基于能量密度等效的超弹性压入模型与双压试验方法 1)
HYPERELASTIC INDENTATION MODELS AND THE DUAL-INDENTATION METHOD BASED ON ENERGY DENSITY EQUIVALENCE 1)
通讯作者: 2)蔡力勋, 教授, 主要研究方向: 材料力学的测试理论与方法, 疲劳与断裂力学. E-mail:lix_cai@263.net
收稿日期: 2020-01-15 接受日期: 2020-03-6 网络出版日期: 2020-05-18
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Received: 2020-01-15 Accepted: 2020-03-6 Online: 2020-05-18
作者简介 About authors
针对超弹性材料压入问题, 本文基于能量密度中值等效原理, 提出了描述球、平面、锥3类压头独立压入下载荷、深度、压头几何尺寸和Mooney-Rivlin本构关系参数之间关系的半解析超弹性压入模型(semi-theoretical hyperelastic-material indentation model, SHIM), 进而提出了球、平面、锥压入组合的双压试验方法(indentation method due to dual indenters, IMDI). 正向验证表明, 基于系列超弹性材料的本构关系参数, 由SHIM分别预测的球、平面、锥3类压入下的载荷-位移曲线与有限元分析(finite element analysis, FEA)结果之间密切吻合; 反向验证表明, 基于系列超弹性材料的FEA条件本构关系下3类压入的载荷-位移曲线, 由双压试验方法预测的Mooney-Rivlin本构关系与FEA条件本构关系密切吻合. 针对3种超弹性橡胶, 完成了球、平面、锥压入试验, 应用双压试验方法获得的3组Mooney-Rivlin本构关系均与单轴拉伸试验结果吻合良好.
关键词:
For the hyperelastic problems of materials under indentation conditions, based on the mean-value energy density equivalence principle, semi-theoretical hyperelastic-material indentation models(SHIM) are proposed to describe the relationship among load, depth, indenter dimension and Mooney-Rivlin constitutive parameters under independent indentation with spherical indenter, flat indenter and conical indenter, respectively, and then the indentation method due to dual indenters(IMDI) is presented. The forward verification shows that, based on a series constitutive relation parameters of hyperelastic materials, the force-depth curves of spherical, conical and flat indentation respectively predicted by SHIM are closely consistent with the FEA results; and the reverse verification shows that, based on the force-depth curves under FEA conditional constitutive relation of a series of hyperelastic materials, the Mooney-Rivlin constitutive relations predicted by the dual indentation experimental method are closely consistent with the FEA conditional constitutive relations. For three hyperelastic rubbers, the spherical, flat and conical indentation tests were carried out, three constitutive relationships of the hyperelastic rubbers obtained by IMDI are all in good agreement with the uniaxial tensile results.
Keywords:
本文引用格式
张希润, 蔡力勋, 陈辉.
Zhang Xirun, Cai Lixun, Chen Hui.
引言
1940年代初, Treloar[4-5]通过构造三链分子网络模型, 提出了表征应变能密度的Neo-Hookean模型, 该模型对橡胶拉伸应力-伸长比曲线的初始线性段有较为准确的描述, 而因采用单参数, 模型对曲线后继非线性段描述性较差. 1940年, Mooney[6]考虑代表性体积单元(representative volume element, RVE). RVE是连续介质力学的基本六面体单元, 只要取合适的尺寸, 就能用以求解受载构元的宏观力学行为)应变能密度与3个主伸长比$\lambda_{i}$ $(i=1,2,3)$之间的对称关系, 提出了双参数超弹性材料本构关系. 1948年, Rivlin[7]利用材料RVE变形张量不变量, 根据材料体积不可压缩性, 令第三不变量$I_{3}=\lambda_{1}^{2}\lambda_{2}^{2}\lambda_{3}^{2}=1$, 则Mooney本构方程可简化为连续介质力学框架下关于第一不变量$I_{1}$和第二不变量$I_{2}$的双参数方程形式
式中, $C_{10}$和$C_{01}$为材料参数, $\varepsilon_{i}$为主应变, 该式称为Mooney-Rivlin超弹性材料本构模型, 该模型可较好描述小变形和中等程度大变形的超弹性本构关系, 是迄今描述各向同性超弹性材料本构关系较为常用的模型. 此外, Rivlin为了拓展描述全程本构关系, 还进一步提出了多参数的级数式本构模型.
材料压入试验法(压入法)是通过载荷或位移控制将压头压入材料并测得压入载荷$P$-压入深度$h$关系来获取材料力学性能指标的方法[8]. 压入法测试金属材料力学性能的方法主要包括: (1) Haggag[9-10]提出、Kwon[11]改进的多级加卸载自动球形压头压入(球压入)方法, 该方法对球压区平均应力进行表征修正获得压入试验过程中的多级表征应力$\sigma_{r}$和表征应变$\varepsilon_{r}$, 通过这些数据可以回归获得Hollomon律参数; (2) Cao等[12]提出的基于量纲分析和表征应力的半经验法, 该方法通过量纲分析建立$\sigma_{r}$, $h$, $P$构成的无量纲项和比值$\sigma_{r}/E^{*}$ (折减弹性模量)之间关系的描述模型, 该模型含有大量模型参数, 须通过复杂流程方式迭代得到Hollomon律参数; (3) Clyen等[13]提出的本构关系参数反向预测法, 该方法基于大量材料本构关系参数关联的$P$-$h$压入曲线的FEA库与$P$-$h$压入试验曲线的相关性优化搜索以实现材料应力-应变关系的近似求解; (4) Cai等[14-16]提出的半解析球压入方法, 该方法根据能量密度中值原理获得的半解析压入模型和单球压入试验方法, 通过金属宏观表面的$P$-$h$单级压入曲线实现了材料应力-应变关系、抗拉强度及布氏、洛氏、维氏硬度的仪器化测试.
对于超弹性材料, 压入法测试材料力学性能的方法大多基于量纲分析法与搜索法. Zhang等[17]采用与上述金属压入相似的量纲分析方法[12], 对4种广泛使用的超弹性材料本构模型, 建立$\mu_{0}$(初始剪切模量)、$R$(压头半径)、$h$和$P$构成的无量纲项与本构模型参数、$h$和$R$构成的无量纲项之间的4类关系模型, 包含大量参数的这4类模型均属于半经验性质, 文献认为可通过试验获得与4类模型参数相关的回归参量, 并未通过球压入实现本构关系的反向求解. Pan等[18]主要结合多级应变能密度函数的Ogden超弹性本构模型, 通过对球、平面、锥3类压头压入(球压入、平面压入、锥压入)问题进行量纲分析, 证明了单类单压头无法独立实现多参数超弹性本构模型的参数求解, 同时证明了单类单压头可实现单参数超弹性本构模型求解的唯一性, 但作者未给出超弹性压入问题的具体求解方法. Giannakopoulos等[19]基于Mooney-Rivlin模型获得了球压入比值$h$/$R$小于0.1情况下$P$-$h$压入曲线的解析解, 并未由此获得本构关系, Giannakopoulos认为通过单球压入不能唯一性获得本构模型参数. Chen等[20]对一种硅橡胶进行球压入试验, 利用Oliver和Pharr法[21]获得材料的弹性模量, 并对Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Yeoh三类超弹性本构模型, 通过调整模型参数进行$P$-$h$压入曲线的有限元分析, 以此逐渐逼近$P$-$h$压入试验曲线, 进而反向求解获得本构模型参数. Saux等[22]采用半锥角70.3$^\circ$的圆锥形压头对天然橡胶完成锥压入试验, 并设定材料参数初值后进行了有限元计算, 将有限元计算结果与$P$-$h$压入曲线之间的误差作为目标进行基于最小二乘法的迭代计算, 取两者误差最小时所设定的材料参数为本构模型的参数. Lee等[23]以Yeoh模型作为橡胶的本构模型, 将$P$-$h$球压入试验曲线映射为应变能密度与$I_{1}$关系曲线, 以该曲线确定模型参数, 并与给定初值进行比较, 误差最小时即为模型参数. Song等[24]对不同参数的Yeoh模型进行球压入有限元模拟, 建立了压入载荷-位移曲线数据库, 并采用与Yeoh模型参数相关的三次多项式对载荷-位移曲线回归分析得到本构模型参数.
1 半解析超弹性压入模型SHIM
1.1 Mooney-Rivlin模型的应力应变形式
在复杂应力应变条件下, 超弹性材料的应力应变关系由第二Piola-Kirchhoff应力$\sigma_{ij}$和Green应变$\varepsilon_{ij}$来表示为
式中, $P$为静水压力. 由于主伸长比$\lambda_{i}$与主应变$\varepsilon_{i}$指数关联, 故式(3)表征了RVE的应力-应变关系.
单轴应力应变条件下, $\tau_{2}=\tau_{3}=0$, $\lambda_{2}^{2}=\lambda_{3}^{2}=\lambda_{1}^{-1}$进而通过求应力差$\tau_{1}-\tau_{2}$消除静水压力可得
对于Mooney-Rivlin超弹性材料本构模型, 式(4)可写为
由真应力$\tau$与工程应力$\sigma_{g}$关系: $\tau=\lambda \sigma _{g}$, 令$\lambda_{1}=\lambda$, $\tau_{1}=\tau$, 则由式(5)可得
式中, $\lambda={e}^{\varepsilon}$通过单轴拉伸试验获取被测材料的$\sigma_{g}$--$\lambda$曲线, 将$\sigma_{g}/[2(\lambda-\lambda^2)]$作为纵坐标, $\lambda^{-1}$作为横坐标做出两者关系曲线并进行线性回归, 则截距和斜率分别为Mooney-Rivlin模型的两个参数: $C_{10}$和$C_{01}$.
1.2 基于能量密度等效方法的半解析压入模型
由积分中值定理, 受载固体的有效变形域$\varOmega $内必存在一点$M$, 在$M$处RVE的应变能密度$u_{M}$与$\varOmega $域的平均应变能密度相等, 即
式中, $U$为变形域的总应变能, $V_{eff}$为有效变形域体积, 则按Mooney-Rivlin模型, $M$点处RVE的应变能密度表为
由式(7)和式(8)可得
以特征体积$D^{3}$使上式有效体积无量纲化, 则上式可化为
式中, 特征长度$D$在球压入时取为压头直径, 平面压入时取为圆柱压头直径, 锥压入时$D$取为特征压入深度$h_{c}$. 假设无量纲变形量$f_{1}$, $f_{2}$与无量纲位移$h$/$D$之间满足幂律关系, 即
且假设变形系数$k_{1}$, $k_{2}$及变形指数$k_{0}$均为与压入的压头类型相关但与材料无关的常数. 将$f_{1}$, $f_{2}$的表达式代入式(10)可得
对于压入问题, 由能量守恒可得
式中$W$为外力功. 结合式(12)和式(13), 以$h$对$U$求导, 并无量纲化, 可得$P$与$h$的关系
式中加载指数$k_{0}$为与加载方式相关、与材料无关的常数, 加载系数$C$为与材料和加载方式相关的常数. 该式称为半解析超弹性压入模型SHIM (semi-theoretical hyperelastic-material indentation model).
基于式(14), 由单压头的$P$-$h$压入曲线可回归得到加载系数$C$, Mooney-Rivlin模型的双参数$C_{10}$和$C_{01}$仅由独立的$C$值无法求解. 须根据两种不同类型压头的$P$-$h$压入曲线通过以下两式
实现Mooney-Rivlin模型的双参数$C_{10}$和$C_{01}$求解. 式(15)中$C$与$C\prime $分别对应两种压头的$P$-$h$压入曲线的加载系数.
1.3 $k_{0}$, $k_{1}$, $k_{2}$的有限元确定方法
幂律方程式(11)的系数$k_{1}$, $k_{2}$和指数$k_{0}$均为与压头类型相关的常数, 可通过FEA确定. 由于式(14)为无量纲方程, 故针对球压头、圆柱平面压头可选择特定压头尺寸以及针对锥压头选择特定角度进行压入变形分析. 选定球压头、圆柱平面压头直径均为2 mm, 以及特征压入深度$h_{c}$为0.8 mm时半锥角分别为53$^\circ$, 60$^\circ$, 65$^\circ$, 70.3$^\circ$, 75$^\circ$锥压头进行有限元分析确定$k_{0}$, $k_{1}$, $k_{2}$.
假设受压试样的材料本构关系符合 Mooney-Rivlin模型律, 应用有限元分析软件Ansys14.5对如图2所示的球、平面、锥压入的轴对称网格模型完成有限元计算. Mooney-Rivlin模型参数$C_{10}$和$C_{01}$取值分别满足$C_{10}\in $ (0.01, 2) MPa和$C_{01}\in $ (0.1, 2) MPa, 网格模型采用Plane 182平面单元, 试样的受压接触面使用 Contact 172 接触单元, 并在接触区域采用高密度网格, 而在离接触区域稍远处用较低密度网格.
图1
图2
图2
变形系数$k_{1}$, $k_{2}$随cos$\theta $的变化曲线
Fig.2
Variations of deformation coefficient $k_{1}$, $k_{2}$ with cos$\theta$
对符合$C_{10}\in $ (0.01, 2) MPa的$C_{10}$分别取0.01, 0.1, 0.5, 1, 1.5, 2 MPa及符合$C_{01}\in $ (0.1, 2) MPa的$C_{01}$分别取0.1, 0.5, 1, 1.5, 2 MPa, 共计30种材料进行FEA计算得到3类压入下的$P$-$h$压入曲线, 通过式(14)分别确定$C$, 得到球、平面、锥3类压入下的3组方程, 进而通过简单回归可得到球、平面压入下SHIM参数$k_{0}$, $k_{1}$和$k_{2}$如表1所示, 特征压入深度$h_{c}$为0.8 mm时不同角度锥压入下SHIM参数$k_{0}$, $k_{1}$和$k_{2}$如表2所示.
由表1可见, $k_{0}$是规则的常数, 特别在平面压入下$k_{0}=2$, 即$P$-$h$压入曲线呈线性; 对于球压入及平面压入, SHIM参数与直径无关.
式中, 系数$\beta_{11}$, $\beta_{21}$和指数$\beta_{12}$, $\beta_{ 22}$由表3给出.
2 有限元验证
2.1 向验证: 压入载荷-深度关系比对
对1.3节计算中采用的30种材料本构关系参数, 可通过SHIM预测得到材料分别在3类压头压入下的$P$-$h$压入曲线, 图3示出了SHIM预测的$P$/$P$*-$h$/$D$压入曲线与FEA分析曲线, 可见30种材料条件下两者之间密切吻合, SHIM有很好的$P$-$h$压入曲线预测精度, 并有很强的材料普适性.
图3
图3
预测$P$-$h$压入曲线与 FEA 结果比较
Fig.3
Comparisons of predicted $P$-$h$ indentation curves and those from FEA
2.2 反向验证: 应力-伸长比关系比对
对1.3节的30种材料FEA分析得到的球、平面、锥压入下$P$-$h$压入曲线, 通过3类压头两两组合压入的方式, 由式(15)分别得到3组加载系数: $C$, $C'$, 进而可分别求得3组Mooney-Rivlin模型参数: $C_{10}$, $C_{01}$, 再根据式(6)分别得到3组本构关系曲线(应力-伸长比曲线). 图4示出了预测的3组本构关系曲线与FEA条件曲线, 可见30种材料条件下各类预测曲线之间、与FEA条件曲线之间均密切吻合, SHIM有很好的单轴本构关系预测精度.
图4
图4
预测应力-伸长比关系与 FEA 结果比较
Fig.4
Comparisons of predicted stress-stretch ratio curves and the FEA results
3 试验方法与验证
3.1 拉伸与压入条件
对天然橡胶(NR)、氯丁橡胶(CR)、丁基橡胶(IIR)进行单轴拉伸试验并进行球、平面、锥压入试验.
图5
图6
3.2 双压试验方法与试验比对
由式(14), 对球、平面、锥单压头压入下的$P$-$h$试验曲线进行回归可得加载系数$C_{S}$、$C_{C}$、$C_{F}$, 进而可得它们关于Mooney-Rivlin模型双参数$C_{10}$和$C_{01}$的表达式
对式(17)中3个方程任意两两组合, 即可求解$C_{10}$和$C_{01}$; 此外, 不同半锥角条件下也可形成两组独立的加载系数求解方程. 由球、平面、锥单压头压入两两组合及不同半锥角下的锥-锥压头压入下获取Mooney-Rivlin模型参数的试验方法统称为双压试验方法(indentation method due to dual indenters, IMDI). 此外, 不同直径的双球压头压入或双圆柱平面压头压入因$k_{1}$, $k_{2}$不随压头直径变化的自相似性, 而不能采用同类压头压入配对方式获得材料本构关系.
图7给出了3种材料的单轴拉伸载荷$P$-位移$l$试验曲线, 由单轴拉伸条件下伸长比$\lambda$和应力$\sigma$的定义
可求出拉伸过程中$\lambda $和$\sigma $的试验数据. 式(18)中$l_{0}$为试样原长, $l$为拉伸试样等直段位移. 图8给出了应力-伸长比曲线.
图7
图8
图9
图10给出了使用双压试验方法IMDI对球、平面、锥压入两两结合预测的材料本构关系及单轴拉伸试验结果, 可见IMDI预测超弹性材料本构关系之间及与单轴拉伸试验结果之间均吻合良好.
图10
图10
预测应力-伸长比关系曲线与单轴拉伸结果对比
Fig.10
Comparison between predicted stress-stretch ratio curve with the uniaxial tensile results
4 结论
(1)基于能量密度等效原理, 提出了球、平面、锥3类压头独立压入条件下, 描述载荷、深度、Mooney-Rivlin关系参数、几何尺寸之间关系的压入模型SHIM, SHIM正向预测的$P$/$P^*-h$/$D$压入曲线与FEA分析曲线之间密切吻合; 球、平面、锥压头两两组合压入下SHIM反向预测的3组本构关系曲线之间及与FEA条件本构关系曲线之间均密切吻合.
(2)提出了由球、平面、锥单压头两两组合压入下及具有不同半锥角的双锥压头压入下获取Mooney-Rivlin模型参数的双压试验方法.
(3)对3种橡胶材料分别进行单轴拉伸试验及球、平面、锥压入试验, 结果表明, 通过双压试验方法预测得到的本构关系曲线均与单轴拉伸试验结果具有良好的一致性.