\sim1$; $m$为中主应力参数, 在平面应变条件下$m\leqslant1$, 当土体进入塑性状态时$m \to 1$.

2 排水条件下的弹塑性解答

排水条件下考虑恒定吸力$s$的情况^[19], 可得到

(10)$\begin{eqnarray} \label{eq10} \dfrac{\partial s}{\partial r}=0 \end{eqnarray}$

结合式(7), 排水条件下的平衡方程为

(11)$\begin{eqnarray} \label{eq11} \dfrac{\partial {\sigma }'_{r} }{\partial r}+\dfrac{{\sigma }'_{r} -{\sigma }'_{\theta } }{r}=0 \end{eqnarray}$

2.1 弹性区解答

2.1.1 弹性区应力场解答

弹性区的应力边界条件为

(12)$\begin{eqnarray} \label{eq12} \left. {\begin{array}{l} \left. {{\sigma }'_{r} } \right|_{r=r_{p} } ={\sigma }'_{rp} \\ \left. {{\sigma }'_{r} } \right|_{r\to \infty } ={p}'_{0} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

结合式(11)和式(12)可解得弹性区内有效应力场如下

(13)$\begin{eqnarray} \label{eq3} \left.{\begin{array}{l} {\sigma }'_{r} =({\sigma }'_{rp} -{p}'_{0} )\dfrac{r_{p}^{2} }{r^{2}}+{p}'_{0} \\[2mm] {\sigma }'_{\theta } =({p}'_{0} -{\sigma }'_{rp} )\dfrac{r_{p}^{2} }{r^{2}}+{p}'_{0} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

2.1.2 弹性区应变场及位移场解答

结合式(3b)、式(5)、式(13)及假设(1), 最终可得弹性区内的应变场及位移场解答如下

(14)$\begin{eqnarray} &&\left. {\begin{array}{l} \varepsilon_{r} =\dfrac{1}{2G}({\sigma }'_{rp} -{p}'_{0} )\dfrac{r_{p}^{2} }{r^{2}} \\[2mm] \varepsilon_{\theta } =\dfrac{1}{2G}({p}'_{0} -{\sigma }'_{rp} )\dfrac{r_{p}^{2} }{r^{2}} \\[2mm] \end{array}} \right\}\end{eqnarray}$

(15)$\begin{eqnarray} &&u_{r} =\dfrac{1}{2G}({\sigma }'_{rp} -{p}'_{0} )\dfrac{r_{p}^{2} }{r} \end{eqnarray}$

式中, $G={E}/[{2\left( {1+\mu } \right)}]$为材料的剪切模量. 结合应力边界条件, 并将弹性区内的有效应力场式(13)代入式(8), 可得弹塑性交界面上的径向及切向有效应力如下

(16)$\begin{eqnarray} \label{eq16} \left. {\begin{array}{l} \left. {{\sigma }'_{r} } \right|_{r=rp} =\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M} \\[2mm] \left. {{\sigma }'_{\theta } } \right|_{r=rp} =\dfrac{2{p}'_{0} -\sigma_{0} }{1+M} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

2.2 塑性区解答

2.2.1 塑性区应变场解答

在塑性区应变场问题中, 径向与切向的总应变包括弹性应变和塑性应变两部分, 表示如下

(17)$\begin{eqnarray} &&\varepsilon_{r} =\varepsilon_{r}^{\rm e} +\varepsilon_{r}^{p}\end{eqnarray}$

(18)$\begin{eqnarray} &&\varepsilon_{\theta } =\varepsilon_{\theta }^{\rm e} +\varepsilon_{\theta }^{p} \end{eqnarray}$

将式(16)代入式(15)可得弹塑性交界面上的径向位移为

(19)$\begin{eqnarray} \left. {u_{r} } \right|_{r=r_{p} } =\dfrac{1}{2G}\left( {\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} } \right)r_{p} \end{eqnarray}$

结合式(3a)、式(3b)可得弹塑性交界面上的径向及切向的极限弹性应变为

(20)$\begin{eqnarray} \label{eq20} \varepsilon_{rp}^{\rm e} =-\varepsilon_{\theta p}^{\rm e} =\dfrac{1}{2G}(\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} ) \end{eqnarray}$

本文中在塑性区采用非关联流动法则, 因为塑性区内弹性应变相对于塑性应变很小可忽略, 所以在塑性区内的径向塑性应变$\varepsilon_r^p$与切向塑性应变$\varepsilon_{\theta}^p$有如下关系

(21)$\begin{eqnarray} \label{eq21} \varepsilon_{r}^{p} +\dfrac{1}{h}\varepsilon_{\theta }^{p} =0 \end{eqnarray}$

式中, $h$为剪胀特性参数, $h=({1+\sin \xi })/({1-\sin \xi })$; $\zeta$为土体剪胀角, 用来表示土体在剪切过程中体积变化率的一个物理量.

联立式(4a)和式(4b)、式(17)和式(18)及式(20)和式(21)可得塑性区内的位移协调方程为

(22)$\begin{eqnarray} \label{eq22} \ln \dfrac{{\rm d}r}{{\rm d}r_{0} }+\dfrac{1}{h}\ln \dfrac{r}{r_{0} }=A(\dfrac{1}{h}-1) \end{eqnarray}$

式中

$\begin{eqnarray*} A=\dfrac{1}{2G}(\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0}) \end{eqnarray*}$

解上式微分方程可得

(23)$\begin{eqnarray} \label{eq23} {\rm e}^{\frac{A\left( {h-1} \right)}{h}}\left( {r^{1+\frac{1}{h}}-r_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right)=a^{1+\frac{1}{h}}-a_{0}^{1+\frac{1}{h}} \end{eqnarray}$

式中, $a_0$为柱孔的初始孔径, $a$ 为柱孔扩孔过程中的孔径. 则在弹塑性边界面上有

(24)$\begin{eqnarray} \label{eq24} {\rm e}^{\frac{A(h-1)}{h}}\left[ {r_{p}^{1+\frac{1}{h}} -\left( {r_{p} -u_{rp} } \right)^{1+\frac{1}{h}}} \right]=a^{1+\frac{1}{h}}-a_{0}^{1+\frac{1}{h}} \end{eqnarray}$

式(24)利用泰勒公式展开, 并在代入边界条件$u_{r}|_{r=r_{p}}=\left(\sigma_{r p}^{\prime}-p_{0}^{\prime}\right) r_{p}/(2G)$后, 忽略$u_{r p} / r_{p}$的高阶项, 可得到

(25)$\begin{eqnarray} \dfrac{\left( {{\sigma }'_{rp} -{p}'_{0} } \right)\left( {1+h} \right){\rm e}^{\frac{A(h-1)}{h}}}{2Gh}(\dfrac{r_{p} }{a})^{1+\frac{1}{h}}+(\dfrac{a_{0} }{a})^{1+\frac{1}{h}}=1 \end{eqnarray}$

当$a\to a_u$时, 此时$a_0/a_u \to 0$, $r_p/a \to r_p/a_u$, 由式(25)可简化得到扩孔后的塑性区最终半径$r_p$为

(26)$\begin{eqnarray} \label{eq26} r_{p} =\left[ {\dfrac{2Gh}{\left( {{\sigma }'_{rp} -{p}'_{0} } \right)\left( {1+h} \right){\rm e}^{\frac{A(h-1)}{h}}}} \right]^{\frac{h}{1+h}}a_{u} \end{eqnarray}$

由式(23)可解得塑性区内切向总应变表达式如下

(27)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} \varepsilon_{\theta } \!=\!-\dfrac{h}{1+h}\ln \left[ 1+\dfrac{{\rm e}^{\frac{A(1-h)}{h}}\left( {a^{1+\frac{1}{h}}-a_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right)}{r_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right] \\ \varepsilon_{r}\! =\!A\left( {1-\dfrac{1}{h}} \right)+\dfrac{1}{1+h}\ln \left[1+\dfrac{{\rm e}^{\frac{A(1-h)}{h}}\left( {a^{1+\frac{1}{h}}-a_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right)}{r_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right] \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

则结合式(17)和式(18)、式(20)及式(27)可得到塑性区内径向及切向塑性应变为

(28)$\begin{eqnarray} \left.{\begin{array}{l} \varepsilon_{\theta }^{p} =A-\dfrac{h}{1+h}\ln \left[ {1+\dfrac{{\rm e}^{\frac{A(1-h)}{h}}\left( {a^{1+\frac{1}{h}}-a_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right)}{r_{0}^{1+\frac{1}{h}} }} \right] \\ \varepsilon_{r}^{p} =\dfrac{1}{1+h}\ln \left[ {1+\dfrac{{\rm e}^{\frac{A_{0} (1-h)}{h}}\left( {a^{1+\frac{1}{h}}-a_{0}^{1+\frac{1}{h}} } \right)}{r_{0}^{1+\frac{1}{h}} }} \right]-\dfrac{A}{h} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

2.2.2 塑性区应力场解答

将式(8)代入式(11), 求解后可解得

(29)$\begin{eqnarray} \sigma'_{r}=-\dfrac{\sigma_{0} }{M-1}+Cr^{\frac{1-M}{M}} \end{eqnarray}$

式中$C$为积分常数.

塑性区内的边界条件如下

(30)$\begin{eqnarray} \label{eq30} \left.{\begin{array}{l} \left. {{\sigma }'_{r} } \right|_{r=a_{u} } ={p}'_{u} \\ \left. {{\sigma }'_{r} } \right|_{r=r_{p} } ={\sigma }'_{rp} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

将式(30)代入式(29)可解得$C$的表达式如下

(31)$\begin{eqnarray} \label{eq31} C=({\sigma }'_{rp} +\dfrac{\sigma_{0} }{M-1})r_{p}^{1-\frac{1}{M}} \end{eqnarray}$

结合式(8)、式(29)及式(31)可得塑性区内的有效应力场如下

(32)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} {\sigma }'_{r} =-\dfrac{\sigma_{0} }{M-1}+({\sigma }'_{rp} +\dfrac{\sigma_{0} }{M-1})\left( {\dfrac{r}{r_{p} }} \right)^{\frac{1-M}{M}} \\ {\sigma }'_{\theta } =-\dfrac{\sigma_{0} }{M-1}+\dfrac{1}{M}\left[ {({\sigma }'_{rp} +\dfrac{\sigma_{0} }{M-1})\left( {\dfrac{r}{r_{p} }} \right)^{\frac{1-M}{M}}} \right] \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

结合式(26)及式(32)可得, 非饱和土柱形扩孔问题的极限扩孔压力的解答如下

(33)$\begin{eqnarray} &&{p}'_{u1} =-\dfrac{\sigma_{0} }{M-1}+\left( {{\sigma }'_{rp} +\dfrac{\sigma_{0} }{M-1}} \right)\cdot \\&&\qquad\left\{ {\left[ {\dfrac{\left( {{\sigma }'_{rp} -{p}'_{0} } \right)\left( {1+h} \right){\rm e}^{\frac{A(h-1)}{h}}}{2Gh}} \right]^{\frac{h}{1+h}}} \right\}^{\frac{1}{M}-1} \end{eqnarray}$

3 不排水条件下的弹塑性解答

3.1 弹性区解答

本文为了分析不排水条件下柱孔扩张时周围弹塑性区内应力场, 定义

(34)$\begin{eqnarray} \label{eq34} \left. {\begin{array}{l} {p}'=\dfrac{{\sigma }'_{r} +{\sigma }'_{\theta } }{2} \\ {q}'={\sigma }'_{r} -{\sigma }'_{\theta } \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

此时本构关系可表示为

(35)$\begin{eqnarray} \label{eq35} \left( {\begin{array}{l} {p}' \\ {q}' \\ \end{array}} \right)=\left( {{\begin{array}{*{20}c} K & 0 \\ 0 & {2G} \\ \end{array} }} \right)\left( {\begin{array}{l} \varepsilon_{v}^{\rm e} \\ \varepsilon_{q}^{\rm e} \\ \end{array}} \right) \end{eqnarray}$

式中, $p'$为有效平均应力, $q'$为有效剪切应力, $K$为体积模量, $G$为剪切模量, $\varepsilon_{v}^{\rm e}$为弹性体积应变, $\varepsilon_{q}^{\rm e}$为弹性剪切应变.

忽略不排水条件下弹性区体积应变^[19], 即$D\varepsilon_{v}^{\rm e}=0$, 结合式(35)可知$Dp'=0$, 则在弹性区内$p'=p'_0$. 将式(13)及折减系数$\eta$代入式(7)可得

(36)$\begin{eqnarray} \label{eq36} s_{r} \dfrac{\partial s}{\partial r}+s\dfrac{\partial s_{r} }{\partial r}=0 \end{eqnarray}$

因此, 排水情况下的弹性区内的解答在不排水条件下同样适用.

3.2 塑性区解答

3.2.1 塑性区应变场解答

柱孔孔径从$r_0$扩张到$r$, 体积应变的表达式为

(37)$\begin{eqnarray} \label{eq37} \varepsilon_{v} =\varepsilon_{r} +\varepsilon_{\theta } \end{eqnarray}$

不排水条件下柱孔扩张时, 当非饱和土中的气压保持不变, 土体是等容变形, 其塑性区域内的体积应变及体积应变率均为0, 即

(38)$\begin{eqnarray} \label{eq38} \varepsilon_{r} =-\varepsilon_{\theta } ,\ \ \dot{{\varepsilon }}_{v}^{p} =-\dot{{\varepsilon }}_{v}^{\rm e} \end{eqnarray}$

结合式(4a)、式(4b)及式(38)可得

(39)$\begin{eqnarray} \label{eq39} r^{2}-r_{0}^{2} =a^{2}-a_{0}^{2} \end{eqnarray}$

在弹塑性交界面则有

(40)$\begin{eqnarray} \label{eq40} r_{p}^{2} -(r_{p} -u_{rp} )^{2}=a^{2}-a_{0}^{2} \end{eqnarray}$

柱孔扩张过程中, 周围土体单元扩张速率与柱孔扩张速率之间的关系如下^[29]

(41)$\begin{eqnarray} \label{eq41} \dot{{r}}=\dfrac{a\dot{{a}}}{r} \end{eqnarray}$

式中, $\dot{r}$为土体单元半径变化速率; $\dot{a}$为小孔半径变化速率, $r$为扩孔过程中土体单元当前半径; $a$为扩孔过程中小孔当前半径.

由式(41)可得剪切应变率$\dot{\varepsilon}_q$表达式如下

(42)$\begin{eqnarray} \label{eq42} \dot{{\varepsilon }}_{q} =\dfrac{2a\dot{{a}}}{r^{2}} \end{eqnarray}$

将式(39)代入式(42), 剪切应变率可表示为

(43)$\begin{eqnarray} \label{eq43} \dot{{\varepsilon }}_{q} =\dfrac{2a\dot{{a}}}{r_{0}^{2} +a^{2}-a_{0}^{2} } \end{eqnarray}$

将上式积分, 可以得到与$r_0$相关的剪切应变$\varepsilon_q$的表达式

(44)$\begin{eqnarray} \label{eq44} \varepsilon_{q} =\ln \left( {\dfrac{r_{p0}^{2} +a^{2}-a_{0}^{2} }{r_{p0}^{2} }} \right)=-\ln \left( {1-\dfrac{a^{2}-a_{0}^{2} }{r^{2}}} \right) \end{eqnarray}$

将式(19)代入式(40)并忽略$r_p/G$的高阶项可得

(45)$\begin{eqnarray} \label{eq45} \left( {\dfrac{a_{0} }{a}} \right)^{2}+\left( {\dfrac{r_{p} }{a}} \right)^{2}\dfrac{{\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} }}{G}=1 \end{eqnarray}$

式(45)表明了某一刻的扩孔半径$a$与塑性区半径$r_p$之间的关系. 当$a\to a_u$时, 此时$a_0/a_u\to0$, $r_p/a\to r_p/a_u$, 由式(45)可得扩孔后的塑性区最终半径$r_p$为

(46)$\begin{eqnarray} r_{p} =a_{u} \sqrt {\dfrac{G}{ {\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} }}} \end{eqnarray}$

联立式(4a)、式(4b)、式(38)及式(45)可得不排水条件下柱孔周围塑性区内应变场如下

(47)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} \varepsilon_{\theta } =\dfrac{1}{2}\ln \left[ {1-\left( {\dfrac{r_{p} }{r}} \right)^{2}\dfrac{{\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} }}{G}} \right] \\ \varepsilon_{r} =-\dfrac{1}{2}\ln \left[ {1-\left( {\dfrac{r_{p} }{r}} \right)^{2}\dfrac{ {\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} }}{G}} \right] \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

由式(20)可得塑性区内径向及切向塑性应变表达如下

(48)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} \varepsilon_{\theta }^{p} =\dfrac{1}{2}\ln \left[ {1-\left( {\dfrac{r_{p} }{r}} \right)^{2}\dfrac{ {\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} }}{G}} \right]-A \\ \varepsilon_{r}^{p} =A-\dfrac{1}{2}\ln \left[ {1-\left( {\dfrac{r_{p} }{r}} \right)^{2}\dfrac{{\dfrac{2M{p}'_{0} +\sigma_{0} }{1+M}-{p}'_{0} }}{G}} \right] \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

3.2.2 塑性区应力场解答

为解答柱孔周围塑性区应力场分布, 假设不排水条件下非饱和土柱孔扩张时塑性区中的屈服条件(式(48))和塑性流动法则(式(49))分别为

(49)$\begin{eqnarray} &&{q}'=g\left( {{p}'} \right)\end{eqnarray}$

(50)$\begin{eqnarray} \dfrac{\dot{{\varepsilon }}_{v}^{p} }{\dot{{\varepsilon }}_{q}^{p} }=L\left( {{p}'} \right) \end{eqnarray}$

式中, $\dot{{\varepsilon }}_{v}^{p}$为塑性体积应变速率, $\dot{{\varepsilon }}_{q}^{p}$为塑性剪切应变速率.

联立式(35)、式(38)、式(49)和式(50)可得总剪切应变率为

(51)$\begin{eqnarray} \dot{{\varepsilon }}_{q} =\dot{{\varepsilon }}_{q}^{\rm e} +\dot{{\varepsilon }}_{q}^{p} =f\left( {{p}'} \right){\dot{{p}}}' \end{eqnarray}$

则总的剪切应变增量可表示为

(52)$\begin{eqnarray} \label{eq52} {\rm d}\varepsilon_{q} =f\left( {{p}'} \right){\rm d}{p}' \end{eqnarray}$

其中

(53)$\begin{eqnarray} \label{eq53} f\left( {{p}'} \right)= {\dfrac{{g}'\left( {{p}'} \right)}{2G\left( {{p}'} \right)}-\dfrac{1}{K\left( {{p}'} \right)L\left( {{p}'} \right)}} \end{eqnarray}$

结合式(53)进行积分, 最终可得到剪切应变$\varepsilon_{q}$与有效平均应力$p'$之间得关系式如下

(54)$\begin{eqnarray} \label{eq54} \varepsilon_{q} =\varepsilon_{q0} +\int {f\left( {{p}'} \right){\rm d}{p}'} -\int {f\left( {{p}'_{0} } \right){\rm d}{p}'_{0} } \end{eqnarray}$

式中, $\varepsilon_{q0}$为土体性质决定的土体屈服时的剪切应变.

将式(35)中的弹性剪切应变沿质点路径进行积分可得

(55)$\begin{eqnarray} \label{eq55} \varepsilon_{q_{0} } =\dfrac{{q}'_{0} }{2G_{0} } \end{eqnarray}$

由式(34)可得

(56)$\begin{eqnarray} \label{eq56} \left. {\begin{array}{l} {\sigma }'_{r} ={p}'+\dfrac{{q}'}{2} \\[2mm] {\sigma }'_{\theta } ={p}'-\dfrac{{q}'}{2} \\ \end{array}} \right\} \end{eqnarray}$

将式(56)代入式(8)可得用$p'$与$q'$表示的屈服准则

(57)$\begin{eqnarray} \label{eq57} {q}'=g\left( {{p}'} \right)=\dfrac{2}{1+M}\left[ {\sigma_{0} +\left( {M-1} \right){p}'} \right] \end{eqnarray}$

式(35)中得体积模量$K$及剪切模量$G$可分别表示为

(58)$\begin{eqnarray} &&K=\dfrac{v{p}'}{\kappa }\end{eqnarray}$

(59)$\begin{eqnarray}&&G=\beta K \end{eqnarray}$

式中, $v$为非饱和土体的比体积; $\kappa$为非饱和土在$v-p'$平面上的加载$\!-\!$再加载线的斜率; 根据体积模量, 剪切模量及弹性模量间的关系, 可得$\beta$表达式为: $\beta ={3(1-2\mu)}/[2(1+\mu)]$.

运用正交流动法则计算塑性区内的塑性体积应变率和塑性剪切应变率, 代入式(50), 可得

(60)$\begin{eqnarray} \label{eq60} \dfrac{\dot{{\varepsilon }}_{v}^{p} }{\dot{{\varepsilon }}_{q}^{p} }=L\left( {{p}'} \right)=\dfrac{M-1}{1+M} \end{eqnarray}$

将式(57)$\sim$式(60)代入式(53)可得

(61)$\begin{eqnarray} \label{eq61} f\left( {{p}'} \right)=\dfrac{\kappa }{v{p}'}\left[ {\dfrac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\dfrac{M+1}{M-1}} \right] \end{eqnarray}$

将式(61)代入式(54)后最终可得

(62)$\begin{eqnarray} \label{eq62} \varepsilon_{q} =\dfrac{{q}'_{0} }{2G_{0} }+\dfrac{\kappa }{v}\left[ {\dfrac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\dfrac{M+1}{M-1}} \right]\ln \dfrac{{p}'}{{p}'_{0} } \end{eqnarray}$

联立式(44)与式(62)最终可解得

(63)$\begin{eqnarray} \label{eq63} {p}'=\left[ {\left( {1-\dfrac{a^{2}-a_{0}^{2} }{r^{2}}} \right){\rm e}^{\frac{q_{0}^{\prime }}{2G_{0} }}} \right]^{-\frac{v}{\kappa \left( {\frac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\frac{M+1}{M-1}} \right)}}{p}'_{0} \end{eqnarray}$

将式(63)代入式(57)可得

(64)$\begin{eqnarray} &&{q}'=\dfrac{2}{1+M}\cdot \\&&\qquad \left\{ {\sigma_{0} +\left( {M-1} \right)\left[ {\left( {1-\dfrac{a^{2}-a_{0}^{2} }{r^{2}}} \right){\rm e}^{\frac{{q}'_{0} }{2G_{0} }}} \right]^{-\frac{v}{\kappa \left( {\frac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\frac{M+1}{M-1}} \right)}}{p}'_{0} } \right\}\\&&\qquad \end{eqnarray}$

结合式(63)和式(64)及式(56)最终可得不排水条件下柱孔周围塑性区内的有效应力场分布如下

(65)$\begin{eqnarray} \left. {\begin{array}{l} {\sigma }'_{r} =\dfrac{\sigma_{0} +2M\left\{ {\left[ {\left( {1-\dfrac{a^{2}-a_{0}^{2} }{r^{2}}} \right){\rm e}^{\frac{{q}'_{0} }{2G_{0} }}} \right]^{-\frac{v}{\kappa \left( {\frac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\frac{M+1}{M-1}} \right)}}{p}'_{0} } \right\}}{1+M} \\[1mm] {\sigma }'_{\theta } =\dfrac{2\left\{ {\left[ {\left( {1-\dfrac{a^{2}-a_{0}^{2} }{r^{2}}} \right){\rm e}^{\frac{{q}'_{0} }{2G_{0} }}} \right]^{-\frac{v}{\kappa \left( {\frac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\frac{M+1}{M-1}} \right)}}{p}'_{0} } \right\}-\sigma_{0} }{1+M} \\ \end{array}} \right\}\\&& \end{eqnarray}$

所以不排水条件下, 柱孔扩张时的极限扩孔压力$p'_{u2}$为

(66)$\begin{eqnarray} {p}'_{u2} =\dfrac{\sigma_{0} +2M\left\{ {\left[ {\left( {1-\dfrac{a_{u}^{2}-a_{0}^{2} }{r_{p}^{2}}} \right){\rm e}^{\frac{{q}'_{0} }{2G_{0} }}} \right]^{-\frac{v}{\kappa \left( {\frac{M-1}{\beta \left( {1+M} \right)}-\frac{M+1}{M-1}} \right)}}{p}'_{0} } \right\}}{1+M}\\&& \end{eqnarray}$

4 解答的有效性验证

4.1 排水条件

为了验证排水条件下极限扩孔压力理论解的有效性, 利用式(33)得出的极限扩孔压力${p}'_{u1} $的解答, 与文献[2]得到饱和土中的柱形扩孔问题的极限扩孔压力的结果进行比较. 图2绘出了当$E=6000$ kPa, $\mu=0.3$, $\varphi'=14^\circ$, $c=20$ kPa, $m=1$, $b=0$, $h=1$, $s=0$时的极限扩孔压力结果对比.

图2

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图2 不同${p}'_{0} $与$h$下文献[2]解与本文解的对比

Fig.2 Comparison of the solution in Ref.[2] and the solution in this article under different ${p}'_{0} $ and $h$

从图2可以看出, $h=1$时, 在同等初始有效应力下本文理论解略大, 但随着初始径向有效应力的增加, 二者的解的值都在递增且逐渐吻合, 反映了$p'_0$对极限扩孔压力的影响, 随着$p'_0$的增大, 柱孔扩张时需要更大扩孔压力克服初始有效应力的影响. 同时由于本文得到的排水条件下极限扩孔压力解答考虑了土体剪胀对极限扩孔压力的影响, 不单一受$p'_0$的影响, 所以在同一${p}'_{0} $下, 随着$h$值不断增大, 本文解与文献[2]间的差值愈大, 其原因是此时土体需要更大扩孔压力来克服土体剪胀特性的影响, 亦印证了排水条件下本文解充分考虑剪胀效应的必要性.

4.2 不排水条件

对于不排水条件, 利用文献[30]得到的柱孔扩张中极限扩孔压力与本文得到的不排水下的解答式(66)进行对比验证如图3所示. 选取计算参数$E=6000$ kPa, $\mu=0.3$, $\varphi'=14^\circ$, $c=20$ kPa, $m=1$, $b=0$, $v=2.0$, $a_0=0.05$ m, $\kappa=0.062$, $a_u=0.1$ m.

图3

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图3 不同${p}'_{0} $及$b$下文献[30]解与本文解的对比

Fig.3 Comparison of the solution in Ref.[30] and the solution in this article under different ${p}'_{0} $ and $b$

从图3可以看出, 本文所得到的不排水情况下的理论解较文献[30]的理论解存在一定差别, 这是因为文献[30]的理论解是基于M-C强度理论得出的, 并未考虑中间主应力在柱孔扩张中的影响, 但此处为验证本文解的有效性, 首先将参数$b$退化为0, 从而弱化了中间主应力效应, 使得随着$p'_0$的增大, 本文解与文献[30]解间的差异弱化, 逐渐吻合, 而后相继改变$b$值, 可以看到随着$b$值增大, 本文解与文献[30]解在同一$p'_0$时, 相对误差变大, 从而验证了本文充分考虑中主应力效应的必要性及有效性.

上述现有的扩孔理论在岩土工程领域有着广泛的应用, 例如确定地基的极限承载力, 分析沉桩、静力触探, 隧道开挖及支护等土工问题. 对比分析本文柱孔扩张理论与现有理论, 可以看出, 本文理论以统一强度理论和大小应变理论为出发点, 综合考虑中主应力、吸力、土体剪胀等因素, 对非饱和土体在排水及不排水下的扩孔问题进行研究, 最终将研究成果在现有应用领域的基础上, 进一步应用于注浆机理分析和注浆压力的预估, 以指导非饱和土地基压力注浆、复合地基处理等实际工程问题.

5 参数分析与讨论

5.1 排水条件

5.1.1 弹性区参数分析

在数值算例中, 土体的物理力学参数取值为$\varphi'=25^\circ$, $E=3000$ kPa, $\mu=0.3$, $m=1$, $v=2.0$, $\kappa=0.062$, $a_0=0.1$ m, $a=0.2$ m.

考虑在柱孔周围的初始径向有效应力$p'_0=80$ kPa, 图4和图5分别给出了排水条件下不同吸力时弹性区径向及切向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化关系.

图4

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图4 不同吸力下弹性区径向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.4 Radial effective stress of the elastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different suction

图5

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图5 不同吸力下弹性区切向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.5 Tangential effective stress of the elastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different suction

从图4和图5可以看出, 当参数$b$和$r_p/r$一定时, 随着吸力的增大, 弹性区径向及切向有效应力均随其非线性增加; 同一吸力下, 控制参数$b$或$r_p/r$一项影响因素保持不变, 径向及切向有效应力均随另一因素递增.

在给定初始吸力$s_0=50$ kPa, 不同初始径向有效应力$p'_0$下弹性区径向及切向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化趋势如图6和图7所示.

图6

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图6 不同初始径向有效应力下弹性区径向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.6 Radial effective stress of the elastic zone and the change between] $r_p/r$ and $b$ under different initial radial effective stress

图7

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图7 不同初始径向有效应力下弹性区切向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.7 Tangential effective stress of the elastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different initial radial effective stress

从图6和图7可以看出, 当参数$b$和$r_p/r$一定时, 随着初始径向有效应力的增大, 弹性区径向及切向应力均随其非线性增大; 同一初始径向有效应力下, 控制参数$b$或$r_p/r$一项因素保持不变, 径向及切向应力均随另一因素递增.

以上分析表明, 非饱和土中, 吸力、中主应力及初始径向有效应力对弹性区内的应力场分布影响显著.

5.1.2 塑性区参数分析

给定作用在柱孔周围的初始径向有效应力$p'_0=80$ kPa, 图8和图9所示分别为不同吸力下塑性区径向及切向有效应力$r_p/r$与和$b$之间的变化趋势.

图8

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图8 不同吸力下塑性区径向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.8 Radial effective stress of the plastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different suction

图9

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图9 不同吸力下塑性区切向有效应力与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.9 Tangential effective stress of the plastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different suction

从图8和图9可以看出, $r_p/r$一定时, $b$对应力场的影响甚微, 而当$b$一定时, 切向及径向有效应力随着$r_p/r$的增大而递增, 且当$r_p/r$和$b$一定时, 应力场随着$s$的增大而递增.

考虑土体吸力$s=50$ kPa, 初始径向有效应力$p'_0=100$ kPa, $r_0=10$ m. 图10和图11为塑性区径向及切向应变在不同剪胀系数下与参数$b$之间的变化曲线.

图10

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图10 不同剪胀参数下塑性区径向应变与$b$之间的变化

Fig.10 Change between the radial strain of the plastic zone and $b$ under different dilatancy parameters

图11

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图11 不同剪胀参数下塑性区切向应变与$b$之间的变化

Fig.11 Change between the tangential strain of the plastic zone and $b$ under different dilatancy parameters

从图10和图11可以看出, 参数$b$的变化对应变场的影响很小, 尤其对于切向应变, 因此分析变形时可以不用过多考虑其影响; 而剪胀参数则影响显著, 随着剪胀参数的递增, 径向及切向应变均随之增大. 可以看出, 对排水条件下的塑性区进行弹塑性进行分析, 综合考虑大变形、土体剪胀及中主应力等因素的必要性.

5.1.3 极限扩孔压力参数分析

当土体初始吸力$s_{0} =50$ kPa且${p}'_{0} =100$ kPa时, 图12给出了极限扩孔压力在不同剪胀系数下与参数$b$之间的变化关系.

图12

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图12 不同剪胀参数下极限扩孔压力与$b$之间的变化

Fig.12 Change between the limit reaming pressure and $b$ under different dilatancy parameters

从图12可以明显看出, 同一参数$b$, 随着剪胀参数的增大, 扩孔压力显著递增; $h$一定时, 随着参数$b$的增大, 扩孔压力呈非线性增长.

5.1.4 最大塑性区半径参数分析

当土体初始吸力$s_{0} =50$ kPa且${p}'_{0} =100$ kPa时, 图13给出了最大塑性区半径在不同剪胀参数下与参数$b$之间的变化曲线.

图13

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图13 不同剪胀参数下最大塑性区半径与$b$之间的变化

Fig.13 Change between the maximum plastic zone radiu and $b$ under different dilatancy parameters

从图13可以明显看出, 参数$b$对于$r_{p}$的影响随着剪胀参数的增大而逐渐显著, 而参数$b$一定时, 剪胀参数$h$的增大引起了$r_p$的显著增大.

以上可以分析可知, 对于${p}'_{u1} $和$r_{p} $, 中主应力及剪胀参数均对其影响显著, 尤其是土体剪胀特性更应作为实际工程中考虑的重点因素.

5.2 不排水条件

5.2.1 塑性区参数分析

同样选取土体吸力$s_{0} =50$ kPa, 初始径向有效应力${p}'_{0} =100$ kPa, 图14和图15为在不同初始径向有效应力${p}'_{0} $下, 塑性区径向及切向应变与$r_p/r$和参数$b$之间的变化.

图14

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图14 不同初始径向有效应力下塑性区径向应变与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.14 Radial strain of the plastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different initial radial effective stress

图15

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图15 不同初始径向有效应力下塑性区切向应变与$r_p/r$和$b$之间的变化

Fig.15 Tangential strain of the plastic zone and the change between $r_p/r$ and $b$ under different initial radial effective stress

从图14和图15可以看出, 径向及切向应变随着参数$b$及$r_p/r$的增大而增大, 随着$p'_0$增加变化趋势更加显著. 而当$b$及$r_p/r$一定时, $p'_0$递增, 径向及切向应变相应增大. 显然, 对于不排水条件下的塑性区应变场分布, 中主应力, 半径比及初始径向有效应力均影响显著, 且这种趋势随着$p'_0$的递增愈加显著.

当初始吸力$s_{0} =50$ kPa时, 在不同初始径向有效应力$p'_0$下, 塑性区径向及切向应力与$r/a$和参数$b$之间的变化如图16和图17所示.

图16

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图16 不同初始径向有效应力下塑性区径向有效应力与$r/a$和$b$之间的变化

Fig.16 Radial effective stress of the plastic zone and the change between $r/a$ and $b$ under different initial radial effective stress

图17

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图17 不同初始径向有效应力下塑性区切向有效应力与$r/a$和$b$之间的变化

Fig.17 Tangential effective stress of the plastic zone and the change between $r/a$ and $b$ under different initial radial effective stress

从图16和图17可以看出, 对于$\sigma'_r$, 当$r/a$小于3时, $\sigma'_r$随$b$的变化几乎可以忽略; 当$r/a$大于3时, $\sigma'_r$随$b$的增大而增大, 对于$\sigma'_{\theta}$, 这个转折点出现在$r/a=3$, 此点即可定义为应力转换点. 当$b$值一定时, $\sigma'_r$及$\sigma'_{\theta}$均随着$r/a$的增大而呈非线性增大. 在一定的$r/a$及$b$下, $p'_0$增大, 有效应力相应增大.

5.2.2 极限扩孔压力参数分析

为了分析参数$a_u$和$b$对极限扩孔压力的影响. 图18所示为在$p'_0=100$ kPa时, 不同初始吸力$s_0$下极限扩孔压力的变化.

图18

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图18 不同初始吸力下极限扩孔压力与$b$之间的变化

Fig.18 Change between the limit reaming pressure and $b$ under different initial suction

从图18可以明显看出, 同一参数$b$下, 随着初始吸力$s_{0} $的增大, 扩孔压力显著递增, 说明土体出现吸力硬化的现象; 不同于排水情况, 当$s_{0} $一定时, 扩孔压力随着参数$b$明显减小, 中主应力的效应随着$b$的增大而显著.

5.2.3 最大塑性区半径参数分析

取吸力$s=50$ kPa, 图19所示为在不同初始径向有效应力$p'_0$下, 最大塑性区半径与$a_u$和参数$b$之间的变化.

图19

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图19 不同初始径向有效应力下最大塑性区半径和参数$b$之间的变化

Fig.19 Change between the maximum plastic zone radiu and $b$ under different initial radial effective stress

从图19可以看出, $r_{p}$随着参数$b$的增大而递减, 且这种趋势随着$p'_0$的增大而愈加清晰, 而当参数$b$一定时, $r_{p}$随着$p'_0$的增大而递增. 显然, 对于最大塑性区半径, 参数$b$及$p'_0$均对其影响显著, 因而进行不排水条件下柱孔周围土体变形分析时, 二者的影响作用应共同考虑.

6 结论

本文针对非饱和土中柱孔扩张问题, 通过理论分析, 得出了排水及不排水情况下柱孔周围弹塑性区内的应力场、应变场及位移场解答,

并进行了参数分析, 得出以下结论:

(1)排水情况下, 弹性区内径向及切向应力均随着$r_p/r$和$b$的增大呈非线性增大, 且在不同$s$及$p'_0$下, 径向及切向有效应力均随着二者的增大而增大, 以上反映了中主应力及吸力的效应; 塑性区内, 参数$b$对于应变场影响甚微, 尤其对于切向应变, 因此对塑性区进行变形分析时可不过多考虑其影响; 同时, 随着参数$b$的增大, ${p}'_{u1} $亦随之递增, 这种趋势伴随着剪胀效应的显著而愈加清晰, 这是由于$b$和$h$的增大, 需要更大的扩孔压力来克服中主应力和土体剪胀特性的影响, 同样, 最大塑性区半径$r_{p}$也随着土体剪胀的发生而逐渐增大, 因此土体剪胀对变形的影响应是理论应用的过程中重点考虑的问题.

(2)不排水情况下, 弹性区整体变化趋势同排水情况, 塑性区则不同. 塑性区内, 径向及切向应变随着参数$b$及$r_{p} /r$的增大而增大, 随着${p}'_{0} $增大变化趋势愈加明显, 显然排水条件及${p}'_{0} $亦对应变场分布影响显著. 对于应力场, 存在$r/a=3$这个应力转折点, 参数$b$对应力场的影响在转折点前后显著不同; 对于${p}'_{u2} $及$r_{p}$, 随着$s_{0} $增大, 引起了${c}'$的增大, 导致${p}'_{u2} $及$r_{p}$亦随其递增, 而参数$b$的增大意味着中主应力对于土体破坏效应增强, 因而${p}'_{u2} $及$r_{p}$随着参数$b$递增而减小.

参考文献

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被引期刊影响因子

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Bishop

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The theory of indentation and hardness tests

Journal of Medical Education, 1945,57(3):147-159