力学学报, 2020, 52(4): 932-944 DOI: 10.6052/0459-1879-20-107

多体系统动力学与分析动力学专题

非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学及其应用研究$^{\bf 1)}$

李海波,*,2), 刘世兴, 宋海燕**, 梁立孚,**,3)

*北京强度环境研究所可靠性与环境工程技术重点实验室, 北京 100076

辽宁大学物理学院, 沈阳 110036

**哈尔滨工程大学力学一级学科博士点,哈尔滨 150001

NON-CONSERVATIVE NONLINEAR RIGID-ELASTIC-LIQUID- CONTROL COUPLING ANALYTICAL DYNAMICS AND ITS APPLICATIONS$^{\bf 1)}$

Li Haibo,*,2), Liu Shixing, Song Haiyan**, Liang Lifu,**,3)

*Key Laboratory of Reliability and Environmental Engineering Technology, Beijing Institute of Intensity and Environment, Beijing 100076, China

College of Physic, Liaoning University, Shenyang 110036, China

**A Doctoral Program in Mechanics, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China

通讯作者: 2)李海波, 研究员, 主要研究方向: 从事航天结构强度与动力学环境方面的研究工作. E-mail:haibo_lihb@yahoo.com.cn;3)梁立孚, 教授, 主要研究方向: 从事变分原理及其应用、连续介质分析动力学和耦合分析动力学等研究工作. E-mail:lianglifu@hrbeu.edu.cn

收稿日期: 2020-04-14   接受日期: 2020-07-3   网络出版日期: 2020-07-18

基金资助: 1)国家自然科学基金.  11172046
国家自然科学基金.  10272034
国家自然科学基金.  11872030

Received: 2020-04-14   Accepted: 2020-07-3   Online: 2020-07-18

作者简介 About authors

摘要

非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学是与航天动力学和多体动力学相关的重要研究课题之一, 研究这一理论和应用课题具有重要理论意义和实际应用价值. 本研究建立了非保守非线性两类变量的刚-弹-液-控耦合分析动力学的Hamilton型拟变分原理, 并以该Hamilton型拟变分原理的泛函为依据, 分析了刚-弹-液-控耦合中的刚-弹耦合、刚-液耦合与弹-液耦合、控-刚耦合的特点. 借助于Lagrange-Hamilton体系, 从Hamilton型拟变分原理出发推导出非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程, 并应用该Lagrange方程推导出系统的控制方程. 进一步以该控制方程为依据, 分析了刚-弹-液-控耦合中的刚-弹耦合、刚-液耦合与弹-液耦合、控-刚耦合的机理. 从两个方面概要地研究了非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程的应用: 一方面, 应用该Lagrange方程建立了相应的有限元计算模型, 分析了这类计算模型的优越性; 另一方面, 应用系统的控制方程对实际问题进行解析的分析讨论, 说明了应用解析的分析讨论来研究问题与应用数值的、定量的分析方法来研究问题的互补特性. 最后, 讨论了几个相关的问题.

关键词: Lagrange方程 ; Hamilton原理 ; 非保守 ; 非线性 ; 刚-弹-液-控耦合

Abstract

Non-conservative nonlinear rigid-elastic-liquid-control coupling analytical dynamics is one of the important research subjects related to aerospace dynamics and multi-body dynamics. It is of great theoretical significance and practical value to study this theoretical and applied subject by using analytical dynamics method. Firstly, the non-conservative nonlinear Hamilton-type quasi-variational principle of rigid-elastic-liquid-control coupling dynamics with two types of variables is established. Based on the functional of the Hamilton-type quasi-variational principle with two types of variables, the characteristics of rigid-elastic coupling, rigid-liquid coupling, elastic-liquid coupling and rigid-control coupling are analyzed. Secondly, with the help of Lagrange-Hamilton system, the Lagrange equations of non-conservative nonlinear rigid-elastic-liquid-control coupling system is derived from Hamilton-type quasi-variational principle. Thirdly, the governing equations of the non-conservative nonlinear rigid-elastic-liquid-control coupling system are derived by applying the Lagrange equations. Based on the governing equations, the mechanisms of rigid-elastic coupling, rigid-liquid coupling , elastic-liquid coupling and rigid-control coupling are analyzed. The application of Lagrange equations of non-conservative nonlinear rigid-elastic-liquid-control coupling system is studied in two aspects. On the one hand, the finite element model is established by applying the Lagrange equations. Furthermore, the advantages of this kind of computing model are analyzed. On the other hand, the problems are analyzed by using the governing equations of non-conservative nonlinear rigid-elastic-liquid-control coupling system. It illustrates the complementary characteristics of the application of analytic analysis and discussion to the study of problems and the application of numerical and quantitative analysis methods to the study of problems. Finally, several related issues are discussed.

Keywords: Lagrange equation ; Hamilton principle ; non-conservative ; non-linear ; rigid-elastic-liquid-control coupling

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本文引用格式

李海波, 刘世兴, 宋海燕, 梁立孚. 非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学及其应用研究$^{\bf 1)}$. 力学学报[J], 2020, 52(4): 932-944 DOI:10.6052/0459-1879-20-107

Li Haibo, Liu Shixing, Song Haiyan, Liang Lifu. NON-CONSERVATIVE NONLINEAR RIGID-ELASTIC-LIQUID- CONTROL COUPLING ANALYTICAL DYNAMICS AND ITS APPLICATIONS$^{\bf 1)}$. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2020, 52(4): 932-944 DOI:10.6052/0459-1879-20-107

引言

非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学是与航天动力学和多体动力学相关的重要研究课题之一. 对于这一学术领域在国内外的研究进展, 文献[1,2]做了很好的综述. 文献[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]可以反映出近年来新的进展. 此外, 还参考了充液系统动力学[13]、 分析动力学[14-15]、工程控制论[16]和自动控制[17-19]的几部专著. 对于20世纪的研究情况, 文献[20]指出: "由于多柔体构形的复杂性,目前解决多柔体动力学问题主要是依赖于数值的、定量的分析方法, 几乎没有人进行解析的分析讨论, 这对于深刻把握系统的非线性力学实质、预测系统的全局动力学现象是十分不利的. 因此, 极有必要开展多柔体系统的理论分析, 当然, 这是一个十分复杂的问题, 解决它可能需要很长的时间. "作者有关的研究工作就是在这一论述的启发下展开的. 由于分析力学的特点, 应用分析力学中的Hamilton型变分原理和Lagrange方程进行多柔体系统的解析的分析讨论和理论分析是一条可行的途径. 经过十余年的潜心研究[21-31], 至2013年研究非线性、非保守柔体动力学拟变分原理及其在航天器动力学中的应用[32], 多柔体系统的解析分析讨论和理论分析已经基本实现. 进而, 适时地拓宽了研究领域: 应用现代非线性力学的理论成果和分析方法对航天工程中的刚(柔)$-\!$液-控耦合动力学的耦合机理进行深入探索, 并预见带柔性附件充液航天器的动力学响应特征, 从而为复杂结构航天器的设计与分析提供理论参考[2]. 又经过多年的艰苦的研究工作[33-41], 至2019年《力学进展》发表了《连续介质分析动力学及其应用》一文, 比较全面地介绍了研究成果[42]. 正是在经过新世纪以来的近20年的研究积累的基础上, 尝试性地研究了非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Hamilton型拟变分原理, 从系统的Hamilton型拟变分原理出发, 借助Lagrange-Hamilton体系, 建立了刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程, 应用该Lagrange方程建立了系统的控制方程. 并应用Lagrange方程建立了相应的有限元计算模型, 研究了系统的控制方程的应用, 探索进行解析的分析讨论的途径.

本文研究了航天器在大气层中飞行的情况, 航天器在大气层外飞行的情况将在后续的工作中讨论.

1 非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Hamilton型拟变分原理

非保守非线性两类变量刚-弹-液-控耦合分析动力学的Hamilton型拟变分原理为

$\delta {\varPi }_{\rm reqc} -\delta Q_{req} =0$

式中

$\varPi _{\rm reqc} =\int_{t_0 }^{t_1 }\bigg\{\pi _{\rm c} -M_{\rm F} \cdot \phi +M_{\rm c} \cdot \theta +F_{\rm c} \cdot X^{\rm r}+ \pi _{\rm r} +\\ \qquad\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}(v^{\rm r}+\omega \times x^{\rm e})\cdot v^{\rm e}{\rm d}V+\pi_{\rm e} +\\ \qquad\iiint_{V^{\rm q}} \rho^{\rm q}(v^{\rm r}+\omega \times x^{\rm q})\cdot v^{\rm q}{\rm d}V+\pi _{\rm q} +\\ \qquad\iint_{S_{\rm eq}}{(T^{\rm eq}\cdot u^{\rm e}+T^{\rm qe}\cdot u^{\rm q})}{\rm d}S\bigg\}{\rm d}t $

$\pi _{\rm c} =\dfrac{1}{2}\omega _{\rm c} \cdot J_{\rm D} \cdot \omega _{\rm c} +K_{\rm m} I_{\rm D} \cdot \phi $

$\pi _{\rm r} =\iiint_{V^{\rm e}} \dfrac{1}{2}\rho ^{\rm e}v^{\rm r}\cdot v^{\rm r}{\rm d}V+\iiint_{V^{\rm q}} \dfrac{1}{2}\rho^{\rm q}v^{\rm r}\cdot v^{\rm r}{\rm d}V +\\ \qquad\dfrac{1}{2} \omega \cdot J\cdot \omega +(F+F_{\rm N} )\cdot X^{\rm r}+(M+M_{\rm N} )\cdot \theta $

$ \pi_{\rm e} =\iiint_{V^{\rm e}}\bigg[\dfrac{1}{2}\rho^{\rm e}v^{\rm e}\cdot v^{\rm e}-A(E)+(f^{\rm e}+f_{\rm N}^{\rm e})\cdot u^{\rm e}\bigg]{\rm d}V +\\ \qquad \iint_{S_\sigma }(T^{\rm e}+T_{\rm N}^{\rm e})\cdot u^{\rm e}{\rm d}S $

$ \pi _{\rm q} =\iiint_{V^{\rm q}} \bigg[\dfrac{1}{2}\rho ^{\rm q}v^{\rm q}\cdot v^{\rm q}+pI:\nabla u^{\rm q}-\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla ):\\ \qquad\nabla u^{\rm q}+(f^{\rm q}+f_{\rm N}^{\rm q})\cdot u^{\rm q}\bigg]{\rm d}V+\iint_{S_{\rm f} }(T^{\rm q}+T_{\rm N}^{\rm q})\cdot u^{\rm q}{\rm d}S $

$ \delta Q_{req} =\int_{t_0}^{t_1}(X^{\rm r}\cdot \delta F_{\rm N} + \theta \cdot \delta M_{\rm N} ){\rm d}t+\\ \qquad\int_{t_0}^{t_1}\lt(\iiint_{V^{\rm e}} u^{\rm e}\cdot \delta f_{\rm N}^{\rm e} {\rm d}V){\rm d}t +\\ \qquad \int_{t_0}^{t_1}\lt(\iint_{S_\sigma} u^{\rm e}\cdot \delta T_{\rm N}^{\rm e} {\rm d}S){\rm d}t+\\ \qquad\int_{t_0}^{t_1}\lt(\iiint_{V^{\rm q}} u^{\rm q}\cdot \delta f_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}V){\rm d}t +\\ \qquad\int_{t_0}^{t_1}\lt(\iint_{S_{\rm f}} u^{\rm q}\cdot \delta T_{\rm N}^{\rm q} {\rm d}S){\rm d}t-\\ \qquad\int_{t_0}^{t_1}\bigg[\iiint_{V^{\rm q}} \nabla u^{\rm q}:\delta \mu (\nabla \dot{{u}}^{\rm q}+\dot{{u}}^{\rm q}\nabla )){\rm d}V\bigg]{\rm d}t$

此项为刚-弹-液-控耦合系统的余虚功表达式.

先决条件为

$ \left.\begin{array}{l} v^{\rm r}-\dfrac{{\rm d}X^{\rm r}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ \omega -\dfrac{{\rm d} \theta }{{\rm d}t}={\bf0}\\ E-\dfrac{1}{2}(\nabla u^{\rm e}+u^{\rm e}\nabla +\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )={\bf0}\\ v^{\rm e}-\dfrac{{\rm d}u^{\rm e}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ v^{\rm q}-\dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ \omega _{\rm c} -\dfrac{{\rm d}\phi}{{\rm d}t}={\bf0} \\ u^{\rm e}-\bar{u}^{\rm e}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm u} \\ u^{\rm q}-\bar{u}^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm w}\\ \end{array}\right\} $

式中, $X^{\rm r}$为系统质心的矢径, $x$为系统中任意一点到质心的矢径, $ \theta$为系统刚化后的转角, $J$为系统刚化后的转动惯量(假设$J$为常量), $F$为保守力主矢, $F_{\rm N}$为非保守力主矢, $M$为保守力主矩, $M_{\rm N}$为非保守力主矩, $\rho^{\rm q}$为流体质量密度, $\rho^{\rm e}$为弹性体质量密度, $f^{\rm e}$为弹性体的保守体积力, $f_{\rm N}^{\rm e} $为弹性体的非保守体积力, $f^{\rm q}$为流体的保守体积力, $f_{\rm N}^{\rm q}$为流体的非保守体积力, $\mu$为黏性系数, $I$为单位张量, $p$为压强, $T^{\rm e}$为弹性体的保守面积力, $T_{\rm N}^{\rm e} $为弹性体的非保守面积力, $v^{\rm r}$为刚体平动的速度, $v^{\rm e}$为弹性体质点的速度, $u^{\rm e}$为弹性体质点的位移, $T^{\rm q}$为流体的保守面积力, $T_{\rm N}^{\rm q}$为流体的非保守面积力, $v^{\rm q}$为流体质点的速度, $u^{\rm q}$为流体质点的位移, $\nabla$为梯度算子, $V^{\rm r}$为刚体体积, $V^{\rm q}$流体体积, $S_{\rm w}$为流体的位移边界面, $S_{\rm f}$为流体的应力边界面, $S_{\rm u}$为弹性体的位移边界面, $S_\sigma$为弹性体的应力边界面, $S_{\rm eq} $为弹-液交界面, $T^{\rm qe}$为$S_{\rm eq}$处的液体面积力, $T^{\rm eq}$为$S_{\rm eq} $处的弹性体面积力, $K_{\rm m}$为电动机转矩系数, $J_{\rm D}$为电动机转子转动惯量, $M_{\rm F}$为实现所需的舵面偏角导致的电动机负载转矩, $ \omega_{\rm c}$为电动机转子转动角速度, 并且$\omega _{\rm c} ={\rm d}\phi /{\rm d}t$, $\phi$为电动机转子的转角, $M_{\rm c}$为舵面偏转引起的力矩的增量, $F_{\rm c}$为舵面偏转引起的力的增量.

注意到$\delta \varPi_{\rm reqc}$为刚-弹-液-控耦合动力学两类变量的拟变分原理的定积分形式泛函的变分; $\pi_{\rm c}$为$\varPi_{\rm reqc}$的一个组成部分($\int_{t_0}^{t_1}\pi _{\rm c} {\rm d}t$形式上与电动机动力学的Hamilton变分原理的泛函相同, 认为是保守系统); $\pi_{\rm r}$为$\varPi_{\rm reqc}$的一个组成部分($\int_{t_0 }^{t_1 } {\pi _{\rm r} {\rm d}t}$形式上与刚体动力学的Hamilton型拟变分原理的泛函相同); $\pi_{\rm e}$为$\varPi_{\rm reqc}$的一个组成部分($\int_{t_0 }^{t_1 } {\pi _{\rm e} {\rm d}t}$形式上与弹性动力学的Hamilton型拟变分原理的泛函相同); $\pi_{\rm q}$为$\varPi_{\rm reqc}$的另一个组成部分($\int_{t_0 }^{t_1 } {\pi _{\rm q} {\rm d}t}$形式上与流体力学的Hamilton型拟变分原理的泛函相同). 明显可见,刚-弹-液-控耦合系统两类变量的Hamilton型拟变分原理的定积分形式泛函$\varPi_{\rm reqc}$不是电动机动力学的Hamilton变分原理的泛函$\int_{t_0}^{t_1 } {\pi _{\rm c}{\rm d}t}$、刚体动力学的Hamilton型拟变分原理的泛函$\int_{t_0}^{t_1}{\pi _{\rm r} {\rm d}t}$、弹性动力学的Hamilton型拟变分原理的泛函$\int_{t_0}^{t_1}{\pi _{\rm e} {\rm d}t}$和流体动力学的Hamilton型拟变分原理的泛函$\int_{t_0}^{t_1}{\pi _{\rm q} {\rm d}t}$的组合, 而是多出控-刚耦合项$-M_{\rm F}\cdot\phi+M_{\rm c}\cdot \theta+F_{\rm c}\cdot X^{\rm r}$、刚-弹耦合项$\int_{t_0}^{t_1}\iiint_{V^{\rm e}}(v^{\rm c}+ \omega\times x^{\rm e})\cdot v^{\rm e}{\rm d}V{\rm d}t$、刚-液耦合项$\int_{t_0}^{t_1}\iiint_{V^{\rm q}}(v^{\rm c}+ \omega\times x^{\rm q})\cdot v^{\rm q}{\rm d}V{\rm d}t$和弹-液耦合项$\iint_{S_{\rm eq}}(T^{\rm eq}\cdot u^{\rm e}+T^{\rm qe}\cdot u^{\rm q}){\rm d}S$. 明显可见, 刚-弹-液-控耦合中的刚-弹耦合和刚-液耦合是惯性耦合, 而弹-液耦合和控-刚耦合是接触耦合. 这里说明, 对于弹-液耦合, 在弹-液交界面$S_{\rm eq} $处, 内力满足平衡关系[43-44]

$T^{\rm eq}+T^{\rm qe}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$

位移满足协调关系

$u^{\rm e}-u^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$

两类变量的刚-弹-液-控耦合系统的动能为

$T=\iiint_{V^{\rm e}} \dfrac{1}{2}\rho ^{\rm e}v^{\rm r}\cdot v^{\rm r}{\rm d}V+\iiint_{V^{\rm q}} \dfrac{1}{2}\rho ^{\rm q}v^{\rm r}\cdot v^{\rm r}{\rm d}V +\\ \qquad\dfrac{1}{2} \omega \cdot J\cdot \omega +\dfrac{1}{2}\omega _{\rm c} \cdot J_{\rm D} \cdot \omega _{\rm c} +\\ \qquad\iiint_{V^{\rm e}} \bigg[\dfrac{1}{2}\rho ^{\rm e}v^{\rm e}\cdot v^{\rm e}+\rho ^{\rm e}(v^{\rm r}+\omega\times x^{\rm e})\cdot v^{\rm e}\bigg]{\rm d}V +\\ \qquad\iiint_{V^{\rm q}} \bigg[\dfrac{1}{2}\rho ^{\rm q}v^{\rm q}\cdot v^{\rm q}+\rho ^{\rm q}(v^{\rm r}+ \omega\times x^{\rm q})\cdot v^{\rm q}\bigg]{\rm d}V $

刚-弹-液-控耦合系统的势能为

$ U=-(K_{\rm m} I_{\rm D} -M_{\rm F} )\cdot \phi -F_{\rm c} \cdot X^{\rm r}-M_{\rm c} \cdot \theta -F\cdot X^{\rm r} -\\ \qquad M\cdot \theta -\iint_{S_{\rm eq}}(T^{\rm eq}\cdot u^{\rm e}+T^{\rm qe}\cdot u^{\rm q}){\rm d}S+\\ \qquad \iiint_{V^{\rm e}}[A(E)-f^{\rm e}\cdot u^{\rm e}]{\rm d}V- \iint_{S_\sigma } T^{\rm e}\cdot u^{\rm e}{\rm d}S+\\ \qquad \iiint_{V^{\rm q}}(-pI:\nabla u^{\rm q}-f^{\rm q}\cdot u^{\rm q}){\rm d}V-\\ \qquad\iint_{S_{\rm f}} T^{\rm q}\cdot u^{\rm q}{\rm d}S $

刚-弹-液-控耦合系统的拟势能为

$ U_{\rm qs} =-F_{\rm N} \cdot X^{\rm r}-M_{\rm N} \cdot \theta -\iiint_{V^{\rm e}} f_{\rm N}^{\rm e}\cdot u^{\rm e}{\rm d}V-\\ \qquad \iint_{S_\sigma} T_{\rm N}^{\rm e} \cdot u^{\rm e}{\rm d}S-\iiint_{V^{\rm q}} f_{\rm N}^{\rm q} \cdot u^{\rm q}{\rm d}V-\\ \qquad\iint_{S_{\rm f}} T_{\rm N}^{\rm q} \cdot u^{\rm q}{\rm d}S+ \iiint_{V^{\rm q}} \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla ):\nabla u^{\rm q}{\rm d}V $

2 刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程

根据式(5)$\sim\!$式(7), 式(1)可改写为

$ \delta{\varPi}_{\rm reqc} -\delta Q_{req} =\\ \qquad\delta \int_{t_0 }^{t_1 }(T-U){\rm d}t-\int_{t_0 }^{t_1 } {\delta U_{\rm qs} } {\rm d}t-\delta Q_{req} =\\ \qquad\int_{t_0 }^{t_1 } \lt( \dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }\cdot \delta \omega _{\rm c} -\dfrac{\partial U}{\partial \phi }\cdot \delta \phi ){\rm d}t+\\ \qquad\int_{t_0 }^{t_1 } \bigg( \dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}\cdot \delta v^{\rm r} -\dfrac{\partial U}{\partial X^{\rm r}}\cdot \delta X^{\rm r}\bigg){\rm d}t+\\ \qquad\int_{t_0 }^{t_1 } \lt( \dfrac{\partial T}{\partial \omega }\cdot \delta \omega -\dfrac{\partial U}{\partial \theta }\cdot \delta \theta ){\rm d}t +\\ \qquad\int_{t_0 }^{t_1 } \lt( \dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}\cdot \delta v^{\rm e}-\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm e}}\cdot \delta u^{\rm e}){\rm d}t +\\ \qquad\int_{t_0 }^{t_1 } \lt( \dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}\cdot \delta v^{\rm q}-\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm q}}\cdot \delta u^{\rm q}){\rm d}t -\\ \qquad\int_{t_0 }^{t_1 } {\delta U_{{\rm qs}} } {\rm d}t-\delta Q_{req} =0 $

先决条件(2)的变分式为

$ \left.\begin{array}{l} \delta v^{\rm r}-\delta \dfrac{{\rm d}X^{\rm r}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ \delta \omega -\delta \dfrac{{\rm d} \theta }{{\rm d}t}={\bf0}\\ \delta E-\delta \dfrac{1}{2}(\nabla u^{\rm e}+u^{\rm e}\nabla +\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )={\bf0}\\ \delta v^{\rm e}-\delta \dfrac{{\rm d}u^{\rm e}}{{\rm d}t}=0,\ \ \delta v^{\rm q}-\delta \dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}={\bf0}\\ \delta \omega _{\rm c} -\delta \dfrac{{\rm d}\phi}{{\rm d}t}={\bf0}\\ \delta u^{\rm e}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm u} \\ \delta u^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm w} \\ \end{array}\right\} $

将先决条件的变分式(9)代入式(8), 进行分步积分, 可得

$ \left.\begin{array}{l} \int_{t_0}^{t_1} \dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }\cdot \delta \dot{{\phi }}{\rm d}t =\lt(\dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }\cdot \delta \phi )\bigg|_{t_0 }^{t_1 } - \int_{t_0 }^{t_1 } {\dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }\cdot \delta \phi {\rm d}t}\\ \int_{t_0 }^{t_1}{\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}\cdot \delta \dot{{X}}^{\rm r}{\rm d}t} =\lt(\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}\cdot \delta X^{\rm r}) \bigg|_{t_0 }^{t_1 } -\int_{t_0 }^{t_1} {\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}\cdot \delta X^{\rm r}{\rm d}t}\\ \int_{t_0 }^{t_1 } {\dfrac{\partial T}{\partial \omega }\cdot \delta \dot{{\theta }}{\rm d}t} =\lt(\dfrac{\partial T}{\partial\omega }\cdot \delta \theta ) \bigg|_{t_0 }^{t_1 } -\int_{t_0 }^{t_1 } {\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega }\cdot \delta \theta {\rm d}t}\\ \int_{t_0 }^{t_1 } {\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}\cdot \delta \dot{{u}}^{\rm e}{\rm d}t} ={\lt(\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}\cdot \delta u^{\rm e})} \bigg|_{t_0 }^{t_1 } -\int_{t_0 }^{t_1 } {\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}\cdot \delta u^{\rm e}{\rm d}t}\\ \int_{t_0 }^{t_1} \dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}\cdot \delta \dot{{u}}^{\rm q}{\rm d}t =\lt(\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}\cdot \delta u^{\rm q})\bigg|_{t_0 }^{t_1} -\int_{t_0 }^{t_1 } {\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}\cdot \delta u^{\rm q}{\rm d}t} \end{array}\right\} $

将式(10)代入式(8), 在时域边界$t=t_0$和$t=t_1$处取$\delta u^{\rm e}=0$, $\delta u^{\rm q}=0$, $\delta X^{\rm r}=0$, $\delta \theta={\bf0}$, $\delta \phi={\bf0}$,则可得

$ \delta {\varPi }_{\rm reqc} -\delta Q_{req} =\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } \lt( -\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c}}\cdot \delta \phi -\dfrac{\partial U}{\partial \phi }\cdot \delta \phi ){\rm d}t +\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } \lt( -\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}\cdot \delta X^{\rm r}-\dfrac{\partial U}{\partial X^{\rm r}}\cdot \delta X^{\rm r}){\rm d}t +\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } \lt( -\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega }\cdot \delta \theta -\dfrac{\partial U}{\partial \theta }\cdot \delta \theta ){\rm d}t +\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } \lt( -\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}\cdot \delta u^{\rm e}-\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm e}}\cdot \delta u^{\rm e}){\rm d}t +\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } \lt( -\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}\cdot \delta u^{\rm q}-\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm q}}\cdot \delta u^{\rm q}){\rm d}t -\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } {\delta U_{\rm qs} } {\rm d}t-\delta Q_{req} =0 $

因为

$ \int_{t_0 }^{t_1 } - \delta U_{\rm qs} {\rm d}t-\delta Q_{req} =\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } \bigg[ F_{\rm N} \cdot \delta X^{\rm r}+M_{\rm N} \cdot \delta \theta +\iiint_{V^{\rm e}} {f_{\rm N}^{\rm e} \cdot \delta u^{\rm e}{\rm d}V} +\\ \qquad \iint_{S_\sigma } {T_{\rm N}^{\rm e} \cdot \delta u^{\rm e}{\rm d}S}+\iiint_{V^{\rm q}} {f_{\rm N}^{\rm q} \cdot \delta u^{\rm q}{\rm d}V}+\\ \qquad \iint_{S_{\rm f} } {T_{\rm N}^{\rm q} \cdot \delta u^{\rm q}{\rm d}S} -\\ \qquad \iiint_{V^{\rm q}} {\mu (\nabla \dot{{u}}^{\rm q}+\dot{{u}}^{\rm q}\nabla ):\delta \nabla u^{\rm q}}{\rm d}V\bigg]{\rm d}t $

应用Green定理, 并考虑到先决条件(9)中的流体位移边界条件, 可得

$ -\iiint_{V^{\rm q}} {\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\delta \nabla u^{\rm q}}{\rm d}V =\\ \qquad -\iint_{S_{\rm f} } {\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )n^{\rm q}\delta u^{\rm q}{\rm d}S} -\\ \qquad \iint_{S_{\rm eq} } {\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )n^{\rm q}\delta u^{\rm q}{\rm d}S} +\\ \qquad \iiint_{V^{\rm q}} {\nabla \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\delta u^{\rm q}{\rm d}V} $

进而可得

$ \delta {\varPi }_{\rm reqc} -\delta Q_{req} =\delta \int_{t_0 }^{t_1 } \lt( T-U-U_{\rm qs} ){\rm d}t-\delta Q_{req} =\\ \qquad \int_{t_0 }^{t_1 } -\lt( \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }+\dfrac{\partial U}{\partial \phi }) \cdot \delta \phi {\rm d}t+\int_{t_0 }^{t_1 } -\\ \qquad\lt( \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}+\dfrac{\partial U}{\partial X^{\rm r}}-F_{\rm N} ) \cdot \delta X^{\rm r}{\rm d}t + \int_{t_0 }^{t_1 } -\\ \qquad\lt( \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial\omega }+\dfrac{\partial U}{\partial \theta }-M_{\rm N} ) \cdot \delta \theta {\rm d}t+\int_{t_0 }^{t_1 } -\\ \qquad\Bigg\{ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}+\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm e}}-\iiint_{V^{\rm e}} {f_{\rm N}^{\rm e} {\rm d}V} - \\ \qquad\iint_{S_\sigma } {T_{\rm N}^{\rm e} }{\rm d}S\Bigg\}\cdot \delta u^{\rm e}{\rm d}t+\int_{t_0 }^{t_1 } -\\ \qquad\Bigg\{ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}+\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm q}}-\iiint_{V^{\rm q}} [f_{\rm N}^{\rm q} +\\ \qquad\nabla \cdot \mu \lt(\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )]{\rm d}V -\\ \qquad \iint_{S_{\rm f} } {[T_{\rm N}^{\rm q} -\mu \lt(\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}]}{\rm d}S+\\ \qquad\iint_{S_{\rm eq} } {[\mu \lt(\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}]}{\rm d}S\Bigg\}\cdot \delta u^{\rm q}{\rm d}t =0 $

由于$\delta u^{\rm e}$, $\delta u^{\rm q}$, $\delta X^{\rm r}$, $\delta \theta $, $\delta \phi$的任意性, 故由上式可得两类变量的刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程组

$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }+\dfrac{\partial U}{\partial \phi }={\bf0}\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}+\dfrac{\partial U}{\partial X^{\rm r}}-F_{\rm N} ={\bf0}\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial\omega }+\dfrac{\partial U}{\partial \theta }-M_{\rm N} ={\bf0}\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}+\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm e}}-\iiint_{V^{\rm e}} {f_{\rm N}^{\rm e} {\rm d}V}-\iint_{S_\sigma } {T_{\rm N}^{\rm e} {\rm d}S}={\bf0} \\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}+\dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm q}}-\\ \qquad\iiint_{V^{\rm q}} {[f_{\rm N}^{\rm q} +\nabla \cdot \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )]{\rm d}V} -\\ \qquad\iint_{S_{\rm f} } {[T_{\rm N}^{\rm q} -\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}]}{\rm d}S+\\ \qquad \iint_{S_{\rm eq} } {[\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}]}{\rm d}S={\bf0}\\ \end{array}\right\} $

3 应用Lagrange方程建立刚-弹-液-控耦合系统的控制方程

应用刚-弹-液-控耦合系统Lagrange方程推导其控制方程. 为此, 需要推导计算Lagrange方程中的有关动能和有关势能的各项. 首先, 推导计算Lagrange方程中的有关动能的各项

$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega _{\rm c} }=J_{\rm D} \cdot \dfrac{{\rm d} \omega _{\rm c} }{{\rm d}t}\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm e}}=\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\Bigg[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm e}+ \omega \times \lt( \omega \times x^{\rm e})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}\Bigg]{\rm d}V\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm q}}=\iiint_{V^{\rm q}} \rho ^{\rm q}\Bigg[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm q}+\omega \times \lt( \omega \times x^{\rm q})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}\Bigg]{\rm d}V\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \omega }=-\iiint_{V^{^{\rm e}}} \rho ^{\rm e}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\lt(v^{\rm e}\times x^{\rm e}){\rm d}V-\iiint_{V^{\rm q}} {\rho ^{\rm q}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\lt(v^{\rm q}\times x^{\rm q}){\rm d}V}+J\cdot \dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial v^{\rm r}}=\iiint_{V^{\rm e}} {\rho ^{\rm e}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t})}{\rm d}V+ \iiint_{V^{\rm q}} {\rho ^{\rm q}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t})}{\rm d}V \end{array}\right\} $

然后, 推导计算Lagrange方程中的有关势能的各项为

$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{\partial U}{\partial \phi }=\dfrac{\partial }{\partial \phi }\lt[-\lt(K_{\rm m} I_{\rm D} -M_{\rm F} )\cdot \phi ]=-(K_{\rm m} I_{\rm D} -M_{\rm F} )\\ \dfrac{\partial U}{\partial X^{\rm r}}=\dfrac{\partial }{\partial X^{\rm r}}\lt(-F\cdot X^{\rm r}-F_{\rm c} \cdot X^{\rm r})=-F-F_{\rm c}\\ \dfrac{\partial U}{\partial \theta }=\dfrac{\partial }{\partial \theta }\lt(-M\cdot \theta -M_{\rm c} \cdot \theta )=-M-M_{\rm c} \\ \dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm e}}=\dfrac{\partial }{\partial u^{\rm e}}\Bigg[\iiint_{V^{\rm e}} \lt[A(E)-f^{\rm e}\cdot u^{\rm e}]{\rm d}V - \iint_{S_\sigma } {T^{\rm e}\cdot u^{\rm e}}{\rm d}S-\iint_{S_{\rm eq} } T^{\rm eq}\cdot u^{\rm e}{\rm d}S\Bigg]\\ \dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm q}}=\dfrac{\partial }{\partial u^{\rm q}}\Bigg[\iiint_{V^{\rm q}} {\lt(-pI:\nabla u^{\rm q}-f^{\rm q}\cdot u^{\rm q}){\rm d}V} - \iint_{S_{\rm f} } {T^{\rm q}\cdot u^{\rm q}{\rm d}S}-\iint_{S_{\rm eq} } {T^{\rm qe}\cdot u^{\rm q}}{\rm d}S\Bigg] \end{array}\right\}\quad $

应用Green定理, 并考虑到先决条件(9)中的弹性位移边界条件, 可得

$ \iiint_{V^{\rm e}} {\dfrac{\partial }{\partial u^{\rm e}}A(E)}{\rm d}V =\iint_{S_\sigma } {(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}{\rm d}S}+\\ \qquad \iint_{S_{\rm eq} } {(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}{\rm d}S} -\\ \qquad \iiint_{V^{\rm e}} {\lt[(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot \nabla ]{\rm d}V} $

将上式代入式(17)的第四式, 可得

$ \dfrac{\partial }{\partial u^{\rm e}}\Bigg[\iiint_{V^{\rm e}} \lt[A(E)-f^{\rm e}\cdot u^{\rm e}]{\rm d}V-\\ \qquad \iint_{S_\sigma } {T^{\rm e}\cdot u^{\rm e}}{\rm d}S-\iint_{S_{\rm eq} } T^{\rm eq}\cdot u^{\rm e}{\rm d}S\Bigg] =\\ \qquad -\iiint_{V^{\rm e}} \Bigg[(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot \nabla +f^{\rm e}\Bigg]{\rm d}V +\\ \qquad \iint_{S_\sigma} \Bigg[\lt(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm e}\Bigg]{\rm d}S +\\ \qquad \iint_{S_{\rm eq} } \Bigg[\lt(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm eq}\Bigg]{\rm d}S $

应用Green定理, 并考虑到边界条件(9)中的流体位移边界条件, 可得

$ \left. \begin{array}{l}\dfrac{\partial}{\partial u^{\rm q}}\iiint_{V^{\rm q}} (-pI:\nabla u^{\rm q}){\rm d}V =\iint_{S_{\rm f} } -pI\cdot n^{\rm q}{\rm d}S+ \\ \qquad \iint_{S_{\rm eq}}-pI\cdot n^{\rm q}{\rm d}S-\iiint_{V^{\rm q}} (-pI\cdot \nabla ){\rm d}V\\ \dfrac{\partial U}{\partial u^{\rm q}}=\dfrac{\partial }{\partial u^{\rm q}}\Bigg[\iiint_{V^{\rm q}} (-pI:\nabla u^{\rm q}-f^{\rm q}\cdot u^{\rm q}){\rm d}V- \\ \iint_{S_{\rm f}} T^{\rm q}\cdot u^{\rm q}{\rm d}S-\iint_{S_{\rm eq}}T^{\rm qe}\cdot u^{\rm q}{\rm d}S\Bigg] =\\ \qquad -\iiint_{V^{\rm q}} (-pI\cdot \nabla +f^{\rm q}){\rm d}V+ \\ \qquad\iint_{S_{\rm f}}(-pI\cdot n^{\rm q}-T^{\rm q}){\rm d}S +\\ \qquad \iint_{S_{\rm eq}} (-pI\cdot n^{\rm q}-T^{\rm qe}){\rm d}S \end{array}\right\} $

将式(16)$\sim\!$式(20)代入Lagrange方程(15)中, 可得

$J_{\rm D} \cdot \dfrac{{\rm d}\omega _{\rm c} }{{\rm d}t}-K_{\rm m} I_{\rm D} +M_{\rm F} ={\bf0}$
$\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}){\rm d}V+\iiint_{V^{\rm q}} \rho^{\rm q}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}){\rm d}V- F-F_{\rm c} -F_{\rm N} =0$
$ -\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(v^{\rm e}\times x^{\rm e}){\rm d}V- \iiint_{V^{\rm q}} \rho^{\rm q}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(v^{\rm q}\times x^{\rm q}){\rm d}V + J\cdot \dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}-M-M_{\rm c} -M_{\rm N} ={\bf0}$
$ \iiint_{V^{\rm e}} \rho^{\rm e}\lt[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm e}+\omega \times (\omega \times x^{\rm e})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}]{\rm d}V -\\ \quad \iiint_{V^{\rm e}} \lt[(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot \nabla +f^{\rm e}+f_{\rm N}^{\rm e} ]{\rm d}V+\\ \quad \iint_{S_\sigma} \lt[(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm e}-T_{\rm N}^{\rm e} ]{\rm d}S+ \\ \quad \iint_{S_{\rm eq}} \lt[(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm eq}]{\rm d}S={\bf0}$
$ \iiint_{V^{\rm q}} \rho^{\rm q}\lt[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm q}+\omega \times (\omega \times x^{\rm q})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}]{\rm d}V - \\ \quad \iiint_{V^{\rm q}} \lt[-\nabla \cdot pI+\nabla \cdot \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )+f^{\rm q}+f_{\rm N}^{\rm q} ]{\rm d}V +\\ \quad \iint_{S_{\rm f} } \lt[-pI\cdot n^{\rm q}+\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}-T^{\rm q}-T_{\rm N}^{\rm q} ]{\rm d}S + \\ \quad \iint_{S_{\rm eq} } \lt[-pI\cdot n^{\rm q}+\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}-T^{\rm qe}]{\rm d}S={\bf0}$

应用可变函数选值的理论, 进而推导出两类变量的非保守非线性刚-弹-液-控耦合动力学的控制方程

$J_{\rm D} \cdot \dfrac{{\rm d}\omega _{\rm c} }{{\rm d}t}-K_{\rm m} I_{\rm D} +M_{\rm F} ={\bf0}$
$ \iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}){\rm d}V+\iiint_{V^{\rm q}} \rho ^{\rm q}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}){\rm d}V -\\ \qquad F-F_{\rm c} -F_{\rm N} ={\bf0}$
$-\iiint_{V^{\rm e}} {\rho ^{\rm e}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(v^{\rm e}\times x^{\rm e}){\rm d}V}-\iiint_{V^{\rm q}} {\rho ^{\rm q}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(v^{\rm q}\times x^{\rm q}){\rm d}V} +\\ \qquad J\cdot \dfrac{{\rm d}\omega }{{\rm d}t}-M-M_{\rm c} -M_{\rm N} ={\bf0}$
$\rho ^{\rm e}\lt[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}\omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm e}+\omega \times (\omega \times x^{\rm e})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}] -\\ \qquad (I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot \nabla -f^{\rm e}-f_{\rm N}^{\rm e} ={\bf0},\ \ {\rm in}\ V$
$(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm e}-T_{\rm N}^{\rm e} ={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_\sigma$
$(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm eq}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$
$ \rho ^{\rm q}\lt[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}\omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm q}+\omega \times (\omega \times x^{\rm q})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}] + \nabla \cdot pI-\\ \qquad\nabla \cdot \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )- f^{\rm q}-f_{\rm N}^{\rm q} ={\bf0},\ \ {\rm in}\ V$
$-pI\cdot n^{\rm q}+\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}- T^{\rm q}-T_{\rm N}^{\rm q} ={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm f}$
$-pI\cdot n^{\rm q}+\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}-T^{\rm qe}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm f}$

比较式(31)和式(34), 可得

$ (I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-pI\cdot n^{\rm q} +\\ \qquad\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}=0,\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$

建议注意: 在无际边界面$S_{\rm eq} $处

$n^{\rm e}+n^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$

两类变量的非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学的控制方程(26)$\sim$(34)改写为

$J_{\rm D} \cdot \dfrac{{\rm d}\omega _{\rm c} }{{\rm d}t}-K_{\rm m} I_{\rm D} +M_{\rm F} ={\bf0}$
$\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}){\rm d}V+\iiint_{V^{\rm q}} \rho ^{\rm q}\lt(\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}){\rm d}V -\\ \qquad F-F_{\rm c} -F_{\rm N} ={\bf0}$
$ -\iiint_{V^{\rm e}} {\rho ^{\rm e}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(v^{\rm e}\times x^{\rm e}){\rm d}V}-\iiint_{V^{\rm q}} {\rho^{\rm q}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}(v^{\rm q}\times x^{\rm q}){\rm d}V} +\\ \qquad J\cdot \dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}-M-M_{\rm c} -M_{\rm N} ={\bf0}$
$\rho ^{\rm e}\lt[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}\omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm e}+\omega \times (\omega \times x^{\rm e})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm e}}{{\rm d}t}] -\\ \qquad (I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot \nabla -f^{\rm e}-f_{\rm N}^{\rm e} ={\bf0},\ \ {\rm in}\ V$
$(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-T^{\rm e}-T_{\rm N}^{\rm e} ={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_\sigma$
$\rho^{\rm q}\lt[\dfrac{{\rm d}v^{\rm r}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d} \omega }{{\rm d}t}\times x^{\rm q}+\omega \times (\omega \times x^{\rm q})+\dfrac{{\rm d}v^{\rm q}}{{\rm d}t}] +\\ \qquad \nabla \cdot pI-\nabla \cdot \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )-\\ \qquad f^{\rm q}-f_{\rm N}^{\rm q} ={\bf0},\ \ {\rm in}\ V$
$-pI\cdot n^{\rm q}+\mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}- T^{\rm q}-T_{_{\rm N} }^{\rm q} ={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm f}$
$ (I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A(E)}{\partial E}\cdot n^{\rm e}-pI\cdot n^{\rm q} + \mu (\nabla v^{\rm q}+v^{\rm q}\nabla )\cdot n^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$
$ \left.\begin{array}{l} v^{\rm r}-\dfrac{{\rm d}X^{\rm r}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ \omega -\dfrac{{\rm d}\theta }{{\rm d}t}={\bf0}\\ E-\dfrac{1}{2}(\nabla u^{\rm e}+u^{\rm e}\nabla +\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )={\bf0}\\ v^{\rm e}-\dfrac{{\rm d}u^{\rm e}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ v^{\rm q}-\dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}={\bf0},\ \ \omega _{\rm c} -\dfrac{{\rm d}\phi}{{\rm d}t}={\bf0}\\ u^{\rm e}-\bar{u}^{\rm e}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm u}\\ u^{\rm q}-\bar{u}^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm w}\\ \end{array}\right\}$

还有一个重要的先决条件: 在无际边界面$S_{\rm eq}$处

$u^{\rm e}-u^{\rm q}={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$

退化到一类变量的非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学问题, 则其控制方程为

$J_{\rm D} \cdot \dfrac{{\rm d}^2\phi }{{\rm d}t^2}-K_{\rm m} I_{\rm D} +M_{\rm F} ={\bf0}$
$\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\lt(\dfrac{{\rm d}^2u^{\rm e}}{{\rm d}t^2}+\dfrac{{\rm d}^2X^{\rm r}}{{\rm d}t^2}){\rm d}V+\\ \qquad\iiint_{V^{\rm q}} \rho^{\rm q}\lt(\dfrac{{\rm d}^2u^{\rm q}}{{\rm d}t^2}+\dfrac{{\rm d}^2X^{\rm r}}{{\rm d}t^2}){\rm d}V -\\ \qquad F-F_{\rm c} -F_{\rm N} ={\bf0}$
$-\iiint_{V^{\rm e}} \rho ^{\rm e}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\lt(\dfrac{{\rm d}u^{\rm e}}{{\rm d}t}\times x^{\rm e}){\rm d}V-\\ \qquad\iiint_{V^{\rm q}} \rho ^{\rm q}\dfrac{\rm d}{{\rm d}t}\lt(\dfrac{du^{\rm q}}{{\rm d}t}\times x^{\rm q}){\rm d}V +\\ \qquad J\cdot \dfrac{{\rm d}^2\theta}{{\rm d}t^2}-M-M_{\rm c} -M_{\rm N} ={\bf0}$
$ \rho ^{\rm e}\lt[\dfrac{{\rm d}^2X^{\rm r}}{{\rm d}t^2}+\dfrac{{\rm d}^2\theta }{{\rm d}t^2}\times x^{\rm e}+\dfrac{{\rm d} \theta }{{\rm d}t}\times \lt(\dfrac{{\rm d} \theta }{{\rm d}t}\times x^{\rm e})+\dfrac{{\rm d}^2u^{\rm e}}{{\rm d}t^2}] -\\ \qquad (I+u^{\rm e}\nabla)\cdot \dfrac{\partial A\lt(\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}+\dfrac{1}{2}u^{\rm e}\nabla +\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )}{\partial \lt(\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}+\dfrac{1}{2}u^{\rm e}\nabla +\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )}\cdot \nabla -\\ \qquad f^{\rm e}-f_{\rm N}^{\rm e} ={\bf0},\ \ {\rm in}\ V$
$(I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A\lt(\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}+\dfrac{1}{2}u^{\rm e}\nabla +\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )}{\partial \lt(\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}+\dfrac{1}{2}u^{\rm e}\nabla +\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )}\cdot n^{\rm e} -\\ \qquad T^{\rm e}-T_{\rm N}^{\rm e} ={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\sigma}$
$ \rho^{\rm q}\lt[\dfrac{{\rm d}^2X^{\rm r}}{{\rm d}t^2}+\dfrac{{\rm d}^2 \theta }{{\rm d}t^2}\times x^{\rm q}+\dfrac{{\rm d} \theta }{{\rm d}t}\times \lt(\dfrac{{\rm d} \theta }{{\rm d}t}\times x^{\rm q})+\dfrac{{\rm d}^2u^{\rm q}}{{\rm d}t^2}]+\\ \qquad \nabla \cdot pI-\nabla \cdot \mu \lt(\nabla \dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}\nabla )-\\ \qquad f^{\rm q}-f_{\rm N}^{\rm q} ={\bf0},\ \ {\rm in}\ V$
$ -pI\cdot n^{\rm q}+\mu \lt(\nabla \dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}\nabla )\cdot n^{\rm q} - T^{\rm q}-T_{\rm N}^{\rm q} ={\bf0},\ \ {\rm on}\ S_{\rm f}$
$ (I+u^{\rm e}\nabla )\cdot \dfrac{\partial A\lt(\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}+\dfrac{1}{2}u^{\rm e}\nabla +\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )}{\partial \lt(\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}+\dfrac{1}{2}u^{\rm e}\nabla +\dfrac{1}{2}\nabla u^{\rm e}\cdot u^{\rm e}\nabla )}\cdot\\ \qquad n^{\rm e} - pI\cdot n^{\rm q}+\mu \lt(\nabla \dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}+\dfrac{{\rm d}u^{\rm q}}{{\rm d}t}\nabla )\cdot n^{\rm q}={\bf0}\\ \qquad {\rm on}\ S_{\rm eq}$
$u^{\rm e}-u^{\rm q}={\bf0}, \ \ {\rm on}\ S_{\rm eq}$
$\left.\begin{array}{l} u^{\rm e}-\bar{u}^{\rm e}={\bf0}, \ \ {\rm on}\ S_{\rm u}\\ u^{\rm q}-\bar{u}^{\rm q}={\bf0}, \ \ {\rm on}\ S_{\rm w} \end{array}\right\}$

这里借助非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学的控制方程(47)$\sim$(56)来说明刚-弹-液-控耦合的耦合机理.

刚体动力学的轨迹方程式(48)中的$\iiint_{V^{\rm e}}\rho^{\rm e}$ $({\rm d}^2u^{\rm e})/({\rm d}t^2){\rm d}V$项和弹性动力学的动力学方程式(50)中的$\rho^{\rm e}\{({\rm d}^2X^{\rm r})/({\rm d}t^2)+({\rm d}^2\theta)/({\rm d}t^2)\times x^{\rm e}+({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times[({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times x^{\rm e}]\}$项说明刚-弹耦合是惯性耦合. 同样, 刚体动力学的姿态方程式(49)中的$\iiint_{V^{\rm e}}\rho^{\rm e}$ $({\rm d}/{{\rm d}t})$ $[({\rm d}u^{\rm e})/({\rm d}t)\times x^{\rm e}]{\rm d}V$项和弹性动力学的动力学方程式(50)中的$\rho^{\rm e}\{({\rm d}^2X^{\rm r})/({\rm d}t^2)+({\rm d}^2\theta)/({\rm d}t^2)\times x^{\rm e}+({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times[({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times x^{\rm e}]\}$项说明刚-弹耦合是惯性耦合. 刚体动力学的轨迹方程式(48)中的$\iiint_{V^{\rm q}}\rho^{\rm q}$ $({\rm d}^2u^{\rm q})/({\rm d}t^2){\rm d}V$项和流体动力学的动力学方程式(52)中的$\rho^{\rm q}\{({\rm d}^2X^{\rm r})/({\rm d}t^2)+({\rm d}^2\theta)/({\rm d}t^2)\times x^{\rm q}+({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times[({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times x^{\rm q}]\}$项说明刚-液耦合是惯性耦合. 同样, 刚体动力学的姿态方程式(49)中的$\iiint_{V^{\rm q}}\rho^{\rm q}({\rm d}/{\rm d}t)[({\rm d}u^{\rm q})/({\rm d}t)\times x^{\rm q}]{\rm d}V$项和流体动力学的动力学方程式(52)中的$\rho^{\rm q}\{({\rm d}^2X^{\rm r})/({\rm d}t^2)+({\rm d}^2\theta)/({\rm d}t^2)\times x^{\rm q}+({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times[({\rm d}\theta)/({\rm d}t)\times x^{\rm q}]\}$项说明刚-液耦合是惯性耦合.

弹-液交界面处力的平衡方程(54)和位移协调方程(55)说明弹-液耦合是接触耦合.

刚体动力学的轨迹方程式(48)中的$F_{\rm c}$项和控制动力学的方程式(47)中的$M_{\rm F}$项说明控-刚耦合是接触耦合. 同样, 刚体动力学的姿态方程式(49)中的$M_{\rm c}$项和控制动力学的方程(47)中的$M_{\rm F}$项也说明控-刚耦合是接触耦合.

这里存在一个问题, 即似乎看不出控制对弹和液的影响. 其实不然, 控制是通过方程(48)和(49)影响刚体的$X^{\rm r}$和$ \theta$, 进而影响弹和液的. 反之, 弹和液是通过方程(48)和(49)中的惯性耦合项影响刚体的$X^{\rm r}$和$ \theta$, 而控制中的$\phi$是按照对航天器$X^{\rm r}$和$ \theta$变化规律的要求设计的.

4 刚-弹-液-控耦合系统Lagrange方程的应用研究

4.1 应用非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统Lagrange方程建立位移协调元模型

这里说明, 为了书写简捷紧凑, 前面的理论推导部分采用实体张量符号; 为了编写计算程序的方便, 后面的有限元法研究, 采用指标张量符号书写. 将弹性连续体划分为$n$个单元, 取$u_i^{(a)}$为自变函数, 将液体连续体划分为$m$个单元, 取$u_i^{(c)} $为自变函数, 它们满足如下条件:

(1)在元素中$u_i^{(a)} $满足$C^0$连续, $u_i^{(c)} $满足$C^0$连续;

(2)在$S_{ab} $上, $u_i^{(a)} =u_i^{(b)} $;

(3)在$S_{cd} $上, $u_i^{(c)} =u_i^{(d)} $;

(4)在$S_{\rm w} $上, $u_i^{(c)} -\bar{{u}}_i^{(c)} =0$;

(5)在$S_{\rm u} $上, $u_i^{(a)} -\bar{{u}}_i^{(a)} =0$;

(6)在$ S_{\rm eq} $中的$ S_{ac} $上, $u_i^{(a)} -u_i^{(c)} =0$;

或者在$ S_{\rm eq} $中的$ S_{bd} $上, $u_i^{(b)} -u_i^{(d)} =0$.

这里说明, 由于弹-液耦合产生在弹-液交界面处, 为了方便起见, 在划分有限元法的元素的时候,

总是希望把弹-液交界面处理为有限元法中的无际边界面. 这就是条件(6)的来源. 弹性体单元、液体单元和弹-液交界面处单元如图1所示.

图1

图1   刚-弹-液-控耦合体的有限元素和界面关系

Fig. 1   The relationship between the element and the interface in finite element method of rigid-elastic-liquid-control coupiing


刚-弹-液-控耦合系统Lagrange方程表示为

$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{\phi }}_i }+\dfrac{\partial U}{\partial \phi _i }=0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{X}}_i^{\rm r} }+\dfrac{\partial U}{\partial X_i^{\rm r} }-F_i^{\rm N}=0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{\theta }}_i }+\dfrac{\partial U}{\partial \theta _i }-M_i^{\rm N}=0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{u}}_i^{(a)} }+\dfrac{\partial U}{\partial u_i^{(a)} }-\iiint_{V^{e(a)}} {f_i^{(a){\rm N}} {\rm d}V}-\iint_{S_\sigma ^{(a)} } {T_i^{(a){\rm N}} {\rm d}S}=0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{u}}_i^{(c)} }+\dfrac{\partial U}{\partial u_i^{(c)} }-\\ \qquad\iiint_{V^{q(c)}} {\lt[f_i^{(c){\rm N}} +\mu \lt(\dot{{u}}_{i,j}^{(c)} +\dot{{u}}_{j,i}^{(c)} )_{,j} ]{\rm d}V} -\\ \qquad\iint_{S_{\rm f}^{(c)} } \lt[T_i^{(c){\rm N}} -\mu \lt(\dot{{u}}_{i,j}^{(c)} +\dot{{u}}_{j,i}^{(c)} )n_j^{(c)} ]{\rm d}S+\\ \qquad\iint_{S_{\rm eq} } {\lt[\mu \lt(\dot{{u}}_{i,j}^{(c)} +\dot{{u}}_{j,i}^{(c)})n_j^{(c)} ]}{\rm d}S=0 \end{array} \right\} $

式中

$ T=\iiint_{V^{\rm e}} \dfrac{1}{2}\rho ^{\rm e}\dot{{X}}_i^{\rm r} \dot{{X}}_i^{\rm r} {\rm d}V+\\ \qquad\iiint_{V^{\rm q}} \dfrac{1}{2}\rho ^{\rm q}\dot{{X}}_i^{\rm r} \dot{{X}}_i^{\rm r} {\rm d}V+\dfrac{1}{2}J_{ij} \dot{{\theta }}_i \dot{{\theta }}_j +\dfrac{1}{2}J_{ij}^{\rm D} \dot{{\phi }}_i \dot{{\phi }}_j +\\ \qquad\iiint_{V^{e(a)}} \sum_{a=1}^n \Bigg[\dfrac{1}{2}\rho ^{\rm e}\dot{{u}}_i^{(a)} \dot{{u}}_i^{(a)} +\rho ^{\rm e} \lt(\dot{{X}}_i^{\rm r} +e_{ijk} \dot{{\theta }}_j x_k^{(a)} )\dot{{u}}_i^{(a)} \Bigg]{\rm d}V +\\ \qquad\iiint_{V^{q(c)}} \sum_{c=1}^m \Bigg[\dfrac{1}{2}\rho ^{\rm q}\dot{{u}}_i^{(c)} \dot{{u}}_i^{(c)} +\rho ^{\rm q} \lt(\dot{{X}}_i^{\rm r} +e_{ijk} \dot{{\theta }}_j x_k^{(c)})\dot{{u}}_i^{(c)}\Bigg]{\rm d}V \\ U=-\lt(K_i^m I^{\rm D}-M_i^{\rm F} )\phi _i -F_i^{\rm c} X_i^{\rm r} -M_i^{\rm c} \theta _i -F_i X_i^{\rm r} -M_i \theta _i -\\ \qquad\iint_{S_{\rm eq}} \lt(T_i^{\rm eq} u_i^{(a)} +T_i^{\rm qe} u_i^{(c)} ){\rm d}S+\\ \qquad\sum_{a=1}^n \Bigg\{\iiint_{V^{{\rm e}(a)}} \Bigg[A\lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(a)} u_{i,k}^{(a)}) -\\ \qquad f_i^{(a)} u_i^{(a)} \Bigg]{\rm d}V-\iint_{S_\sigma ^{(a)} } {T_i^{(a)} u_i^{(a)} {\rm d}S}\Bigg\} +\\ \qquad \sum_{c=1}^m \Bigg\{\iiint_{V^{{\rm q}(c)}} {\lt(-p\delta _{ij} u_{i,j}^{(c)} -f_i^{(c)} u_i^{(c)} ){\rm d}V} -\\ \qquad\iint_{S_{\rm f}^{(c)} } T_i^{(c)} u_i^{(c)} {\rm d}S\Bigg\} $

其先决条件为

$ \left.\begin{array}{l} u_i^{(a)} -u_i^{(b)} =0, \ \ {\rm on}\ S_{ab}\\ u_i^{(c)} -u_i^{(d)} =0, \ \ {\rm on}\ S_{cd}\\ u_i^{(a)} -\bar{{u}}_i^{(a)} =0, \ \ {\rm on}\ S_{\rm u}\\ u_i^{(c)} -\bar{{u}}_i^{(c)} =0, \ \ {\rm on}\ S_{\rm w}\\ u_i^{(a)} -u_i^{(c)} =0\ \ \text{或}\ \ u_i^{(b)} -u_i^{(d)} =0, \ \ {\rm on}\ S_{\rm eq} \end{array} \right\} $

这便是适于有限元计算的非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程, 它提供了有限元计算的位移协调元模型.

4.2 应用非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统Lagrange方程建立位移杂交元模型

应用Lagrange乘子法, 将式(58)代入势能的表达式中, 则有

$ U_{\rm m} =U+\sum_{a=1}^n \Bigg[\iint_{S_{ab} } {\lt(u_i^{(a)} -u_i^{(b)} )\mu _i {\rm d}S} +\\ \qquad\iint_{S_{\rm u} } \lt(u_i^{(a)} -\bar{{u}}_i^{(a)} )\kappa _i {\rm d}S\Bigg] +\\ \qquad\sum_{c=1}^m \Bigg[\iint_{S_{cd} } \lt(u_i^{(c)} -u_i^{(d)} )\lambda _i {\rm d}S +\\ \qquad\iint_{S_{\rm w} } \lt(u_i^{(c)} -\bar{{u}}_i^{(c)} )\eta _i {\rm d}S\Bigg] $

应用Lagrange方程, 则有

$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{\phi }}_i}+\dfrac{\partial U}{\partial \phi _i }=0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{X}}_i^{\rm r}}+\dfrac{\partial U}{\partial X_i^{\rm r} }-F_i^{\rm N} =0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{\theta }}_i}+\dfrac{\partial U}{\partial \theta _i }-M_i^{\rm N} =0 \end{array} \right\} $
$ \left.\begin{array}{l} \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{u}}_i^{(a)} }+\dfrac{\partial U_{\rm m} }{\partial u_i^{(a)} }-\iiint_{V^{e(a)}} {f_i^{(a){\rm N}} {\rm d}V}-\iint_{S_\sigma ^{(a)} } {T_i^{(a){\rm N}}{\rm d}S}=0\\ \dfrac{{\rm d}}{{\rm d}t}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{{u}}_i^{(c)} }+\dfrac{\partial U_{\rm m} }{\partial u_i^{(c)} }-\\ \qquad\iiint_{V^{q(c)}} {\lt[f_i^{(c){\rm N}} +\mu \lt(\dot{{u}}_{i,j}^{(c)} +\dot{{u}}_{j,i}^{(c)} )_{,j}]{\rm d}V}-\\ \qquad \iint_{S_{\rm f}^{(c)} } {\lt[T_i^{(c){\rm N}} -\mu \lt(\dot{{u}}_{i,j}^{(c)} +\dot{{u}}_{j,i}^{(c)} )n_j^{(c)} ]{\rm d}S} +\\ \qquad\iint_{S_{\rm eq} } {\lt[\mu \lt(\dot{{u}}_{i,j}^{(c)} +\dot{{u}}_{j,i}^{(c)} )n_j^{(c)} ]}{\rm d}S=0 \end{array} \right\} $

经过一系列的运算, 解得Lagrange乘子的表达式

$\mu _i^{(a)} =-\lt(\delta _{ij} +u_{i,j}^{(a)} )\cdot\\ \qquad\dfrac{\partial A\lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(a)} u_{i,k}^{(a)} )}{\partial \lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(a)} u_{i,k}^{(a)} )}n_k^{(a)}$
$\mu _i^{(b)} =(\delta _{ij} +u_{i,j}^{(b)} )\cdot\\ \qquad\dfrac{\partial A\lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(b)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(b)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(b)} u_{i,k}^{(b)} )}{\partial \lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(b)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(b)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(b)} u_{i,k}^{(b)} )}n_k^{(b)}$
$ \kappa _i^{(a)} =-(\delta _{ij} +u_{i,j}^{(a)} )\cdot\\ \qquad\dfrac{\partial A\lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(a)} u_{i,k}^{(a)} )}{\partial \lt(\dfrac{1}{2}u_{j,k}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{k,j}^{(a)} +\dfrac{1}{2}u_{i,j}^{(a)} u_{i,k}^{(a)} )}n_k^{(a)}$
$\lambda _i^{(c)} =p\delta _{ij} n_j^{(c)}$
$\lambda _i^{(d)} =-p\delta _{ij} n_j^{(d)}$
$\eta _i^{(c)} =p\delta _{ij} n_j^{(c)}$

将式(61)、式(63)、式(64)和式(66)代入式(59), 经变换, 可得适于有限元计算的位移杂交元模型.

通过如上的推导有限元列式的过程可以发现, 应用Lagrange方程推导的一个特点是不出现对时间的积分. 从事飞行器强度计算的学者明白, 强度计算是相对于特定的"设计情况"进行的, 而所谓设计情况, 是飞行器飞行中的某个部位受力严重的特定的瞬间状态, 并不涉及对时间的积分. 这也说明应用Lagrange方程来解决这类问题的优越性. 应用Lagrange方程建立有限元模型的另一个优越性, 不涉及对时间的积分特性便于将大量静力学有限元素法的计算技术和开发的大量计算程序移植到刚-弹耦合动力学、刚-黏弹耦合动力学、刚-液耦合动力学、刚-热-弹耦合动力学、刚-弹-液耦合动力 学和刚-弹-液-控耦合动力学中.

4.3 非保守非线性刚-弹-控耦合分析动力学问题

在控制方程(47)$\sim$(56)中, 如果忽略式(54)和式(55)的影响, 可以将弹-液耦合解耦, 从而可以独立的研究刚-弹-控和刚-液-控耦合的应用问题.

本节研究非保守非线性刚-弹-控耦合动力学问题, 其控制方程为式(47)$\sim\!$式(51), 但是, 要忽略关于$\rho ^{\rm q}$的惯性耦合项. 在考虑惯性耦合的情况下, 研究梁式太阳能帆板的振动问题, 其特性方程为

$ A\rho \dfrac{\partial ^2w}{\partial t^2}+\dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}\lt(EI\dfrac{\partial ^2w}{\partial x^2})-N\dfrac{\partial ^2w}{\partial x^2}=0 $

式中, $N$为离心惯性力.

与一般的特性方程相比, 多出离心惯性力导致的"$-N\partial ^2w/\partial x^2$"项, 其角频率方程为

$ \omega _{\rm m} =\gamma _{\rm m} \sqrt {\gamma _{\rm m}^2 c^2+\bar{{N}}} =\gamma _{\rm m}^2 \sqrt {\dfrac{EI+N/\gamma _{\rm m}^2 }{\rho A}} $

与一般的角频率方程相比, 多出离心惯性力导致的"$+N/\gamma _{\rm m}^2 $"动力刚化项.

另一方面, 同样在考虑惯性耦合的情况下, 研究自由梁的振动问题(可以将飞行器简化为自由梁或者称为无约束梁), 研究结果表明, 无论是自由梁的奇数阶振型或者偶数阶振型, 梁中的质点都不是绕梁的中性轴做往复振动, 而是绕振动中心轴作往复振动. 梁的中性轴和振动中心轴之间, 既有往复运动的线位移$D$, 又有往复摆动的角位移$C$

$\varphi (x)=Cx+D$

其奇数阶振型和偶数阶振型如图2图3所示.

图2

图2   无约束梁自由振动的三阶振型

Fig. 2   The third mode of free vibration of unconstrained beams


图3

图3   无约束梁自由振动的二阶振型

Fig. 3   The second mode of free vibration of unconstrained beams


这便说明, 如果简化为自由梁的飞行器被激振前为水平等速直线运动, 则自由梁振动的奇数阶振型和偶数阶振型的作用, 可以使自由梁的运动轨迹和运动姿态产生微小的扰动. 进一步引申这一结果的意义, 因为飞行器的刚体运动与控制之间存在接触耦合, 振动对刚体运动(运动轨迹和运动姿态)的影响可以耦合到控制系统中去. 这就为研究飞行器结构振动对控制的影响提供了参考.

4.4 非保守非线性刚-液-控耦合分析动力学问题

本节研究非保守非线性刚-液-控耦合动力学问题, 其控制方程为式(47)$\sim\!$式(49)、式(52)、式(53), 但是, 要忽略关于$\rho ^{\rm e}$的惯性耦合项.

参照刚-弹-控耦合动力学的研究情况, 研究刚-液-控耦合动力学也分两个方面. 一方面刚体动力学产生的惯性力对流体动力学的影响. 另一方面, 研究流体动力学产生的惯性力对刚体动力学的影响, 进而研究其对控制系统的影响. 太空的环境条件是十分严酷的, 特别是轨道空间存在高真空、高辐射和失重状态的影响. 在失重状态下, 表面张力的作用凸显出来, 因此, 应着重研究在失重条件下的表面张力的特性. 这一研究与文献[45]的论述是一致的: 在涉及液体的相关耦合问题方面, 自由液面边界问题比较复杂, 可分为运动学边界条件和动力学边界条件, 需要对于线性和非线性情形(特别是航天背景中表面张力需要考虑表面张力、接触角及接触线动力学问题边界条件)分别展开讨论.

4.5 非保守非线性弹-液耦合分析动力学问题

姿态方程、轨迹方程和控制系统方程一起, 可以组成飞行器的有控飞行力学问题. 如果假设这类有控飞行力学问题已经解决, 则可近似地认为控制方程(47)$\sim$(49)与控制方程(50)$\sim$(56)之间已经解耦. 这时便可以将控制方程(50)$\sim$(56)处理为非惯性坐标系中的弹-液耦合动力学问题. 这也是飞行器强度计算的一般处理方法. 作者专门研究了与控制方程(50)$\sim$(56)构成的非保守非线性弹-液耦合动力学控制方程的应用问题, 将文献[43,44]的研究推广到非惯性系中的流固耦合问题中. 专家评价对这类系统有限元建模、计算及结果分析、讨论具有重要的参考价值.

综合4.3$\sim $4.5节的结果, 可以近似的看出非保守非线性刚-弹-液-控耦合动力学控制方程的应用的效果. 精确的研究非保守非线性刚-弹-液-控耦合动力学控制方程的应用(解析解), 在数学上说是要应用刚-弹-液-控耦合动力学全部控制方程式(47)$\sim$(56), 这是较为困难的, 可以应用较为简单的算例来试探. 对于较为复杂的算例, 建议应用4.1或4.2节的有限元法来试探.

5 结论

(1) 建立了非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Hamilton型拟变分原理和Lagrange方程, 应用系统的Lagrange方程推导出非保守非线性刚-弹-液-控耦合分析动力学的控制方程.

(2) 从Hamilton型拟变分原理的泛函和应用Lagrange方程得到的控制方程都说明: 刚-弹耦合和刚-液耦合是惯性耦合, 弹-液耦合和控-刚耦合是接触耦合.

(3) 从两个方面概要地研究了非保守非线性刚-弹-液-控耦合系统的Lagrange方程的应用.

① 应用Lagrange方程建立了相应的位移协调元和杂交元计算模型, 分析了这类计算模型的优越性;

② 应用系统的控制方程对实际问题进行解析的分析讨论, 说明了应用解析的分析讨论来研究问题与应用数值的、定量的分析方法来研究问题的互补特性.

致谢

在完成本文的过程中, 得到刚-弹-液-控耦合动力学专家岳宝增教授的热情帮助, 作者表示衷心感谢!

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赵淑红, 梁立孚, 周平.

带有平动附件多柔体簇系统动力学拟变分原理及其应用

工程力学, 2011,28(6):29-39

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Kinematics of a flexible multi-body cluster system is described according to a mixed coordinate method. Kinetic energy of the annex and the root body is obtained. Then the quasi-variational principle of flexible multi-body cluster system dynamics with the annex of an extendable translation is established. Applying involutory transformations, the quasi-variational principle of flexible multi-body cluster system dynamics with two kinds of variables is established. Through the deduction of quasi-stationary value conditions of quasi-variational principles, quasi-variational principles have been tested. Finally, according to the quasi-stationary value condition of a Hamiltonian principle on flexible multi-body cluster system dynamics, the vibration differential equation of annex of spacecraft is established.

( Zhao Shuhong, Liang Lifu, Zhou Ping.

Quasi-variational principles of flexible multi-body cluster system dynamics with annex of extendable translation and their applications

Engineering Mechanics, 2011,28(6):29-39 (in Chinese))

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Kinematics of a flexible multi-body cluster system is described according to a mixed coordinate method. Kinetic energy of the annex and the root body is obtained. Then the quasi-variational principle of flexible multi-body cluster system dynamics with the annex of an extendable translation is established. Applying involutory transformations, the quasi-variational principle of flexible multi-body cluster system dynamics with two kinds of variables is established. Through the deduction of quasi-stationary value conditions of quasi-variational principles, quasi-variational principles have been tested. Finally, according to the quasi-stationary value condition of a Hamiltonian principle on flexible multi-body cluster system dynamics, the vibration differential equation of annex of spacecraft is established.

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梁立孚, 郭庆勇.

刚体动力学的拟变分原理及其应用

力学学报, 2010,42(2):300-305

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为了适应航天事业发展的需要,极有必要开展多柔体系统的理论分析.作为应用非保守系统的拟变分原理进行多柔体动力学的理论分析的组成部分,研究了刚体动力学的拟变分原理及其应用:建立了刚体动力学的拟变分原理,推导出刚体动力学的拟变分原理的拟驻值条件; 建立了刚体动力学的广义拟变分原理,说明了应用广义拟变分原理求得问题的解析解和数值解的途径; 最后,借助算例说明了应用变分方法来研究刚体动力学问题的优越性.

( Liang Lifu, Guo Qingyong.

The quasi-variational principles of rigid-body dynamics and their applications

Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2010,42(2):300-305 (in Chinese))

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为了适应航天事业发展的需要,极有必要开展多柔体系统的理论分析.作为应用非保守系统的拟变分原理进行多柔体动力学的理论分析的组成部分,研究了刚体动力学的拟变分原理及其应用:建立了刚体动力学的拟变分原理,推导出刚体动力学的拟变分原理的拟驻值条件; 建立了刚体动力学的广义拟变分原理,说明了应用广义拟变分原理求得问题的解析解和数值解的途径; 最后,借助算例说明了应用变分方法来研究刚体动力学问题的优越性.

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确定无约束梁耦合振型的一种途径

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连续介质分析动力学及其应用

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Analytical dynamics of continuous medium and its application

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邢景棠, 周盛, 崔尔杰.

流固耦合力学概述

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This paper reviews the fluid solid interaction mechanics and its principal characteristics research topics, some advances and the tendency of further developments.

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A survey on the fluid-solid interaction mechnics

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This paper reviews the fluid solid interaction mechanics and its principal characteristics research topics, some advances and the tendency of further developments.

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