力学学报  2018 , 50 (4): 929-948 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-047

Orginal Article

复杂加载条件下的砂土本构模型

万征*, 孟达

中国建筑科学研究院地基基础研究所,北京 100013

A CONSTITUTIVE MODEL FOR SAND UNDER COMPLEX LOADING CONDITIONS

Wan Zheng*, Meng Da

(Foundation Engineering Research Institute,China Academy of Building Research, Beijing 100013,China )

中图分类号:  TU43

通讯作者:  *万征,副研究员,主要研究方向:地下结构与土相互作用,混凝土及土的本构关系. E-mail:zhengw111@126.com*万征,副研究员,主要研究方向:地下结构与土相互作用,混凝土及土的本构关系. E-mail:zhengw111@126.com

收稿日期: 2018-03-1

接受日期:  2018-03-1

网络出版日期:  2018-07-18

版权声明:  2018 力学学报期刊社 力学学报期刊社 所有

基金资助:  国家自然科学基金资助项目(11402260).

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摘要

试验表明,饱和砂土的应力应变关系具有显著的密度以及压力依存性,上述两点构成了描述砂土静力加载下变形特性无法忽视的因素. 此外,在循环加载等复杂加载作用下,砂土还会表现出明显的应力诱导各向异性以及相变转换特性. 基于在e--p空间中存在唯一的临界状态线这一基本假定,通过在e--p空间中引入当前状态点与临界状态线的距离R来作为反映密度与压力依存特性的状态参量, 将变相应力比以及峰值应力比表达为状态参量的指数函数,将上述应力比参量引入到统一硬化参量中可准确地反映初始状态下围压、密度 对于单调加载下应力应变关系的影响规律,能描述砂土剪缩、剪胀,应变软化、硬化等特性. 采用非相关联流动法则,p--q空间中采用水滴型屈服面,塑性势面为椭圆面,松砂在单调加载下的静态液化现象也可描述. 为反映循环加载下塑性体积应变的累积特性以及塑形偏应变的滞回特性,在循环加载下将状态参量R表达为应力比参量,并在硬化参数中引入描述应力诱导各向异性特性的旋转硬化部分,所提模型可有效地描述循环加载下剪切模量的衰减特性、刚度衰化性质、强度减小特性,在不排水约束作用下,则会产生往返活动性现象. 通过一系列的模型模拟与试验结果对比,验证了本构模型的有效性及适用性.

关键词: 密度与压力依存特性 ; 液化 ; 往返活动性 ; 本构模型 ; 循环加载

Abstract

Abstract The test shows that stress-strain relationship of saturated sand has significant dependence on density and confining pressure. The above two factors can not be ignored to describe the deformation behavior of sand under static load conditions. In addition, saturated sand also exhibits obvious stress-induced anisotropy and phase transformation behaviors under complex loading, such as cyclic loading conditions. The distance R between the current stress state and its corresponding point in critical state line (CSL) can be treated as a state parameter is introduced into the proposed model to reflect the density and confining pressure dependent behaviors based on the assumption that there is a unique CSL in e--p space. The influence principle to stress-strain relationship under monotonic loading condition due to density and confining pressure is accurately described by using unified hardening parameter introduced by phase changing stress ratio and peak stress ratio expressed by exponential functions of state parameter. The shear volume compression, dilatancy, strain softening and hardening are all described for sand. By using non-associated flow rule, a water drop shape yield surface and an ellipse shape plastic potential surface are adopted in p--q space. The liquefaction phenomenon under monotonic loading condition are also be described. To reflect the accumulation of plastic volume strain and hysteresis loops of deviatoric plastic strain under cyclic loading condition, the state parameter R can be expressed as stress ratio parameter and the rotational hardening part can be adopted to describe the stress-induced anisotropy are introduced into the hardening parameter. The attenuation of shear modulus, stiffness weaken and strength decreasing behaviors are described effectively by using the proposed model. The cyclic mobility phenomenon is predicted under undrained cyclic loading conditions. The effectiveness and applicability of the proposed constitutive model is verified by the comparison of a series of simulation and test results.

Keywords: density and confining pressure dependent behaviors ; liquefaction ; cyclic mobility ; constitutive model ; cyclic loading

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万征, 孟达. 复杂加载条件下的砂土本构模型[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 929-948 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-047

Wan Zheng, Meng Da. A CONSTITUTIVE MODEL FOR SAND UNDER COMPLEX LOADING CONDITIONS[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 929-948 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-047

引言

试验及现场实测表明,饱和砂土是一种状态相关材料. 密度可直接影响其应力应变关系,如松砂在排水剪切载荷下体积剪缩,而密砂在同种 加载条件下则会产生体积剪胀现象,此外,围压也会对其产生影响,如松砂在较低围压下也会产生类似密砂的变形特点,而 密砂在高围压下 也会产生类似松砂的变形规律,显然密度与围压存在交叉耦合影响. 早期学者,如Hashiguchi等[1]曾经将相对密度作为物性参数来使用,将其引入到模型中,来描述不同初始密度饱和砂土的 应力应变关系, 这种做法虽然并未明确提出状态参数的概念,但本质上却已经暗含了将其作为一种状态参量来使用的途径. 作为状态参量,显然需要一个不受初始条件如密度、围压等因素影响的稳定状态作为参照才可方便将状态量定量化,显然,临界 状态就是 一种稳定状态,临界状态首先是针对饱和黏土而提出的,Roscoe等[2]发现 ep对 土体变形的影响作用,并基于试验观察和归纳总结,提出了临界状态的概念,临界状态线就是土体在微观状态下极限平衡的一种状态, 与初始状态无关. 同样,基于大量的试验观察结果,砂土也同样存在独立于初始状态的唯一的临界状态. Been和Jefferies [3]将在 e-- p空间中当前应力状态点所对应的孔隙比与相同球应力下临界状态线上所对应的孔隙比之差 ψ来表示 当前状态的参量. Cai等[4]利用上述状态参量构造剪胀方程,并在 p-- q空间选用三角形屈服面作为描述砂土剪切硬化的屈服面,该模型可以描述 不同初 始密度以及球应力下砂土的应力应变关系,能较准确地描述砂土剪缩、剪胀硬化、应变硬化、软化等特性,并采用 g(θ)方法使其应用于三维应力状态下的应力应变关系. 将上述状态参量引入 剪胀方程,可克服传统的应力剪胀型方程的缺陷,能更深入 揭示同样压力下不同密度下砂土颗粒内部排列不同所导致的宏观差异. Zhang等[5]着眼于砂土液化后循环加载的变形特性,将剪切加载所引起的体变分解为可逆体变与不可逆体变,在边界面 框架内定义映 射法则以及加载转折机制,从而能够描述液化后不排水循环加载下的往返活动性现象. Taiebat等[6]p-- q空间中选取楔形屈服面,并采用旋转硬化法则来规定转轴的演化,并利用状态参量 ψ来作为构造变相应力比以及边界面像点应力比的关系式,该模型可以描述密度与围压的应力应变依存特性以及等方向压缩变形特性. Gao等[7]从原生各向异性的角度来阐释各向异性对于体变的影响,采用由一个反映砂土微观组构张量的参量来修正硬化参数和状态 参量,进而修正剪胀方程,最终能够用于描述主应力加载方向与沉积面成不同夹角时的不同应力应变关系,并能用于模拟砂土静态液化现象. Li等[8]采用能反映原生各向异性的应力联合不变量和加载方向向量来构建一个反映各向异性的状态变量,利用上述各向异性状态量 可以反映组构各向异性以及非比例加载下的应力历史对应力应变关系的影响.

国内学者针对饱和砂土的变形及强度特性也开展了大量深入的研究工作,也取得了一定的成果. 栾茂田等[9]采用自主开发的土工静动 三轴扭转多功能剪切仪,对饱和砂土在主应力方向影响下的强度及变形特性进行了试验研究,结果表明,大主应力与竖向之间夹角越大,则砂土内摩擦角越低,初始相对密度越低,砂土越容易发生软化现象. 刘汉龙等[10]采用多功能三轴仪开展了砂土液化后大变形试验,并基于试验结果提出了一个能描述液化后砂土应力应变关系的双曲线模型. 黄茂松等[11]在分析饱和砂土剪切变形以及压缩变形机理上提出了一个双屈服面模型,可以较好地反映静力加载条件下密度与围压依存性对应力应变关系的影响. 董晓丽等[12]改进了CASM模型,通过引入剪胀应力比以及采用一种与应力路径无关硬化参数的方式得到了修正CASM模型,可用于反映中密砂土的应力应变关系. 董全杨等[13]对于松砂的不稳定性进行了试验研究,结果表明,松砂无论排水与否都是在同一应力比下达到不稳定状态. 许成顺等[14]用双向耦合多功能剪切仪对饱和砂土开展了循环耦合剪切试验,砂土液化动强度与相位差及幅值比值密切相关. 陈国兴等[15]对描述一维动应力--应变关系的Davidenkov骨架曲线,利用曼辛法则修正了加载再加载的动应力应变关系曲线,得到了一个动剪切模量比与阻尼比符合试验结果的动本构模型. 在将模型的有限元应用研究中,耿大将等[16]对考虑结构性的SANICLAY模型进行了隐式算法实现. 林皋[17]提出了一种新的关于岩土介质在结构物上的动力加载方法,具有简单高效的特点. 此外,周健等[18],陈育民等[19],王星华等[20],迟明杰等[21]针对砂土液化以及剪胀特性方面取得了有特色的成果.

上述模型能够在某 些加载条件下对砂土的应力应变响应进行模拟,如单调加载条件或者循环加载条件,但很少见到能在静力加载以及循环加 载等复杂加载条件下同时适用的模型.

通过引入状态参量 ψ来修正变相应力比以及峰值应力比,并利用统一硬化参数来描述砂土的应变硬化软化特性,能充分考虑密度与 围压的依存特性. 对于循环加载以及复杂加载路径,采用旋转硬化法则机制来描述循环加载下的应变滞回效应以及塑性累积效应. 模型采用非相关联流动法则,屈服面与塑性势面共轴,在 p-- q空间中屈服面形态为水滴形状,塑性势面为椭圆面. 所建议的模型不仅可采用一组材料参数分别描述密度与围压依存性对于应力应变关系的影响,同时,也可有效地描述砂土在循环加载等复 杂加载路径下的应力应变关系,可有效地描述砂土液化现象以及往返活动性现象.

1 e-- p空间中的压缩线及状态线

不同于黏土在 e-- lnp空间中存在唯一的正常固结线(NCL),对于砂土而言,存在无数条压缩线,且由于砂土颗粒间调整以及破碎等 因素造成了NCL线在某一局部压力段内的下移,因而在较宽的压力段内其整体表现为斜率渐大的曲线形态, 将数据在 e-- (p/pa)ζ坐标系中整理,可得到如图1所示的曲线.

图1   在e--(p/pa)ζ空间的系列压缩线及临界状态线.

Fig. 1   Series of compression lines and critical state line in e versus (p/pa)ζ space

图1可见,假设e--(p/pa)ζ坐标系中存在一条正常压密线(NCL), 正常压密线可以这样理解,在压力逐渐增大过程中, 砂土颗粒未发生由非等向压力所造成的孔隙变化等现象,如颗粒破碎以及翻滚等等. 而同样存在一条临界状态线(CSL),当临界状态线上的球应力减小为零时,则此时临界状态线与正常压密线相交于一点,坐标系上纵轴表示 在球应力为零时,此时砂土颗粒纯粹由于颗粒形状以及排列方式因素造成的初始孔隙比差异. 显然存在最密初始孔隙比ed0,由此沿着等方向压缩路径,可得到DCL线. 在NCL线上的表示松砂的压缩线. 在压力足够大时,显然所有不同初始密度的压缩线(ICL)都将趋于同一个点N.

对于正常压缩线,可将其表达为 en=en0-ct(ppa)ζ(1)

回弹线,可表示为 es=e0-ce(ppa)ζ(2)

临界状态线表示为 ec=ec0-cc(ppa)ζ(3)

图2所示,图中黑色方框点表示Verdugo 和 Ishihara[22]于1996年对Toyoura 砂土的试验数据,由图可见,在幂函数坐标系中,临界状态线可以用直线来表达. 由于临界状态线的唯一性,因而可以借鉴Been等的建议, 采用当前孔隙比与对应相同球应力下CSL线上的孔隙比之差 ψ来作为状态参量. 则显然,当在CSL线以上,则剪切作用下会产生剪缩,而反之,在CSL线以下,则剪切作用下会产生剪胀.

图2   在e--(p/pa)ζ空间Toyoura砂临界状态线.

Fig. 2   Critical state line of Toyoura sand in e versus (p/pa)ζ space

2 本构模型

2.1 p--q空间中的屈服面与塑性势面参数

图3所示,在p--q坐标系中的屈服面及塑性势面为一绕原点旋转的闭合曲面,其中,屈服面形态为一水滴形闭合面,而 塑性势面为共轴的椭圆面.

图3   在p--q空间的屈服面及塑性势面.

Fig. 3   Yielding surface and Plastic potential surface in p versus q space

屈服面表达式为 f=cppaζp1+η*2Ma2-χη*2ζ-p0ζ-H=0(4) 塑性势面可表示为 g=cppaζp1+η*2Mc2ζ-p0ζ-H=0(5) 其中,cp=ct-ce1+e0,ct表示在e-(p/pa)ζ坐标中正常压密线的斜率,而ce则表示在上述坐标中回弹线的斜率,e0表示初始状态下的孔隙比,p0表示初始球应力. pa表示一个大气压,为0.1 MPa. Ma=M2-β2,其中,M为临界状态应力比, β 为屈服面转轴斜率,β=1.5βijβij, βij表示屈服面转轴分量应力比 βij=sβijpβ=σβij-pβδijpβσβij表示屈服面转轴上的一般应力量,pβ 表示上述应力量的平均应力量,可表示为,pβ=σβijδij/3. η* 表示相对应力比,表示为 η*=1.5η̂ijη̂ij=1.5ηij-βijηij-βij(6)χ表示为修正屈服面形状的形状参量,可通过初始状态来确定得到. η̂ij=ηij-βij(7) 其中 ηij=sijp=σij-pδijp(8) 硬化参数选取为姚仰平等[23,24,25,26,27,28]建议的统一硬化参数,可经过修正表达为 H=H1+H2=Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4dεvp+Adεdp(9) 由式(9)可见,不仅包括反映体积压缩所产生的体变硬化部分,同时也反映了剪缩剪胀过程中由塑形偏应变所产生的剪切屈服硬化部分. 其中,Mc为变相应力比,而Mf为峰值应力比,Mn为过度应力比,Mp为各向同性变相比,Mc在不考虑应力诱导各向异性情况下,与Mp完全相同. 反映在等向压缩条件下不同初始密度下的体变递变规律.

由试验结果可知,针对密砂随初始密度的不同而出现不同程度的剪胀,其所对应剪胀发生时刻的应力比也会发生变化,与此同理,不同密度密砂的峰值应力比也会出现差异,通常按照试验规律可知,当初始孔隙比越小,则对应剪胀发生时刻的变相应力比越小,对应的峰值应力比越大,而相对的临界状态应力比不随密度发生变化. 由此,可建立变相应力比与峰值应力比与临界状态应力比的函数关系,将上述两个变量应力比表示为状态参量 R的指数函数.

Mc=Maexp(-mR),monotonicMa,cyclic(10)

Mf=Mexp(nR),-1.5cmmonotonic6M2123-MR1+M2123-MR-M2123-MR,-1.5cmcyclic(11)

Mp=Mexp(-mR),monotonicM,cyclic(12)

在单调加载条件下,则状态变量 R=ec-e,其中 ec表示对应相同球应力 pe-( p/pa)ζ坐标中临界状态线上的孔隙比,而 e表示当前应力状态下的孔隙比.

对于非单调加载路径下的情况,由于会涉及到卸载再加载等应力路径的影响,因而可利用应力比参量来替代孔隙比之差作为状态参量. 且应力比参量可参照动力UH模型的 R的推导过程,将其表示为当前屈服面这与参考屈服面的几何相似比. 则状态参量 R可表示为 R=ppaeN0-e-cep/paζct-ce-1ζα(13)其中, α表示循环加载过程中的参数,表示超压密度的衰减系数. 对于曾经加载过的应力路径的影响越小,则通常 α值 越小, α介于0 ~1之间. 对于黏土,取为1,对于饱和砂土,通常可取为0.1. 对于对于过度应力比 Mn,则可表示为

Mn=Mexp(nR1),monotonicM,cyclic(14)

R1=ec-en(15)

其中, en表示在 e-( p/pa)ζ坐标中对应相同球应力 p下正常压密线上的孔隙比.

对于屈服面转轴的变化规律,可采用增量公式表达 dβij=1.5Mcpmb-βdεdpη̂ijη*(16)其中, dεdp为塑性偏应变增量, dεdp=λgsijgsij,其中, λ为塑性因子,硬化参量中第二部分描述塑性偏应变部分的硬化参量系数 A可表达为

A=1.5ηη*ζPmb-βpaζp1+η*2Ma2-χη*2ζ-1

3η̂ijβij-2Ma2Ma2-χη*22(17)

2.2 状态参量 χ的确定

参照图4可得到确定状态参量 χ的方法. 其基本思路为:通过两种应力路径,即等方向压缩路径以及等 p路径加载,不考虑 塑性偏应变的影响,以塑性体应变为硬化参量,根据 AB路径以及 AC路径所得到的硬化参量相等为条件来联立求出屈服面表达式中的 状态参量 χ.

图4   在e--(p/pa)ζ空间内砂土的等向压缩、回弹曲线.

Fig. 4   Isotropic loading and unloading curves of sand in e--(p/pa)ζ space

若不考虑旋转硬化的屈服面方程可退化为 f=η2M2-χη2+1-pyp=0(18)式中, η=q/p是应力比, M是临界状态应力比, py是等向压缩的回弹点所对应的平均正应力,如图4所示, χ是依赖于NCL与CSL之间距离关系所确定的一个修正参数.

对式(1)全微分有 den=-ctζpypaζ-1dpypa(19)塑性孔隙比增量为 denp=-ct-ceζpypaζ-1dpypa(20)

塑性体应变增量 dεvp与塑性孔隙比增量 denp之间的关系为 dεvp=-denp1+e(21)将式(20)代入式(21)中并进行积分可得 1+ect-cedεvp=ζpypaζ-1dpypa=pypaζ-p0paζ(22)假定与塑性体应变相关的硬化参数增量定义为 dH=1+ect-cedεvp(23)将硬化参数式(23)代入式(22)可得 dH=H=1+ect-cedεvp=pypaζ-p0paζ(24)式中, p0是初始平均有效应力,由式(24)推出 py=paζH+P0ζ1ζ(25)将式(24)代入式(18)可得 f=η2M2-χη2+1-1ppaζH+p0ζ1ζ=0(26)式(26)是本文模型在不考虑引力诱导各向异性情况下屈服函数退化表达式.

对砂土沿着等 p路径 p=p0剪切至临界状态( η=M)时,即 AC路径 11-χ+1-pap0ζΔenpct-ce+11ζ=0(27)

在等 p路径 p=p0上,NCL与CSL之间的距离表示为 Δep=cc-ctp0paζ(28)联立式(27)和式(28)可得 χ=1-cc-cect-ce1ζ-1-1(29)

2.3 硬化参数确定

2.3.1 等向硬化参数分析

构成硬化参数的表达式主要由两部分组成,第1部分为考虑体积压缩硬化部分,第2部分为考虑应力诱导各向异性的剪切屈服硬化部分. H1=Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4dεvp(30)

采用所提的模型对饱和砂土在常规三轴压缩不排水条件下进行模拟,考虑不同初始密度对于应力路径以及应力应变关系的影响, 图5~图9分别为对应3种密度砂土的计算结果. 文中所用到的应力量若无特意说明,一律认为是有效应力.

图5   在p--q空间内砂土的3条典型应力路径.

Fig. 5   Three typical stress paths of sand under undrained condition in p--q space

图6   不同初始密度砂土的3条超净孔隙水压力曲线.

Fig. 6   Three typical pore pressure curves with different initial density

图7   在e--p空间内砂土的3条典型应力路径

Fig. 7   Three typical stress paths of sand under undrained condition in e--p space

图8   孔隙比为0.7下4种应力比的变化过程.

Fig. 8   Changing process of four kinds of stress ratios with void ratio equals 0.7

图9   孔隙比为0.8下4种应力比的变化过程.

Fig. 9   Changing process of four kinds of stress ratios with void ratio equals 0.8

图5所示为3种典型的不排水应力路径,其中,初始压力为各向等压状态,p0=3 MPa,分为3种密度,分别为0.7, 0.8, 0.93,在加 载过程中,3条应力路径分别表现出了密砂、中密砂及松砂的特点. 图6所示为对应的孔压与轴应变的关系曲线. 其中,临界状态线在p=0时的截距为0.934,显然,当初始密度在大于0.934,则应力路径从p0=3一直水平向左寻找CSL线,由于找不到CSL线,则球应力一直减小到零,也就是达到了有效应力为零的状态,此时液化现象发生, 图6中孔压也达到了3 MPa,表明土单元应力完全由孔隙水压力承担. 对应于孔隙比为0.7, 0.8时,则由图5可见,随着加载的进行,出现剪胀现象,且随着孔隙比的增大,剪胀现象逐渐减弱,图6中孔压也随着出现先增大后减小 的现象,且随着孔隙比的增大,孔压减小量递减. 当沿着初始密度为0.8的中密砂的路径行进时,则首先一直水平向左进行,在越过CSL线后过了最左侧点后,由于剪胀的作用,超静孔隙水 压力变为负孔压,此时,有效应力增大,再返回直到达到CSL线上. 对于密砂的应力路径,从p0=3一直水平向左达到最左侧变相点,然后在剪胀作用下出现负孔压一直向右移动,直到达到CSL线上.

图8~图10分别为当初始孔隙比为0.7, 0.8, 0.93时所对应的4种应力比指标的加载全过程曲线. 横坐标为广义剪应变,由对比 可见,当密度足够大时,则变相应力比Mp足够小,此时在排水条件下极易产生剪胀,在剪胀作用下导致负孔压,随着初始密度的增大,则变相应力比变得足够大, 当大于0.934时,则变相应力比与应力比不再相交,此时没有剪胀现象,不再产生负孔压. 同时,潜在强度应力比Mf随着初始密度的增大逐渐减小,由于应力比始终达不到变相应力比Mp,因此孔压增量总为正值,体变增量也总为正值,因而H1增量在应力比大于Mf后始终为负值,也就导致了应变软化效果.

图10   孔隙比为0.93下4种应力比的变化过程 .

Fig. 10   Changing process of four kinds of stress ratios with void ratio equals 0.93

考察硬化参数第一项增量部分 dH1=Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4dεvp(31)

(1)当砂土 属于密砂时,则当应力比η<Mp<Mf时,由于dεvp>0, 则dH1>0,属于应变硬化阶段,当Mp<η<Mf时,越过变相应力比,此时由于dεvp<0dH1>0,属于应变硬化阶段,当Mp=η=Mf=M时,dεvp=0,则最终达到临界状态.

(2)当砂土 属于松砂时,则当应力比 η<Mf<Mp时,由于 dεvp>0, 则 dH1>0,属于应变硬化阶段,当 Mf<η<Mp时,应力比未达到变相应力比,由于 dεvp>0,则 dH1<0,属于应变软化阶段,当 Mp=η=Mf=M时, dεvp=0,则最终达到临界状态;当 η<Mp时且此时 dσij=0,则达到液化状态.

(3)考察当进行等方向压缩应力路径时,则由于 η=0, dH1=Mf4Mn4dεvp,则当初始密度位于NCL线上时,则由 Mn表达式可知, Mn=Mf,此时, dH1=dεvp,退化到修正剑桥模型,当初始密度在NCL线以上,属于松砂状态时,则由于 Mf<Mn,此时导致较大的塑性体变增量产生,反之,当属于中密砂时,则由于 Mf>Mn,此时导致较小的塑性体变增量产生,上述规律与等方向压缩时的体变规律相符.

2.3.2 旋转硬化参数分析

构成硬化参数的第2部分为考虑应力诱导各向异性的剪切屈服硬化部分,考虑旋转硬化参数可表达为 H2=Adεdp(32)式(32)为用广义塑性偏应变增量表达的公式,用转轴增量表达可以变换为如下形式 dH2=Adεdp=ηMfβijdβij(33)当对屈服面方程进行全微分,可得到如下表达式 df=fσijdσij+fβijdβij-Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4dεvp-ηMfβijdβij=0(34)

显然当达到临界状态时,则式(34)可以变换为如下形式 df=1-ηMfβijdβij=0(35)

当应力比达到 M时,则由于系数为零,则 fβijdβij的值可以足够大,即广义塑性偏应变增量无穷大.

仍然采用所提的模型对往返活动性过程进行模拟分析,图11~图20为对应的往返活动性现象的有效应力路径以及孔压的各阶 段 分解图. 其中 图11~图15分别为往返活动性现象下的典型应力路径分解图. 记三轴压缩加卸载及三轴伸长加卸载为一个循环,则图示为在初始球应力为1 MPa下作用 7/4个循环加载过程. 图11所示为当广义剪应力作用在三轴伸长路径下达到预定幅值时的状态,此时,屈服面由于在相对应力比分量的指引下,其转轴向下顺时针旋转到达最下端,且屈服面形状变为接近楔形的水滴形. 图12为在三轴压缩作用下有效应力减小到最小时的状态,此时,屈服面由于在三轴伸长卸载过程中,应力比变化较小,此时,相对应力比的增量也很小,因此,转轴沿逆时针旋转也很缓慢,随着转轴逆时针转动,转轴绝对值 β在逐步变小,此时屈服面形态逐渐趋近圆形形态. 图13为完成 5/4个循环过后的形状,此时,由于应力比趋于临界状态应力比,相对应力比增量较大,导致快速地转轴逆时针旋转. 图14为1.5个循环完成后, 在反向卸载过程中,由于屈服面在坐标系中位置为类似于 K0固结状态下的屈服面,此时,加载应力点在越过一小段弹性阶段后, 到达屈服面的下半面,由于屈服面边界形状的影响,且此时由于应力比增量变化小,因此转轴增量较小,屈服面形状及位置变化较小, 其应力路径会沿着类似于下半面的形状路线而行进,当应力点靠近原点时,则由于应力比的剧烈减小,转轴快速顺时针转动到与 p轴基 本平行的状态. 图15为三轴伸长加载到预定幅值时的状态,此时,转轴依然随应力比快速到达最下端.

图11   往返活动性应力路径过程图1.

Fig. 11   Figure 1 of process of stress path for cyclic mobility

图12   往返活动性应力路径过程图2.

Fig. 12   Figure 2 of process of stress path for cyclic mobility

图13   往返活动性应力路径过程图3.

Fig. 13   Figure 3 of process of stress path for cyclic mobility

图14   往返活动性应力路径过程图4.

Fig. 14   Figure 4 of process of stress path for cyclic mobility

图15   往返活动性应力路径过程图5.

Fig. 15   Figure 5 of process of stress path for cyclic mobility

图16   往返活动性孔压发展过程图1

Fig. 16   Figure 1 of process of pore water pressure for cyclic mobility

图17   往返活动性孔压发展过程图2.

Fig. 17   Figure 2 of process of pore water pressure for cyclic mobility

图18   往返活动性孔压发展过程图3.

Fig. 18   Figure 3 of process of pore water pressure for cyclic mobility

图19   往返活动性孔压发展过程图4.

Fig. 19   Figure 4 of process of pore water pressure for cyclic mobility

图20   往返活动性孔压发展过程图5.

Fig. 20   Figure 5 of process of pore water pressure for cyclic mobility

图16~图20分别为对应的超静孔隙水压力随轴应变的发展过程图. 图16为对应三轴压缩然后卸载且反向加载后的孔压状态图, 孔压经历了先增大然后逐步减小的过程. 图17中当三轴伸长卸载且继续三轴压缩加载时孔压继续快速增大. 图18为对应的应力比趋近于临界状态应力比时,此时,由于应力比越过变相应力比,此时出现剪胀,孔压持续缓慢减小. 图19为对应三轴压缩后卸载的过程阶段,此时孔压先是短暂剧烈减小,然后缓慢增大. 图20中对应的阶段为当继续三轴伸长加载时,此时孔压逐渐减小的过程.

Seed[29]曾把在循环加载后第一次发生液化时候的状态称之为“初始液化”,循环加载后也会产生往返活动性现象. 由于状态 参量 χ的影响,所建议的模型分别能够模拟初始液化现象以及往返活动性现象.

当初始孔隙比较大时,即对应的密度状态量 χ较大时,则会导致较大的塑性体变,从而导致较大的孔压,也会产生接近于静态 的液化现象. 图21~图23为所提模型对于准静态液化的模拟结果. 由图可见,当图21中有效应力路径达到原点,此时图23中孔压也达到了初始围压值,产生了液化现象. 对于较为密实的砂土,则会导致往返活动性现象,图24,图25所示为当 χ=0.13时所提模型模拟的结果.

图21   循环加载下液化应力路径.

Fig. 21   Stress path of liquefaction under undrained cyclic loading condition

图22   循环加载下液化应力应变关系.

Fig. 22   Stress strain relationship of liquefaction under undrained cyclic loading condition

图23   往返活动性孔压发展过程图.

Fig. 23   Figure of process of pore water pressure for cyclic mobility

图24   往返活动性现象典型的应力路径.

Fig. 24   Typical stress path of cyclic mobility phenomena

图25   往返活动性现象典型的应力应变关系.

Fig. 25   Typical stress strain relationship of cyclic mobility phenomena

图22为对应的液化应力应变曲线模拟结果,当经过1个循环周期后,再加载后应力路径直接趋向原点,广义偏应力为零,此时液化 现象触发. 此处,表明所提模型功能能够用于反映液化现象.

3 本构方程

3.1 弹塑性本构方程

根据对式(4)进行全微分,可得 fσijdσij+fβijdβij-Ωdεvp其中, Ω表示硬化参量中的系数部分,由式(37)表示. A表示硬化参量中塑性偏应变增量部分的系数,其确定过程由临界状态条件来确定导出,由式(38)表示.

Ω=Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4(37)

A=1.5ηη*ζPmb-βpaζp1+η*2Ma2-χη*2ζ-1

3η̂ijβij-2Ma2Ma2-χη*22(38)

由应力增量关系可知 dσij=Dijkledεkle=Dijkledεkl-dεklp(39)

弹性模量可表示为 E=31-2νpaζζcepζ-1(40)

弹性剪切模量 G=E21+ν=31-2νpaζ21+νζcepζ-1(41)

拉梅系数 L=E31-2ν-23G(42)

将式(39)代入 式(36),可得到

fσijDijkledεkl-λfσijDijklegσkl+fβijdβij-Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4dεvp

fσij=ζcppaζp1+η*2Ma2-χη*2ζ-1131+η*2Ma2-χη*2δij+Ma23η̂ij-ηklη̂klδijMa2-χη*22

(44)

gσij=ζcppaζp1+η*2Mc2ζ-1131+η*2Mc2δij+3η̂ij-ηklη̂klδijMc2(45)

fβijdβij=3λmb-βη*2ζ2pMcpMc2pa2ζMa2-χη*22p1+η*2Ma2-χη*2ζ-1p1+η*2Mc2ζ-13η̂klβkl-2Ma2(46)

dσij=Dijkldεkl(47)

Dijkl=Dijkle-DijmnegσmnfσstDstkle/X(48)

Dijkl=Lδijδkl+Gδikδjl+δilδjk-

Lgσmmδij+2GgσijLfσnnδkl+2Gfσkl/X

(49)

X=Lfσiigσ̃kk+2Gfσijgσij+T1+T2(50)

T1=Mp4Mn4Mf4-η4Mp4-η4gσijδij(51)

T2=ηM-1fβijdβij(52)

3.2 加卸载准则

所提模型在复杂应力路径下的加卸载准则可根据如下公式进行判断 fσijDijkledεkl>0,loadingfσijDijkledεkl=0,neutralfσijDijkledεkl<0,unloading(53)

4 模型预测

4.1 单调加载下模型预测

利用所提模型对单调加载条件下的砂土应力应变关系进行预测. 所提模型共需要9个参数,其中根据等向压缩可得到参数回弹 系数 en0, ct, ce,根据临界状态的参数有 cc, ζ, 根据三轴压缩所得到的 参数有 m, n, M,根据循环加载所得到的参数有 mb. 泊松比 ν按照常数0.3来确定,反映循环加载的体 变衰减系数 α.

压缩与回弹参数 ct, ce可利用侧限压缩试验中的压缩与回弹曲线在 e-- p空间中整理为直线,然后 直接量测即可得到相应的两条线的斜率. 其做法与常规试验中确定修正剑桥模型中参数 λ, κ做法完全类似.

图26图27分别为在应力空间与孔隙比空间确定临界状态线的方法,分别做常规三轴压缩排水与不排水试验,得到对应的最终临 界状态的 应力比强度值,排水条件下量测此时的体变,并计算得到此时的孔隙比,不排水条件下则量测此时的有效应力,并整理得到 有效球应力 p. 经整理后,可利用直线拟合数据,分别得到所需要的参数 M, en0, cc, ζ.

图26   p--q空间临界状态线斜率M的确定.

Fig. 26   Calibration of M for slope of CSL in p--q space

图27   e--p空间临界状态线的确定.

Fig. 27   Calibration of CSL in e--p space

图28为对应的确定变相应力比参数 m方法,将变相应力比公式变形,可得到关于 ln(Mc/M)R的线性关系式,利用数据进 行直线拟合可确定得到斜率 m值.

图28   变相应力比参数m的确定.

Fig. 28   Calibration of phase transformation stress ratio parameter m

图29为对应的确定峰值应力比参数 n方法,将峰值应力比公式变形,可得到关于 ln(Mf/M)R的线性关系式,利用数据 进行直线拟合可确定得到斜率 n值.

图29   峰值应力比参数n的确定.

Fig. 29   Calibration of peak stress ratio parameter n

mb为转轴界限值应力比参数,一般在0 ~M之间,对于应力诱导各向异性显著材料,则取值较大,可用于反映应力历史对于当前模量及强度的影响. α为反映循环 加载下应力路径对于当前体变衰减的影响系数. 当应力路径对当前体变影响显著,则取较大值,反之则取较小值. 其范围在0 ~1之间.

表 1   Toyoura砂土参数

Table 1   Parameter of Toyoura sand

Mctceen0mbαζccνmn
.250.010.003 20.93010.70.0190.313.2

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Verdugo和Ishihara曾针对Toyoura饱和砂土进行了一系列三轴剪切加载测试. 加载方式包括不排水常规三轴剪切以及排水常规三轴剪切. 图30为初始孔隙比为0.735时的不排水应力路径测试以及预测对比图. 在较大初始密度下,分别对应有4种初始球应力作为初始压密状态,分别为0.1, 1.0, 2.0, 3.0 MPa. 在同样密度下,随着围压的增大,砂土由剪缩到剪胀的过渡应力比即变相应力比逐渐增大,高围压下密砂表现出类似于松砂在低围压下的路径特点.

图30   孔隙比0.735不排水应力路径三轴压缩预测与试验对比.

Fig. 30   Comparison between prediction and test results for stress paths under undrained triaxial compression condition with void ratio equals 0.735

图31为对应图30应力路径的广义偏应力与偏应变的测试与预测对比. 由图可见,预测结果与测试结果能较好的吻合.

图31   孔隙比0.735不排水应力应变关系三轴压缩预测与试验对比.

Fig. 31   Comparison between prediction and test results for stress-strain relationship under undrained triaxial compression condition with void ratio equals 0.735

图32图33分别为对应初始孔隙比为0.833时的应力路径以及应力应变关系对比图. 由图可见,在围压较小时,砂土应力路径以及应力应变关系表现出了典型的密砂特点.

图32   孔隙比0.833不排水应力路径三轴压缩预测与试验对比.

Fig. 32   Comparison between prediction and test results for stress paths under undrained triaxial compression condition with void ratio equals 0.833

图33   孔隙比0.833不排水应力应变关系三轴压缩预测与试验对比.

Fig. 33   Comparison between prediction and test results for stress-strain relationship under undrained triaxial compression condition with void ratio equals 0.833

图34图35为对应初始孔隙比为0.907时的应力路径以及应力应变关系对比图. 由图可见,在较大围压下,砂土表现出 了强烈的松砂变形特性以及典型的应力路径. 预测结果在围压为2 MPa时过高的估计了其峰值偏应力强度. 表明所提模型在对松砂的压缩体变预估显得不足.

图34   孔隙比0.907不排水应力路径三轴压缩预测与试验对比.

Fig. 34   Comparison between prediction and test results for stress paths under undrained triaxial compression condition with void ratio equals 0.907

图35   孔隙比0.907不排水应力应变关系三轴压缩预测与试验对比.

Fig. 35   Comparison between prediction and test results for stress-strain relationship under undrained triaxial compression condition with void ratio equals 0.907

图36表示在相同的初始球应力 p=1MPa而初始密度处于不同值下的广义偏应力与轴应变关系预测对比,图37 为对应的有效应力路径. 对于密砂,在孔隙比为0.725下广义偏应力强度预测值稍偏小,在松砂状态,当初始孔隙比为0.921及0.933时,预测值的峰值广义偏应力稍偏大. 由应力路径可见,在0.933时,模拟能够达到静态液化结果. 在松砂到密砂的中间密度状态,所提模型能够很好的对广义偏应力以及对应的应力路径较好的描述. 密砂的应变硬化以及松砂的应变软化特点,所提模型都能完全描述.

图36   不同初始孔隙比常规三轴不排水应力应变关系预测与试验对比.

Fig. 36   Comparison between prediction and test results for stress-strain relationship under undrained triaxial compression condition with various initial value of void ratio

图37   不同初始孔隙比常规三轴不排水应力路径关系预测与试验对比.

Fig. 37   Comparison between prediction and test results for stress paths under undrained triaxial compression condition with various initial value of void ratio

图38图39为对于3种初始密度分别为0.83, 0.92, 1.0下,初始围压为0.1 MPa时的常规三轴压缩预测对比结果,对于中密砂0.83的峰值广义偏应力预测偏大.

图38   p0=0.1 MPa排水常规三轴压缩下的广义偏应力与孔隙比关系测试与预测对比.

Fig. 38   Comparison between prediction and test results for generalized deviatoric stress versus void ratio under drained triaxial compression condition with initial value of p0 equals 0.1 MPa

图39   p0=0.1 MPa排水常规三轴压缩下的广义偏应力与大主应变 关系测试与预测对比.

Fig. 39   Comparison between prediction and test results for generalized deviatoric stress versus the principal strain under drained triaxial compression condition with initial value of p0 equals 0.1 MPa

图40图41为对于3种初始密度分别为0.81, 0.89, 0.96下,初始围压为0.5 MPa时的常规三轴压缩预测对比结果,由图可见,预测与测试结果吻合较好.

图40   p0=0.5 MPa排水常规三轴压缩下的广义偏应力与孔隙比关系测试与预测对比.

Fig. 40   Comparison between prediction and test results for generalized deviatoric stress versus void ratio under drained triaxial compression condition with initial value of p0 equals 0.5 MPa

图41   p0=0.5 MPa排水常规三轴压缩下的广义偏应力与大主应变关系测试与预测对比.

Fig. 41   Comparison between prediction and test results for generalized deviatoric stress versus the principal strain under drained triaxial compression condition with initial value of p0 equals 0.5 MPa

为对比松砂以及密砂在不同初始围压下的体变关系,Lee和Seed[30]对Sacramento河砂土进行了一系列排水常规三轴压 缩试验. 其中,图42图43为对应松砂的应力应变关系对比图,图44图45为对应密砂的预测对比图.

表 2   Sacramento砂土参数

Table 2   Parameter of Sacramento sand

Mctceen0mbαζccνmn
.250.010.003 20.94010.70.0190.313.3

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图42   Sacramento河松砂排水常规三轴压缩下的广义偏应力与大主应变关系测试与预测对比.

Fig. 42   Comparison between prediction and test results for generalized deviatoric stress versus the principal strain under drained triaxial compression condition of Sacramento river loose sand

图43   Sacramento河松砂排水常规三轴压缩下的体应变与大主应变关系测试与预测对比.

Fig. 43   Comparison between prediction and test results for volumetric strain versus the principal strain under drained triaxial compression condition of Sacramento river loose sand

图44   Sacramento河密砂排水常规三轴压缩下的广义偏应力与大主应变关系测试与预测对比.

Fig. 44   Comparison between prediction and test results for generalized deviatoric stress versus the principal strain under drained triaxial compression condition of Sacramento river dense sand

图45   Sacramento河密砂排水常规三轴压缩下的体应变与大主应变关系测试与预测对比.

Fig. 45   Comparison between prediction and test results for volumetric strain versus the principal strain under drained triaxial compression condition of Sacramento river dense sand

图42为对应初始孔隙比为0.87时的广义偏应力与大主应变关系对比结果,在高围压下1 240 kPa下,对峰值偏应力预 测稍小,图43为对应的体应变与大主应变关系对比,由图可见,体变预测吻合 较好.

图44为对应初始孔隙比为0.61时的广义偏应力与大主应变关系对比结果,在4种不同围压下,广义偏应力与大主应变预测较好, 图45中对于小围压的剪胀体变幅值预测偏小,在高围压下的剪胀体变幅值偏大. 在初始球应力为290 kPa, 590 kPa下所对应的体应变预测较好.

4.2 循环加载下模型预测

为便于将所提模型应用到循环加载等复杂加载路径中,采用变换应力方法[31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43]将模型拓展为三维弹塑性本构模型. 为验证所提模型在循环加载下的应力应变关系的适用性,采用等方向循环压缩加载路径、双路不排水循环加载以及等 p排水三轴双路循环加载分别进行了预测对比.

图46为对应松砂和密砂两种密度的Sacramento河砂土在等方向压缩加载路径下的预测对比图. 图中小方格表示为对应初始孔隙比 为0.87下的循环压缩测试结果,小圆圈表示初始孔隙比为0.61下的结果. 由对比可见,预测与试验结果吻合较好.

图46   Sacramento河砂等方向压缩下的孔隙比与球应力关系测试与预测对比.

Fig. 46   Comparison between prediction and test results for void ratio versus the mean stress under isotropic compression condition of Sacramento river sand

表 3   Niigata砂土参数

Table 3   Parameter of Niigata sand

Mctceen0mbαζccνmn
.30.0350.002 50.881.250.10.70.0560.313.3

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图47图48为Ishihara等[44]对Niigata砂土进行的双路不排水三轴循环加载测试结果,在初始球应力为212.6 kPa,初始孔 隙比为0.737下的对比结果,测试结果应力路径表明,在5个循环周期后,在第6个循环加载过程中,产生了往返活动性现象. 预测结果为在第5个循环加载过程中,产生了往返活动性应力路径. 图48在出现往返活动性路径时,同时伴随着大主应变的剧烈增大,对比结果可较好地吻合这一规律. 由于在三轴伸长路径,未进行三轴伸长路径应力比强度的修正,造成了预测幅值偏大,这可通过将所提模型三维化来解决.

图47   Niigata砂双路不排水循环加载下的应力路径测试与预测对比.

Fig. 47   Comparison between prediction and test results for stress path under two way undrained cyclic loading condition of Niigata sand

图48   Niigata砂双路不排水循环加载下的应力应变关系测试与预测对比.

Fig. 48   Comparison between prediction and test results for stress strain relationship under two way undrained cyclic loading condition of Niigata sand

表 4   Toyoura砂土参数

Table 4   Parameter of Toyoura sand

Mctceen0mbαζccνmn
.050.050.002 10.951.00.30.40.10.313.3

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图49图50为Pradhan等[45]对Toyoura松砂进行的等 p路径下的双路循环加载测试结果. 松砂的初始孔隙比为0.845,球 应力为98.1 kPa. 在三轴压拉循环加载作用下,应力比与偏应变出现了明显的滞回曲线特性,松砂体变在往复加载作用下出现了剪缩循环累积现象. 所提模型能较好地反映了上述循环加载下的应变响应.

图49   Toyoura松砂在p=98.1 kPa等p三轴压缩下的应力应变关系测试与预测对比 .

Fig. 49   Comparison between prediction and test results for stress strain relationship under drained compression with constant p=98.1kPa loading condition of Toyoura loose sand

图50   Toyoura松砂在p=98.1 kPa等p三轴压缩下的体应变与广义偏应变关系测试与预测对比.

Fig. 50   Comparison between prediction and test results for volumetric strain versus generalized deviatoric strain under drained compression with constant p=98.1 kPa loading condition of Toyoura loose sand

图51图52为Pradhan等对Toyoura密砂进行的等 p路径下的双路循环加载测试结果. 其中,初始孔隙比为0.653,球应力 为98.1 kPa. 在密砂状态下,应力比峰值较松砂更高,同时,偏应变也较小. 而体变造成剪缩体变较小,由于密实状态,因而变相比更小,剪胀容易产生,因此,剪缩与剪胀随着加载进程而循环进行切换. 剪缩剪胀最大体变幅值都不大于0.5%,所提模型在应力比与偏应变预测对比中基本与实测相符,在体变预测中,预测的 剪缩体变值偏大,而剪胀体变值偏小,主要是循环加载过程中变相比受转轴控制,实际上密砂状态循环加载作用下变相比不 仅收到应力诱导各向异性影响,同时砂土颗粒排列以及形状等原生各向异性也会产生影响,未能考虑上述影响.

图51   Toyoura密砂在p=98.1kPa等p三轴压缩下的应力应变关系测试与预测对比.

Fig. 51   Comparison between prediction and test results for stress strain relationship under drained compression with constant p=98.1kPa loading condition of Toyoura dense sand

图52   Toyoura密砂在p=98.1 kPa等p三轴压缩下的体应变与广义偏应变关系测试与预测对比.

Fig. 52   Comparison between prediction and test results for volumetric strain versus generalized deviatoric strain under drained compression with constant p=98.1 kPa loading condition of Toyoura dense sand

5 结 论

在临界状态土力学框架体系下提出了一个能考虑初始密度与围压且能反映循环加载等复杂应力路径的饱和砂土弹塑性本构模型. 该模型具备以下一些基本特点:

(1) 模型通过引入状态参量R来表示相同球应力下临界状态线上的孔隙比与当前孔隙比之差,并将变相应力比、潜在强度比表示为状态参量的指数函数,该指数函数能反映密砂变相应力比小、潜在应力比大,松砂变相应力比大而潜在强度比小等特征,利用过渡应力比来修正统一硬化参数,使得硬化参数能同时考虑剪切体缩、体胀规律特性以及等方向压缩的体缩特性.

(2) 引入修正屈服面形状的状态参量 χ,通过该参数与硬化参数配合使用能反映松砂应变软化力学特性,如静态以及循环加载液化现象.

(3) 在硬化参数中引入了考虑应力诱导各向异性的旋转硬化参量部分,与各向同性硬化部分共同作用. 由于屈服面与塑性势面均引入了能反映循环加载作用特性的转轴,塑性偏应变也对屈服面的硬化过程贡献作用. 在不排水往复循环作用下,能反映塑性体应变的循环累积作用,能反映塑性偏应变的往复滞回特点,如往返活动性现象. 同时对于松砂以及密砂的循环加载作用响应结果能较好的描述.

模型表明,仅用一套参数,可以对不同初始密度、围压以及三轴不排水、三轴排水等多种状态和路径下的应力应变关系给出较好的预测结果,表明所提模型对于砂土这种密度与压力依存性材料具有较好的描述能力.

The authors have declared that no competing interests exist.


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