考虑平均应力的同频拉扭多轴高周疲劳寿命评价方法 1)

图 1 拉扭状态下光滑试件表面的应力状态

Fig. 1 Stress state of the plain specimen under axial-torsional loading

由于一个加载周期内, 最大剪应力范围平面并不唯一, 为了确定唯一的临界平面, 本文定义具有较大法向应力的最大剪应力范围平面为临界平面. 利用式(2)~式(5), 确定临界平面方位和临界平面上各疲劳破坏参数的步骤如下:

(1) 在一个加载周期内, 用微小的时间步$\Delta t$将$\sigma _x $和$\tau _{xy} $进行离散.

(2) 不同时刻下, 利用式(4)和式(5)分别计算第$i$个斜面($\alpha_{i})$上的法向应力和剪切应力

(6) $ \begin{eqnarray} \label{eq6} &&\sigma _{n,\alpha_{i}} \left( j \right)=\left[ \sigma_{\rm a} \sin \left( {j\Delta t} \right)+\sigma _{\rm m} \right]\cos^2\alpha _{i}+ \\&&\qquad\left[ {\tau _{\rm a} \sin \left( {j\Delta t-\varphi } \right)+\tau _{\rm m}} \right]\sin \left( {2\alpha_{i} } \right) \end{eqnarray}$

(7) $ \begin{eqnarray} \tau _{\alpha_{i}} \left( j \right)=\frac{1}{2}\left[ {\sigma _{\rm a} \sin \left( {j\Delta t} \right)+\sigma _{\rm m} } \right]\sin\left( {2\alpha _{i} } \right)- && \\ \qquad \left[ {\tau _{\rm a} \sin \left( {j\Delta t-\varphi } \right)+\tau _{\rm m} } \right]\cos \left( {2\alpha _{i} } \right) \end{eqnarray}$

式中, $q$为一个加载周期中离散的子步数.

(3) 分别计算第$i$个斜面($\alpha_{i})$上的剪应力范围、剪切平均应力、法向应力范围和最大法向应力

(8) $ \begin{eqnarray} \label{eq8} &&\Delta \tau _{\alpha_{i}} =\max \left( {\tau _{\alpha_{i}} \left( j \right)} \right)-\min \left( {\tau _{\alpha_{i}} \left( j \right)} \right) \end{eqnarray}$

(9) $ \begin{eqnarray} \label{eq9} \tau _{m,\alpha_{i}} ={\left[ {\max \left( {\tau _{\alpha_{i}} \left( j \right)} \right)+\min \left( {\tau _{\alpha_{i}} \left( j \right)} \right)} \right]} / 2 \end{eqnarray}$

(10) $ \begin{eqnarray} \label{eq10} \Delta \sigma _{n,\alpha_{i}} =\max \left( {\sigma _{n,\alpha_{i}} \left( j \right)} \right)-\min \left( {\sigma _{n,\alpha_{i}} \left( j \right)} \right) \end{eqnarray}$

(11) $ \begin{eqnarray} \sigma _{n,\max ,\alpha_{i}} =\max \left( {\sigma _{n,\alpha_{i}} \left( j \right)} \right) \end{eqnarray}$

(4) 在[0$^\circ$, 180$^\circ$)内, $i$以步长0.1$^\circ$变化, 计算不同斜面上的剪应力范围和最大法向应力, 并比较其大小, 从而确定临界平面的方位角$\alpha _{\rm cr}$.

(5) 将$\alpha_{\rm cr}$代入式(8)~式(11), 确定临界平面上其他疲劳破坏参数的值.

2 多轴高周疲劳寿命预测模型

2.1 模型建立

Fatemi等^[26]定义最大剪应变范围平面为临界平面, 将临界平面上的最大法向应力引入到材料的多轴疲劳寿命预测中, 构建了如下基于应变的疲劳寿命预测模型(FS)

(12) $ \begin{eqnarray} \label{eq12} \gamma _{{\rm a,max}} \left( {1+k\frac{\sigma _{n,\max } }{\sigma _{\rm y}}} \right)=f\left( {N_{\rm f} } \right) \end{eqnarray}$

式中, $\gamma _{{\rm a},\max } $和$\sigma _{n,\max } $分别为临界平面上的最大剪应变幅和最大法向应力, $\sigma _{\rm y}$为屈服强度, $k$为材料常数, $N_{\rm f}$为疲劳寿命. FS模型中引入的$\sigma _{n,\max } $可以较好地反映材料的非比例附加强化效应, 该模型在预测材料的应变疲劳寿命方面应用较为广泛^[28].

预测材料的HCF寿命时, 通常将应力作为损伤控制参量. 鉴于FS模型在预测材料应变疲劳寿命方面取得较好的预测效果, 在预测宏观上主要是线弹性变形的HCF寿命时, 定义具有较大法向应力的最大剪应力范围平面为临界平面, 建立如下HCF寿命预测模型

(13) $ \begin{eqnarray} \label{eq13} \tau _{{\rm a},\max} \left( {1+k_{\rm H} \frac{\sigma _{n,\max } }{\sigma _{\rm y} }} \right)=f\left( {N_{\rm f} } \right) \end{eqnarray}$

式中, $\tau _{{\rm a},\max} $为临界平面上的最大剪应力幅, $k_{\rm H}$为材料常数. 需要说明的是, 虽然式(13)中的$k_{\rm H}$与式(12)中的$k$物理意义相同, 但确定方法不同. $k$需要借助材料的拉压和扭转应变疲劳试验数据确定, 而$k_{\rm H}$需要借助材料的拉压和扭转应力疲劳试验数据确定.

同大多数基于临界平面法的HCF寿命预测模型类似, 式(13)也只考虑了法向平均应力对疲劳寿命的影响, 没有充分考虑剪切平均应力对疲劳寿命的影响. 以7075-T651铝合金为例^[21], 图2所示为不同剪切平均应力加载下, 剪应力幅与疲劳寿命之间的关系. 由图2可见, 剪切平均应力对7075-T651铝合金的疲劳寿命具有明显的影响. 相同加载剪应力幅下, 剪切平均应力存在时, 材料的疲劳寿命明显降低. 不同剪切平均应力加载下, 7075-T651铝合金最大剪应力与疲劳寿命之间的关系也见图2. 由图可见, 在平均剪切应力为零与不为零两种工况下, 最大剪应力与疲劳寿命之间并没有很好的一致性. 换句话说, 最大剪应力并不能很好地反映不同剪切平均应力对材料平均应力的影响.

图 2

图 2 7075-T651铝合金剪切平均应力对疲劳寿命的影响^[21]

Fig. 2 The influence of shear mean stress on the fatigue life for 7075-T651 aluminum alloy^[21]

大量试验数据表明, 拉伸平均应力加速材料的疲劳裂纹扩展, 而压缩平均应力减缓材料的疲劳裂纹扩展. 与最大剪应力类似, 在法向平均应力为零与不为零两种工况下, 7075-T651铝合金的最大法向应力与疲劳寿命之间也没有很好的一致性^[21]. 原因在于, 不管是最大剪应力还是最大法向应力, 用来表征材料的疲劳寿命时, 都没有考虑材料对平均应力敏感程度的不同. 因此, 考虑到不同材料对剪切和法向平均应力的敏感度, 引入剪切和法向Walker因子^[27], 将式(13)修正为

(14) $ \begin{eqnarray} \label{eq14} &&\tau _{{\rm a},\max}^{{w}_{\tau} } \left( {\tau _{{\rm a},\max} +\left| {\tau _{{{m},\alpha }_{{\rm cr}} } } \right|} \right)^{1-{w}_{\tau} }\left( {1+k_{\rm H} \frac{\sigma _{n,{\rm a}}^{{w}_{\sigma} } \sigma _{{n},\max }^{1-{w}_{\sigma} } }{\sigma _{\rm y} }} \right)= \\&&\qquad f\left( {N_{\rm f} } \right) \end{eqnarray}$

式中, $\sigma _{n,{\rm a}} $是临界平面上的法向应力幅. $w_{\tau}$和$w_{\sigma}$分别为剪切和法向Walker因子, 反映了材料对剪切和法向平均应力的敏感程度. $w_{\tau} $和$w_{\sigma} $的取值都介于0和1之间, 取值越小表明材料对平均应力越敏感. $\tau _{{\rm m,\alpha }_{{\rm cr}}}$是临界平面上的剪切平均应力, 式(14)中利用$\tau _{{{\rm m},\alpha }_{{\rm cr}}}$绝对值来反映剪切平均应力对疲劳寿命影响的原因在于, 相同等效应力下, 不管是正的还是负的剪切平均应力, 都会降低材料的疲劳寿命^[21,29-30].

在纯扭转对称循环加载下

(15) $ \begin{eqnarray} \label{eq15} \tau _{{\rm a},\max} =\tau _{\rm a} , \quad \tau _{{{\rm m},\alpha }_{{\rm cr}} } =0, \quad \sigma _{n,{\rm a}} =\sigma _{n,\max } =0 \end{eqnarray}$

将式(15)代入式(14)可得

(16) $ \begin{eqnarray} \label{eq16} \tau _{\rm a} =f\left( {N_{\rm f} } \right) \end{eqnarray}$

即在纯扭转对称循环加载下, 式(14)的左端退化为加载剪应力幅. 因此, 将式(14)与剪切形式的Basquin方程相联系, 得到如下多轴HCF寿命预测模型

(17) $ \begin{eqnarray} \label{eq17} &&\tau _{{\rm a,max}}^{{w}_{\tau} } \left( {\tau _{{\rm a},\max} +\left| {\tau _{{{\rm m},\alpha }_{{\rm cr}} } } \right|} \right)^{1-{w}_{\tau} }\left( {1+k_{\rm H} \frac{\sigma _{n,{\rm a}}^{{w}_{\sigma} } \sigma _{n,\max }^{1-{w}_{\sigma} } }{\sigma _{\rm y} }} \right)= \\&&\qquad{\tau }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} } \right)^{{b}_{\rm o} } \end{eqnarray}$

式中, ${\tau}'_{\rm f} $为剪切疲劳强度系数, $b_{\rm o}$为剪切疲劳强度指数.

2.2 材料常数$k_{\rm H}$的确定

利用零平均应力工况下单轴拉压和纯扭转应力疲劳试验数据确定材料常数$k_{\rm H}$的步骤如下:

(1) 利用纯扭转疲劳试验数据计算剪切疲劳强度系数${\tau }'_{\rm f} $和剪切疲劳强度指数$b_{\rm o}$.

(2) 利用式(13)计算单轴拉压加载下本文定义的损伤控制参量$\tau _{{\rm a,eq}}$

(18) $ \begin{eqnarray} \label{eq18} \tau _{{\rm a,eq}} =\frac{\sigma _{\rm a} }{2}\left( {1+k_{\rm H} \frac{\sigma _{\rm a} }{2\sigma _{\rm y} }} \right) \end{eqnarray}$

式中, $\sigma _{\rm a} $为单轴拉压加载应力幅.

(3) 基于最小二乘法原理, 定义参数$L_{\rm FP}$为

(19) $ \begin{eqnarray} \label{eq19} L_{{\rm FP}} =\sum\limits_{i=1}^{m_{{\rm FP}} } {\left\{ {{\tau }'_{\rm f} \left( {2N_{i} } \right)^{b_{\rm o} }-\left[ {\frac{\sigma _{{\rm a},i} }{2}\left( {1+k_{\rm H} \frac{\sigma _{{\rm a},i} }{2\sigma _{\rm y} }} \right)} \right]} \right\}} ^2 \end{eqnarray}$

式中, $m_{{\rm FP}} $为纯扭转疲劳试验数据点的个数. 当$L_{\rm FP}$取最小值时, 对应$k_{\rm H}$的值即为所求材料常数.

另外, 由式(16)和式(18)可知, 当单轴拉压加载应力幅等于拉压疲劳极限$\sigma_{-1} $时, 可得

(20) $ \begin{eqnarray} \label{eq20} \tau _{{\rm a,eq}} =\frac{\sigma _{-1} }{2}\left( {1+k_{\rm H} \frac{\sigma _{-1} }{2\sigma _{\rm y} }} \right)=\tau _{-1} \end{eqnarray}$

式中, $\tau _{-1} $为剪切疲劳极限. 由式(20)可得

(21) $ \begin{eqnarray} \label{eq21} k_{\rm H} =\frac{2\sigma _{\rm y} }{\sigma _{-1} }\left( {\frac{2\tau _{-1} }{\sigma _{-1} }-1} \right) \end{eqnarray}$

因此, 当缺少疲劳试验数据时, 可利用式(21)计算材料常数$k_{\rm H}$. 由式(21)可知, 若保证$k_{\rm H}$大于零, 则有${\tau _{-1} } / {\sigma _{-1} }>0.5$. Marquis等^[25]研究表明, 脆性金属材料的HCF失效平面通常未发生在最大剪应力范围平面, 因此本文提出的HCF寿命预测模型并不适用于该类材料. Papadopoulos等^[31]研究发现, 大多数脆性金属材料的${\tau _{-1} } / {\sigma _{-1} }\geqslant 0.8$. 因此, 本文所提模型的材料适用范围在${0.5<\tau _{-1}} / {\sigma _{-1} }<0.8$.

2.3 Walker因子$w_{\tau }$和$w_{\sigma}$的确定

对于扭转疲劳试验, 当加载的剪切平均应力大于零时, 由式(17)可得

(22) $ \begin{eqnarray} \tau _{\rm a}^{w_\tau } \tau _{\max }^{1-{w}_{\tau} } ={\tau }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} } \right)^{{b}_{\rm o} } \end{eqnarray}$

式中, $\tau _{\rm a} $和$\tau _{\max } $分别为加载剪应力幅和最大剪应力. 将式(22)左右两端分别取对数, 可得

(23) $ \begin{eqnarray} \label{eq23} \lg(2N_{\rm f}) =\frac{1}{b_{\rm o} }\lg \tau _{\max } +\frac{w_{\tau} }{b_{\rm o} }\lg \frac{\tau _{\rm a} }{\tau _{\max } }-\frac{1}{b_{\rm o} }\lg {\tau }'_{\rm f} \end{eqnarray}$

令

(24) $ \begin{eqnarray} \left. \begin{array}{ll} y=\lg 2N_{\rm f} , \ \ x_1 =\lg \tau _{\max } , \ \ x_2 =\lg \dfrac{\tau _{\rm a} }{\tau _{\max } }\\ p_1 =\dfrac{1}{b_{\rm o} }, \ \ p_2 =\dfrac{w_{\tau} }{b_{\rm o} }, \ \ p_3 =-\dfrac{1}{b_{\rm o} }\lg {\tau }'_{\rm f} \end{array} \right\} \end{eqnarray}$

可将式(23)变形为

(25) $ \begin{eqnarray} \label{eq25} y=p_1 x_1 +p_2 x_2 +p_3 \end{eqnarray}$

由式(25)可知, 利用多元线性回归的方法即可确定$w_{\tau} $的值.

对于单轴疲劳试验, 当加载的法向平均应力不为零时, 由Walker方程^[27]可得

(26) $ \begin{eqnarray} \label{eq26} \sigma _{\rm a}^{{w}_{\sigma} } \sigma _{\max }^{1-{w}_{\sigma} } ={\sigma }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} }\right)^{b} \end{eqnarray}$

式中, ${\sigma }'_{\rm f} $为疲劳强度系数, $b$为疲劳强度指数.

对比式(22)和式(26)可知, 基于非零平均应力下的单轴疲劳试验数据, 利用和确定$w_{\tau} $值相类似的方法, 即可确定$w_{\sigma} $的值.

对于扭转脉动加载, 当载荷峰值等于该工况下的疲劳极限$\tau _0 $时, 本文定义的损伤控制参量变为

(27) $ \begin{eqnarray} \label{eq27} \tau _{{\rm a,eq}} =2^{1-{w}_{\tau} }\frac{\tau _0 }{2}=\tau _{-1} \end{eqnarray}$

化简可得

(28) $ \begin{eqnarray} \label{eq28} w_{\tau} =\log _2 \frac{\tau _0 }{\tau _{-1} } \end{eqnarray}$

因此, 当缺少疲劳试验数据时, 可利用式(28)计算$w_{\tau} $值. 但是, 通常情况下$\tau _0 $的试验值并不容易直接获取. 此时, $\tau _0$的值可利用Zenner等^[32]给出经验公式进行理论估算

(29) $ \begin{eqnarray} \label{eq29} \tau _0 =\frac{4\tau _{-1} }{2\dfrac{\sigma _{-1} }{\sigma _0 }+1} \end{eqnarray}$

相应的, 对于单轴脉动加载, 当载荷峰值等于该工况下的疲劳极限$\sigma _0 $时, 由式(26)可以推导出

(30) $ \begin{eqnarray} \label{eq30} w_{\sigma} =\log _2 \frac{\sigma _0 }{\sigma _{-1} } \end{eqnarray}$

结合式(28)~式(30), 可推导出$w_{\tau} $与$w_{\sigma}$存在如下关系

(31) $ \begin{eqnarray} \label{eq31} w_{\tau} =2-\log _2 \left( {1+2^{1-{w}_{\sigma} }} \right) \end{eqnarray}$

3 试验验证

选用7075-T651铝合金^[21]、 30CrMnSiA钢^[33]、2A12-T4铝合金^[34]、 2017A-T4铝合金^[35]、 6082-T6铝合金^[35]等5种材料在不同平均应力加载下的试验数据来验证本文所提HCF寿命预测模型的正确性. 所有材料的试件形状都是光滑圆柱形试件, 加载波形都是正弦波, 加载控制方式都是控制应力加载. 前3种材料的加载方式是存在平均应力下的单轴、扭转、比例和非比例拉扭加载, 后两种材料的加载方式是存在平均应力下的弯曲、扭转和比例弯扭加载, 具体加载路径如图3所示, 其他试验情况详见文献^{[21, 33-35]}. 上述5种材料的机械性能和疲劳性能常数列于表1.

图 3

图 3 加载路径^{[21, 33-35]}

Fig. 3 Loading paths^{[21, 33-35]}

表1 材料的机械性能和疲劳性能参数

Table 1 Mechanical and fatigue properties of the considered materials

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利用本文所提模型, 对表1中的5种材料在图3所示12种加载路径下的疲劳寿命进行了预测, 预测结果如图4所示. 由图4(a)可见, 在包含平均应力的轴向和扭转加载下, 绝大多数预测结果都位于3倍误差带以内. 这表明, 利用这些基础试验数据, 由前述模型参数的确定方法, 可以很好地确定所提模型中的各材料常数. 由图4(b)可见, 在包含平均应力的多轴加载下, 除了2017A-T4铝合金的个别数据点外, 其他数据点也大都位于3倍误差带以内. 由此可知, 无论是轴向加载还是扭转加载、也无论是比例加载还是非比例加载, 本文所提模型都可以很好地反映平均应力对疲劳寿命的影响.

图 4

图 4 本文所建模型的疲劳寿命预测结果^{[21, 33-35]}

Fig. 4 Fatigue life predictions of the proposed model^{[21, 33-35]}

4 讨论

从微观角度来看, 剪切应力作用下, 滑移造成材料表面的挤入挤出, 逐渐形成驻留滑移带, 进而导致疲劳裂纹萌生. 对于高周疲劳而言, 虽然宏观上材料表现为弹性变形, 但是由于材料内部晶体存在各向异性, 位向不同的各个晶粒所受应力并不相同, 在细观尺度上部分金属晶粒仍会产生塑性变形, 从而出现滑移现象. 另外, 疲劳裂纹生长是沿着裂纹尖端剪切带的聚合过程, 裂纹面上的法向应力将使这种聚合加速. 因此, 本文定义具有较大法向应力的最大剪应力范围平面为临界平面, 以最大剪应力范围为首要的疲劳损伤控制参数, 以临界平面上的最大法向应力为辅助的疲劳损伤控制参数是合理的.

图5所示为相同加载应力幅下, 30CrMnSiA钢^[33]和LY12CZ铝合金^[36]疲劳寿命与相位差之间的关系. 由图5可见, 30CrMnSiA钢的疲劳寿命随着相位差的增大而增大, 但是LY12CZ铝合金的疲劳寿命却随着相位差的增大而减小. 由此可知, 多轴HCF中, 相位差影响材料的疲劳失效, 但具体影响程度依据材料而不同, 该结果与Papadopoulos等^[31]的研究结论相一致.

图 5

图 5 30CrMnSiA钢^[33]和LY12CZ铝合金^[36]疲劳寿命与相位差之间的关系

Fig. 5 Relationships between experimental lives and phase delay for 30CrMnSiA steel^[33] and LY12CZ aluminum^[36]

以30CrMnSiA钢^[33]为例, 图6显示了拉扭加载下, 轴向和剪切加载应力幅都为350 MPa时, 临界平面位置、剪切应力范围和最大法向应力与相位差之间的关系. 由图6可见, 当相位差由0$^\circ$增大到90$^\circ$时, 临界平面位置由103$^\circ$变化到90$^\circ$, 临界平面上的剪切应力范围减小、最大法向应力增大. 由此可知, 在拉扭异相加载下, 相位差一方面影响了临界平面的位置, 另一方面也影响临界平面上损伤参量的大小.

图 6

图 6 临界平面位置与相位差之间的关系

Fig. 6 Relationships between the orientation of the critical plane and phase delay

对于剪切平均应力, Sines^[10]和Susmel等^[37]认为, 只要最大剪应力不超过材料的剪切屈服强度, 剪切平均应力就对材料的疲劳寿命没有影响. 以7075-T651铝合金^[21]为例, 该材料的剪切屈服强度为369 MPa, 由图2可见, 对于7075-T651铝合金而言, 即便最大剪应力材料低于材料的剪切屈服强度, 剪切平均应力仍然显著影响材料的疲劳寿命. 该结果与Wang等^[30]和Erickson等^[38]观察到的试验现象相一致. 由此可知, 不同材料对剪切平均应力的敏感程度并不相同. 因此, 本文引入剪切Walker因子, 来反映不同材料对剪切平均应力敏感程度的不同是合理的.

将式(2)和式(3)代入式(4), 化简可得夹角为$\alpha $的斜面上的法向平均应力$\sigma_{n,{\rm m,\alpha }} $为

(32) $ \begin{eqnarray} \label{eq32} \sigma _{n,{\rm m,\alpha }} =\sigma _{\rm m} \cos ^2\alpha +\tau _{\rm m} \sin \left( {2\alpha } \right) \end{eqnarray}$

由式(32)可见, 法向平均应力包含了轴向和剪切加载平均应力, 在一定程度上可以反映剪切平均应力对疲劳寿命的影响. 大多数基于临界平面法的HCF寿命预测模型, 如Matake模型^[16]、McDiarmid模型^[17]、Susmel^[18]模型、Zhang模型^[20]等, 都是用最大法向应力来反映平均应力对疲劳寿命的影响.

对于存在加载剪切平均应力的扭转循环加载

(33) $ \begin{eqnarray} \label{eq33} \sigma _{\rm a} =\sigma _{\rm m} =0, \ \ \tau _{\rm a} \ne 0, \ \ \tau _{\rm m} \ne 0 \end{eqnarray}$

将式(2)、式(3)和式(33)代入式(5), 化简可得

(34) $ \begin{eqnarray} \label{eq34} \tau _{\alpha } \left( t \right)=-\tau _{\rm a} \cos \left( {2\alpha } \right)\sin \left( {\omega t} \right)-\tau _{\rm m} \cos \left( {2\alpha } \right) \end{eqnarray}$

由上式可得, 夹角为$\alpha $的斜面上的剪应力范围为

(35) $ \begin{eqnarray} \label{eq35} \Delta \tau _{\alpha } =2\tau _{\rm a} \cos \left( {2\alpha } \right) \end{eqnarray}$

对式(35)进行求导, 并令其导数等于0, 可得临界平面的方位角$\alpha_{\rm cr}$等于0$^\circ$. 将$\alpha_{\rm cr} = 0^\circ$代入式(32)可知, 在该加载工况下, 无论加载剪切平均应力等于多少, 临界平面上的法向平均应力恒为0. 因此, 仅仅利用法向平均应力并不能很好地反映加载剪切平均应力对疲劳寿命的影响.

在众多临界平面模型中, McDiarmid模型较为常用且已被MCS.Fatigue等商业软件收录. 该模型定义最大剪应力范围平面为临界平面, 其数学表达式为^[17]

(36) $ \begin{eqnarray} \label{eq36} \tau _{{\rm a},\max} +\frac{\tau _{-1} }{2\sigma _{\rm b} }\sigma _{n,\max } ={\tau }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} } \right)^{{b}_{\rm o} } \end{eqnarray}$

式中, $\sigma _{\rm b} $为抗拉强度.

张成成等^[19]为了更好地反映平均对材料疲劳寿命的影响, 利用Goodman平均应力修正公式, 对最大剪应力平面上的法向平均应力进行了修正, 提出如下模型(ZCC模型)

(37) $ \begin{eqnarray} \label{eq37} &&\sqrt {\tau _{{\rm a},\max}^2 -\tau _{{\rm a},\max} \sigma _{n,\max }^\ast +\frac{\tau _{-1}^2 }{\sigma _{-1}^2 }\left( {\sigma _{-1} +2\tau _{{\rm a},\max} } \right)\sigma _{n,\max }^\ast } = \\&&\qquad {\tau }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} } \right)^{{b}_{\rm o} } \end{eqnarray}$

其中

(38) $ \begin{eqnarray} \label{eq38} \sigma _{n,\max }^\ast =\frac{\sigma _{n,{\rm a}} }{1-{\sigma _{n,{\rm m}} } / {\sigma _{\rm b} }} \end{eqnarray}$

式中, $\sigma _{n,{\rm a}} $和$\sigma _{n,{\rm m}} $分别为最大剪应力范围平面上的法向应力幅和法向平均应力.

Wang等^[21]进一步考虑了剪切平均应力对疲劳寿命的影响, 提出如下寿命预测模型

(39) $ \begin{eqnarray} \label{eq39} &&\Bigg\{ \left( {\tau _{{\rm a},\max} +0.207\left| {\tau _{{{\rm m},\alpha }_{{\rm cr}} } } \right|} \right)^2+ \\&&\qquad \frac{1}{3}\left[ {\sigma _{n,{\rm a}} +\left( {\sqrt {24{\tau _{-1}^2 }/{\sigma _{-1}^2 }-4.371} -1} \right)\sigma _{n,{\rm m}} } \right]^2\Bigg\}^{1/2} = \\&&\qquad {\tau }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} } \right)^{{\rm b}_{\rm o} } \end{eqnarray}$

Liu等^[23]定义最大法向应力幅平面为临界平面, 考虑法向平均应力的影响, 提出如下疲劳寿命预测模型

(40) $ \begin{eqnarray} \label{eq40} &&\frac{{\rm 1}}{\beta _{{\rm LM}} }\sqrt {\left[ {\sigma _{{\rm a,c}} \left( {1+\eta \frac{\sigma _{{{\rm m},c}} }{\sigma _{-1} }} \right)} \right]^2+\left( {\frac{\sigma _{-1} }{\tau _{-1} }} \right)^2\left( {\tau _{{\rm a,c}} } \right)^2} = \\&&\qquad{\sigma }'_{\rm f} \left( {2N_{\rm f} } \right)^{b} \end{eqnarray}$

其中

(41) $ \begin{eqnarray} \label{eq41} &&\eta =\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\left( {\frac{\sqrt 3 -\frac{\sigma _{-1} }{\tau _{-1} }}{\sqrt 3 -1}} \right) \end{eqnarray}$

(42) $ \begin{eqnarray} \label{eq42} \beta _{{\rm LM}} =\sqrt {\cos ^2\left( {2\theta } \right)\left[ {\left( {\frac{\tau _{-1} }{\sigma _{-1} }} \right)^2-{\rm 1}} \right]+{\rm 1}} \end{eqnarray}$

(43) $ \begin{eqnarray} \cos \left( {2\theta } \right)=\left\{-2+\left\{4-4\left[ {\left( {\frac{\sigma _{-1} }{\tau _{-1} }} \right)^2-3} \right]\left[ 5-\left( {\frac{\sigma _{-1} }{\tau _{-1} }} \right)^2- \\ \qquad 4\left( {\frac{\tau _{-1} }{\sigma _{-1} }} \right)^2 \right] \right\}^{1/2} \right\}\Bigg/\left\{2\left[ {5-\left( {\frac{\sigma _{-1} }{\tau _{-1} }} \right)^2-4\left( {\frac{\tau _{-1} }{\sigma _{-1} }} \right)^2} \right] \right\} \end{eqnarray}$

式(40)中, ${\sigma }'_{\rm f} $为疲劳强度系数, $b$为疲劳强度指数. $\sigma _{{\rm a,c}} $、$\sigma _{{{\rm m},c}} $和$\tau _{{\rm a,c}}$分别为最大法向应力幅平面上的法向应力幅、法向平均应力和剪切应力幅.

利用表1中5种材料存在平均应力工况下的HCF试验数据, 采用上述4种模型与本文所建模型进行对比, 以比较各模型的正确性和预测精度. 图7~图10分别表示McDiarmid模型、ZCC模型、Wang模型和Liu模型对表1中所列材料的疲劳寿命预测结果. 由图7和图8可见, 不管是轴向加载、扭转加载, 还是多轴加载, 存在平均应力的加载工况下, McDiarmid模型和ZCC模型的绝大多数预测结果都偏于危险. 与之相比, 由图9可见Wang模型的预测结果较为理想, 大多数预测结果位于3倍误差带以内. 原因在于, Wang模型考虑了剪切平均应力的影响, 在一定程度上提高了模型的预测精度. 但是, 在轴向和扭转加载下, 除2A12-T4铝合金外, Wang模型的大多数预测结果偏于保守. 在多轴加载下, 除7075-T651铝合金外, Wang模型的大多数预测结果也偏于保守. 原因在于, 虽然Wang模型考虑了剪切平均应力的影响, 但是该模型未考虑不同材料对剪切平均应力敏感度的不同, 从而导致某些材料预测结果偏于保守. 另外, 由式(37)可见, Wang模型中法向平均应力权重系数与${\tau _{-1} } / {\sigma _{{\rm -1}} }$成正比. 但是对于某些材料, 如6082-T6铝合金, 虽然Wang模型计算得到的法向平均应力权重系数较大, 但该材料本身对法向平均应力敏感度并不高, 从而也会导致模型的预测结果偏于保守. 由图10可见, 与上述3种模型相比, Liu模型的预测结果最为分散, Liu模型一方面高估了材料的扭转疲劳寿命, 另一方面又低估了材料的轴向疲劳寿命. 原因在于, 本文所验证的5种材料都属于典型的塑性材料, 影响材料疲劳裂纹萌生的首要因素在于材料所承受的剪切应力^[39], 而Liu等^[23]定义临界平面为最大法向应力幅平面, 认为控制材料疲劳裂纹萌生的首要因素在于法向应力, 由此导致Liu模型预测结果比较分散. 与之相比, 由图4可见, 对于图3所示的12种加载路径, 除了2017A-T4铝合金的个别数据点外, 所建模型的绝大多数预测结果都位于3倍误差带以内, 在所验证的5种模型中, 预测精度最高. 原因在于, 所建模型不但考虑了法向平均应力对材料高周疲劳寿命的影响, 而且还考虑了剪切平均应力的影响, 并且通过引入Walker因子有效地反映了不同材料对平均应力敏感程度的不同. 虽然Wang模型在修正Zhang^[20]模型时也考虑了平均剪应力的影响, 但是与所建模型相比, Wang模型忽略了不同材料对平均应力敏感程度的不同, 从而导致Wang模型的预测结果并不理想.

图 7

图 7 McDiarmid模型的疲劳寿命预测结果^{[21, 33-35]}

Fig. 7 The fatigue life predictions of the McDiarmid model^{[21, 33-35]}

图 8

图 8 ZCC模型的疲劳寿命预测结果^{[21, 33-35]}

Fig. 8 The fatigue life predictions of the ZCC model^{[21, 33-35]}

图 9

图 9 Wang模型的疲劳寿命预测结果^{[21, 33-35]}

Fig. 9 The fatigue life predictions of the Wang model^{[21, 33-35]}

图 10

图 10 Liu模型的疲劳寿命预测结果^{[21, 33-35]}

Fig. 10 The fatigue life predictions of the Liu model^{[21, 33-35]}

为了定量描述各种预测模型的预测精度, 定义误差因子^[40] $E(s)$为分布在${1}/{s}\leqslant {N_{\rm P}}/{N_{\rm T}}\leqslant s$带内的试验点个数与试验点的总个数的比值. 其中, $N_{\rm P} $是预测寿命, $N_{\rm T} $是试验寿命. 各种模型在不同加载工况下的误差因子见表2. 由表中数据可以看出, 不论何种加载工况, 所建模型都有最好的预测精度.

表2 HCF疲劳寿命预测模型预测误差比较

Table 2 Comparison of the HCF life prediction models using the error criterion

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为进一步描述不同模型的可靠性, 利用正态分布函数对表2中5种模型的疲劳寿命预测精度进行了对比分析^{[1, 41]}. 正态分布的概率密度函数为

(44) $ \begin{eqnarray} \label{eq44} f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt {2\pi} \sigma }{\rm e}^{-\frac{\left( {x-\mu }\right)^2}{2\sigma ^2}} \end{eqnarray}$

式中, $\mu $和$\sigma $分别为均值和标准差.

表2中所列5种模型$\lg \left( {{N_{\rm P} } / {N_{\rm T} }}\right)$值的正态分布如图11所示. 若$\lg \left( {{N_{\rm P} } / {N_{\rm T} }} \right)$值大于0表示预测结果偏于危险, 反之表示预测结果偏于保守. 由图11可见, McDiarmid模型和ZCC模型的预测精度类似, $\mu $值均大于零, 表明预测寿命均趋于危险一侧. 两种模型的$\sigma $值均较大, 表明预测结果都比较分散. Wang模型的$\mu $值小于零, $\sigma $值较小, 表明模型预测寿命偏于保守, 但预测寿命的分布较为集中. 相比较而言, Wang模型预测结果好于McDiarmid模型和ZCC模型, 其主要原因在于Wang模型更好地反映了剪切平均应力对疲劳寿命的影响. Liu模型的$\mu $值大于零, 且$\mu $值和$\sigma $值都较大, 这表明Liu模型的预测结果不但整体偏于危险, 而且最为分散. 整体来看, 本文所建模型的$\lg \left( {{N_{\rm P} } / {N_{\rm T} }} \right)$值正态分布曲线均值基本为0, 且标准差最小. 因此, 相比其他4种模型, 所建模型的预测结果分布更集中, 精度更高, 也更可靠.

图 11

图 11 寿命比$N_{\rm P}/N_{\rm T}$的概率密度函数

Fig. 11 Probability density functions of the $N_{\rm P}/N_{\rm T}$

5 结论

(1) 对于大多数金属材料而言, 高周疲劳寿命的影响因素不仅包括轴向平均应力, 还包括扭转平均应力, 扭转平均应力对疲劳寿命产生不利影响.

(2) 不同金属材料对平均应力的敏感程度不同, 疲劳寿命预测过程中应考虑不同金属材料对平均应力的敏感度.

(3) 基于临界平面理论, 构建了一个新的多轴高周疲劳寿命预测模型, 并给出了临界平面和模型参数的确定方法. 新模型通过引入Walker因子来反映不同材料对平均应力敏感程度的不同, 适用于${0.5<\tau _{-1} } / {\sigma _{-1} }<0.8$范围内的金属塑性材料.

(4) 利用五种材料的试验数据, 对所建模型和其他四种高周疲劳寿命预测模型进行对比验证后发现, Wang模型预测结果普遍偏于保守, 而McDiarmid模型和ZCC模型的预测结果则普遍偏于危险, Liu模型预测结果最为分散. 与之相比, 所建模型预测结果更为合理, 绝大多数预测结果分布在3倍误差带以内.

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