给定前缘线平面形状的密切锥乘波体设计方法 1)
OSCULATING-CONE WAVERIDER DESIGN BY CUSTOMIZING THE PLANFORM SHAPE OF LEADING EDGE 1)
通讯作者: 2)白鹏, 研究员, 主要研究方向: 气动外形设计. E-mail:baipengaero@163.com
收稿日期: 2018-11-8 接受日期: 2018-12-28 网络出版日期: 2019-07-18
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Received: 2018-11-8 Accepted: 2018-12-28 Online: 2019-07-18
作者简介 About authors
乘波体因其高超声速阶段的高升阻比性能成为目前研究的热点,但其本身的诸多性能缺陷限制了其在工程中的实际应用. 密切锥乘波体设计 是目前应用较广的乘波体外形设计方法,具有较高的灵活性和生成效率. 本文以弥补乘波体性能缺陷,提高乘波体设计灵活性为目的, 拓展了密切锥乘波体设计方法,推导设计方法中激波出口型线、流线追踪起始线与平面形状轮廓线之间的几何关系,并使用一个微分方程 组给出了具体的数学表达,奠定了定平面形状乘波体设计的理论基础. 通过介绍此微分方程组的数值求解过程,并分析应用此关系的注意 事项,本文提出了给定前缘线平面形状的密切锥乘波体设计方法. 根据此设计几何关系,以渐变前缘、弯曲前缘和双后掠等为例生成定平 面形状乘波体外形,结合计算流体力学方法分析这几类外形的流场,通过流场分布与设计曲线的比较,说明通过此方法设计得到的乘波体 外形保持了高超声速状态的乘波特性,并可以方便的控制平面形状,为提高乘波体的设计灵活性、改善性能缺陷提供了新的途径.
关键词:
The waverider has been the current research focus because of high lift to drag ratio in hypersonic state, while some deficiencies of waverider limit its practical application in engineering. Osculating-cone method is one of the most widely applicable waverider design methods for engineering, yielding much flexibility and efficiency. In order to remedy some of the deficiencies and improve the flexibility for waverider, the article extends the application of the osculating-cone waverider design method, conducting the geometric relationships among the inlet capture curve, flow capture tube and planform contour line, expressed by a differential equation set. The equation set lays a solid foundation for the planform-controllable waverider design. By introducing the numerical solving strategy for the differential equation set, combining with some solving tips, the osculating-cone waverider design by customizing the planform shape of leading edge is proposed. Three validation cases are generated in the article including the gradually varied leading edge, "S" leading edge and double swept planforms from the osculating-cone waverider by customizing the planfrom shape of the leading edge. Using computational fluid dynamics method, the flow fields of these three configurations are calculated and analyzed. Results suggested that the hypersonic wave-riding performance maintenances for the waverider since the shock wave obtained from CFD matches well with the design curve and high lift to drag ratio is remained as traditional waverider. The method and the CFD results indicate that it permit us to customize the planform of waverider conveniently and efficiently. The geometric relationships expressed by a differential equation set provide a novel idea to improve the flexibility and remedy some of the deficiencies of waverider.
Keywords:
本文引用格式
刘传振, 白鹏, 王骥飞, 刘强.
Liu Chuanzhen, Bai Peng, Wang Jifei, Liu Qiang.
引言
传统的乘波体,比如楔形流[11]/锥形流[12]乘波体、三维流场乘波体[13-14]以及密切锥方 法[15-16]等设计方法,都是从已有的激波形状或流场出发,通过追踪流线生成乘波面. 乘波体的外形根据设计方法中的设计曲线结合流场获得,难以自由指定. 然而飞行器的外形,尤其是平面形状,对飞行器的气动性能有较大的影响,例如减小后掠角可提高低速性 能[17]、增加边条翼[18]提高飞行器大迎角的高升力、增大后体面积改善纵向稳定性等. 因此,通过对平面形状的定制设计乘波体外形是乘波体设计的重要研究方向,从20世纪70年代开始,Starkey等[19] 根据楔形/锥导乘波体开展了初步工作,但提出的乘波体外形性能和容积有限,未能持续发展下去. 2005年开始,美国洛马公司的Rodi[20-21]从密切锥方法出发,提出了定后掠角乘波体的概念,为定平面乘波体的设计提供了新的思路.
本文从密切锥方法出发,推导了密切锥方法的全域性关系,给出了数值求解过程,建立了定平面乘波体设计的理论基础,并给出算例验证设计方法,为扩大乘波体的设计灵活性,改善其性能缺陷提供了理论依据.
1 密切锥乘波体中的设计几何关系
1.1 几何关系推导
图1
图1
图1
密切锥乘波体设计示意图(续)
Fig. 1
Design views of the osculating-cone method (continued)
密切锥乘波体可以看作是一系列密切平面内子乘波体外形的组合,在这里取任意一个密切平面为例推导几何关系式. 如图2所示, 后视图中,$G$为ICC曲线上的任意一点,切线倾角为 $\delta _{1}$,过$G$点作ICC的当地垂线,交FCT曲线于$F$点,切角为$\delta_{2}$. 俯视图中PLF曲线为平面形状轮廓线,即乘波体前缘轮廓线在俯视平面的投影. $F'$点为$F$点在PLF上的对应点,横坐标位置相同. $F'$点的切角为前缘后掠角$\lambda $. 坐标系选择为标准坐标系,以$y$坐标为自变量,ICC, FCT和PLF可由3个方程$c(y)$, $f(y)$和$p(y)$表示.
图2
图2
密切锥乘波体设计几何图
Fig. 2
View for the geometric relationships of the osculating-cone waverider
根据密切面的定义,存在关系式
其中,$y_{F}$, $y_{G}$为$F$和$G$点的$y$坐标,上标 (1) 代表一阶导数.
此子乘波体的长度和宽度分别为$L_{local} $和$W_{local} $,根据前缘后掠角的定义,有
$$ \tan \lambda = L_{local} / W_{local} $$
每个密切面中,流动根据其当地的曲率半径选择相应尺度的拟二维锥形流动[22],如果曲率半径无穷大,则使用二维楔形流动. 设定每个密切平面中的流动激波角$\beta $都相同,且锥形流或楔形流动中激波都是直线,因此
$$ \overline {FG} = L_{local} \tan \beta $$
$\delta _{1} $和$\delta _{2} $的正负与ICC和FCT的当地切率一致,因此$\angle FHG= \delta _{1}-\delta_{2}$. 直角三角形$FHG$中存在几何关系
$$ \overline {FH} = \dfrac{\overline {FG} }{\sin (\delta _1-\delta _2 )} = \dfrac{W_{local} }{\cos \delta _2 } $$
整理以上3个关系式,得到
根据$f(y)$, $c(y)$和$p(y)$的定义,存在另外3个关系式
方程组(1)~(5)即为密切锥方法的几何关系,其边界条件为三条曲线的交汇点$K$,即$f(y) = c(y) = p(y)\left| {_{y = y_K } } \right.$,$y_{K}$为半展长. 可统一整理为
此关系虽然是在单一密切面内推导得到,但在乘波体全部展长范围内均成立.
1.2 几何关系求解
微分方程组(6)建立了密切锥乘波体的设计参数ICC和FCT与外形平面形状PLF之间的几何关系. 观察此方程组,$y_F$, $y_G $, $\delta _{1} $, $\delta _{2} $, $\lambda $为5个未知数,$\beta $为已知的流场激波角,根据微分方程理论只要已知函数$f$, $c$, $p$中的2个,第3个就可以求出. 存在如下3种情况:(1) 已知$f$和$c$,求$p$. 此种情况即为传统的密切锥乘波体设计方法,根据此方程即可预估平面形状轮廓线$p$;(2) 已知$f$和$p$,求$c$. 当乘波体上表面通过自由流面生成时,$f$曲线为出口处上表面型线,也是乘波体轮廓线在$y-\!-z$平面的投影,而$p$为乘波体轮廓线在$x-\!-y$平面的投影,因此这种为通过外形的前缘轮廓线生成乘波体外形;(3) 已知$p$和$c$,求$f$. 在密切锥方法中,$c$决定了乘波体生成的基准流场,此种情况可看作是已知乘波体的平面形状和基准流场设计外形.
方程(6)是一个狄利克雷问题,解析求解比较困难,可以采取数值方法推进求解,下面以已知$f(y)$和$p(y)$求$c(y)$为例说明求解过程:
(1) 从边界$y_K $出发向$y_F = 0$(即对称面)推进,在边界处$y_G = y_F = y_K $,$c(y_G ) = f(y_F )\vert _{y_F = y_K } $.
(2) 已知$c(y)$上的前一个推进点$(y_{G0} ,c(y_{G0} ))$,取推进步长$ \Delta y$,得到$y_F = y_F- \Delta y$,求此时对应的 $(y_G ,c(y_G ))$. 根据式(6d) 求得$\delta _2 $, 式(6e)求$\lambda $, 式(6b)求得$\delta _1 $, 式(6c)求$c^{(1)}(y_G )$. 根据微分法则,离散$\tan \delta _1 = c^{(1)}(y_G )$可以得到$\dfrac{c(y_G )-c(y_{G0} )}{y_G-y_{G0} } = c^{(1)}(y_G ) $,联立 式(6a)即可求得$(y_G ,c(y_G ))$.
(3) 重复步骤(2)不断向内推进,一直到$y_F = 0$为止. 这样$c(y) | y=[0, y_{K} ]$就可以离散点的形式给出,步长选择$ \Delta y = \dfrac{y_K }{1000}$左右为宜.
方程组(6)和数值求解方法给出了定制平面形状设计乘波体外形的途径,在实际应用中需要注意几个技术问题的实现:
(2) 在给定PLF设计时,一般要求PLF曲线二次可导. 如果存在二次不可导的区域,需要在这些地方设置奇点,采用曲率渐变处理,否则数值求解时可能推进求解不下去.
(3) 几何关系(6)没有考虑乘波体的厚度分布,外形下表面的厚度分布与激波角 $\beta $直接相关. 每个密切面内激波角相等,可以通过设定激波角大小生成所需厚度的外形.
(4) PLF曲线在对称轴处需要设定切率为0,保证乘波体外形在对称面处的光滑连接.
(5) 当设计尖头乘波体时,给定PLF和FCT求解ICC,ICC曲线推进不到对称面处. 这是因为当PLF在前缘为尖点时,流线会汇集到 前缘点. 此时,可以在ICC的对称面处增加一段圆弧,圆心为FCT在对称面上的交点,半径为$L_{total}\tan \beta $.
2 应用算例
2.1 渐变后掠外形:给定$f$和$p$,求$c$
第一个算例由给定的PLF和FCT曲线,生成密切锥乘波体. 简单起见,给定FCT为水平直线,即$f(y) =0$;平面形状轮廓线PLF设定为一条从头部到尾部当地后掠角线性减小的曲线,即
$$ p^{(1)}(y) = \tan [ y (\lambda _{n}-\lambda _0 )/s + \lambda _0 ] \\ y \in [0,s] , \ \ \lambda _0 > \lambda _{n} $$
其中, $\lambda_{0}$为PLF在头部的当地后掠角,$\lambda_{n}$为PLF在尾部的后掠角,$s$代表外形宽度. 积分$p^{(1)}(y)$,得到$p(y)$表达式如下
$$ p(y) =-\dfrac{1}{a}\ln (\cos (ay + b)) + c , \ \ y \in [0,s] $$
其中$a = \dfrac{\lambda _{n}-\lambda _0 }{s}$, $b = \lambda _0$, $c = \dfrac{1}{a}\ln (\cos b )$.
设计状态$H =30$ km,$Ma=6$,设定$\lambda_{0}=70^\circ$,$\lambda_{ n}=20^\circ$,宽度$s=6.0$,将$f(y)$和$p(y)$代入 微分方程组(6)数值求解ICC的表达函数$c(y)$. 因为PLF头部尖锐,数值求ICC时无法推进到对称面处,因此增加一段圆弧,如图3(b)中所示的ICC Seg1,与数值计算得到的ICC Seg2一起构成ICC. 结合密切锥方法利用$c(y)$和$f(y)$生成乘波体,此乘波体外形的平面形状轮廓线PLF就是当地后掠角由头部70$^\circ$线性减 小到20$^\circ$的曲线$p(y)$.
图3
2.2 弯曲前缘外形:给定$c$和$p$,求$f$
第2个算例以给定的PLF和ICC设计乘波体外形,在这个算例中,PLF和ICC均由三次曲线表示. PLF的表达式$p(y)$可由首末两点的位置和斜率决定,即
其中,$\lambda_{0}$和$\lambda_{n}$分别是头部和尾部的当地前缘后掠角,$s$为宽度,$l$为长度.
ICC的表达式$c(y)$也由首末两点的位置和斜率决定,即
其中,$z_{0}$,$z_{n}$为$c(y)$在首末两点的$z$坐标, $\theta_{0}$和$\theta_{ n}$为$c(y)$在首末两点的当地切率.
具体取$s =6.0$,$l =5.0$,PLF头部取圆钝, $\lambda_{0}=0^\circ$, $\lambda _{n}=20^\circ$; $z_{0}=-1$, $z_{n}=0$, $\theta_{0}=0^\circ$, $\theta _{ n}=2^\circ$;已知$p(y)$和$c(y)$的表达后,结合微分方程组(6)数值求解FCT的表达函数$f(y)$,然后结合密切锥方法使用$c(y)$和$f(y)$生成乘波体外形. 此外形的平面形状轮廓线就是表达式(8)决定的三次多项式,如图4(a),类似 S形前缘.
图4
图4
2.3 双后掠外形
笔者在前期工作中借助非均匀有理B样条设计过双后掠乘波体外形[30],采用数值求解方程组(6)的方式,可以更为方便的设计生成双后掠乘波体.
在这个算例中,PLF曲线是由离散点组成的尖头双后掠前缘线,内外段后掠角分别为75$^\circ$和50$^\circ$,FCT为水平直线,设计状态$Ma=8$,$H=30$ km,锥形流激波角12$^\circ$,求解方程组(6)得到ICC,进而生成乘波体外形.
图5(a)给出了乘波体外形和不同横截面的压力分布. 乘波体前缘曲线就是事先指定的PLF曲线,激波附着于下表面前缘,阻止了气流泄露. 此外形的升阻比为5.6,保持了高超声速状态的高升阻比特性. 图5(b)中"solved ICC"表示数值求解方程组(6)得到的ICC曲线,可以看到所生成的乘波体流场激波与设计激波吻合较好,但在某些曲率变化较大 的地方 仍有出入,原因可能是由于曲率变化较大的区域横向流动较强,而密切锥方法忽略横向流动,其具体原因还需要进一步研究. 此外形的设计初衷是为了使用涡效应[31]改善低速性能,在海平面$Ma=0.4$工况计算气动性能,低速升阻比为4.3,高于单后 掠乘波体外形(后掠角65$^\circ$)的3.1.
图5
双后掠布局增大了飞行器的后部的面积,可以提高纵向稳定性. 高超声速状态下,气动焦点的位置在距前缘驻点70.7%的飞行器全长处,位置相对靠后,这对提高飞行器的纵向稳定性是有利的,使我们设定飞行器的质心更加容易.
3 结论
本文推导密切锥乘波体中的几何设计关系,并使用一个微分方程组表示,建立了给定前缘线平面形状的密切锥乘波体设计方法. 以前缘渐变、曲前缘和双后掠外形为例,分析流场,验证设计方法的有效性,结果说明该设计方法生成的乘波体保持了下表面压力不外泄的乘波特性,又可以根据工程需求选取所需的平面型线,提高了乘波体的设计灵活性. 研究还有部分工作需要进一步分析,包括:
(1) 本方法得到的微分方程组可以数值求解得到,未来将探索能否通过参数化方法表达设计曲线,进而得到解析解.
(2) 未来工作中将评估曲率分布对乘波体性能的影响,指导ICC求解中的曲率设定和密切面内流场的选择.
(3) 目前所给算例主要针对巡航类高超声速飞行器. 飞行器在不同状态下的布局原理不同,高超声速以下表面压力不泄露为原理,低速主要应用上表面涡升力,如何兼顾需要深入分析.
(4) 此类乘波体在高空($ \geqslant 50$ km)高速滑翔飞行器中的应用需要进一步研究,目前生成的某些外形横向导数不连续,可能使摩擦阻力增大,需要额外注意.