力学学报  2018 , 50 (4): 880-889 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-051

Orginal Article

含时滞反馈与涨落质量的记忆阻尼系统的随机共振

公徐路1*, 许鹏飞2

1山西农业大学软件学院, 山西太谷 030801
2北京理工大学力学系, 北京 100081;

STOCHASTIC RESONANCE OF A MEMORIAL-DAMPED SYSTEM WITH TIME DELAY FEEDBACK AND FLUCTUATING MASS

Gong Xulu1*, Xu Pengfei2

1School of Software, Shanxi Agricultural University, Taigu 030801, Shanxi, China
2 (Department of Mechanics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;

中图分类号:  O324

文献标识码:  A

通讯作者:  *公徐路, 助教, 主要研究方向: 随机动力系统. E-mail:xulgong@163.com*公徐路, 助教, 主要研究方向: 随机动力系统. E-mail:xulgong@163.com

版权声明:  2018 力学学报期刊社 力学学报期刊社 所有

基金资助:  山西省回国留学人员科研资助项目(2015-068).

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摘要

针对具有记忆效应的欠阻尼系统, 存在时滞反馈与涨落质量, 本文主要研究了其输出稳态响应振幅的随机共振效应. 首先通过引入新变量和运用小时滞近似展开理论, 将具有非马尔科夫特性的原系统转化为等价的两维马尔科夫线性系统, 再利用Shapiro-Loginov公式和Laplace变换获得了系统响应的一阶稳态矩和稳态响应振幅的解析表达式. 结果表明: 当系统参数满足Routh-Hurwitz稳定条件时, 稳态响应振幅随质量涨落噪声强度、周期驱动信号频率以及时滞的变化均存在随机共振现象, 其中随机多共振现象也被观察到. 在适当范围内, 通过控制时滞反馈, 系统的随机共振效应随着时滞的增大而增强, 而较长的记忆时间及增大阻尼参数均对共振行为呈现抑制作用.有效调控时滞反馈与记忆效应的变化关系将有助于增强系统对周期驱动信号的响应强度. 最后, 通过数值模拟计算验证了理论结果的有效性.

关键词: 随机共振 ; 广义Langevin方程 ; 时滞反馈 ; 质量涨落噪声

Abstract

The stochastic resonance (SR) in the memorial under-damped system with time delay feedback and fluctuating mass is investigated in this paper. The non-Markovian original system is reformulated into two-dimensional Markovian linear system through introducing variable transformations and using the small time delay approximation. Further, the analytic expressions for the first moment of the response and the steady response amplitude are derived by using the Shapiro-Loginov formula and the Laplace transformation technique. All the research results show that when the Routh-Hurwitz stability is satisfied, the phenomenon of SR is shown with the variations of mass fluctuation noise intensity, driving frequency and time delay, respectively. The stochastic multi-resonance phenomenon is also observed. Moreover, the SR is enhanced with an increase in time delay by introducing the time delay feedback and instead, the SR is suppressed for large memory time and damping parameter. By adjusting the time delay feedback and the memory effects, the response of the system to a harmonic signal can be further improved. Finally, the theoretical results are well verified through numerical simulations

Keywords: stochastic resonance ; generalized Langevin equation ; time delay feedback ; mass fluctuation noise

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公徐路, 许鹏飞. 含时滞反馈与涨落质量的记忆阻尼系统的随机共振[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 880-889 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-051

Gong Xulu, Xu Pengfei. STOCHASTIC RESONANCE OF A MEMORIAL-DAMPED SYSTEM WITH TIME DELAY FEEDBACK AND FLUCTUATING MASS[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 880-889 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-051

随机共振是Benzi等[1]在1981年研究古气象冰川问题时首次提出的, 描述了强噪声背景中的弱输入信号在最优噪声强度处被放大. 目前, 关于随机共振的发展和应用已经延伸到了广泛的科学领域内[2-10]. 比如化学[2]、生物[5]、能量收集[8]、机械故障诊断[10] 等. 但上述研究对象通常被刻画为具有马尔科夫特性的系统模型, 而当粒子在例如湍流、黏性材料或渗透媒介等非均匀介质中运动时, 其运动速度产生记忆效应, 系统呈现非马尔科夫性. 该系统通常被描述为一类具有记忆核的广义Langevin方程(GLE)[11-19], 其在非平衡统计物理中已被广泛研究. 例如: 具有不同记忆核函数的GLE 在反常扩散现象和随机共振中得到研究. 包景东等[14-16]基于指数型记忆核函数细致研究了弹道扩散现象. 文献[17]在耦合的GLEs中发现了双指数耗散记忆核诱导的一类非马尔科夫扩散. 在双稳态系统模型中, Srokowski[18]和Neiman等[19]分别在携有幂函数型记忆核和指数型记忆核的GLE中探讨了随机共振现象. 在适当范围内, 记忆时间则分别增强和减弱随机共振.

时滞普遍存在于自然界, 其产生的根源在于系统中的物质、能量或信息存在传递时间, 转换速度, 或者源于系统本身固有的记忆效应. 因此, 在复杂无序的非均匀环境中, 时滞是研究相关动力学问题不可忽视的一个重要因素, 甚至微弱的时滞也能够定性地改变系统的动力学特征. 近年来, 研究时滞对系统动力学行为的影响已经吸引了大量学者的关注[20-28]. 其中, 靳艳飞[26]研究了受互关联噪声激励的时滞系统的相干共振和随机共振现象. 钟苏川等[27]在具有时滞的分数阶线性系统中讨论了稳态响应振幅随时滞变化的一类广义随机共振, 且较小的噪声相关率能够导致随机多共振现象. 此外, 文献[28]在小世界神经网络元模型中也展示了时滞诱导的随机多共振现象.

另一方面, 在具有记忆效应的系统中, 由涨落耗散理论可知, 记忆核函数依赖于系统内部噪声. 而外部噪声对系统的干扰不仅反映在系统的阻尼涨落[29]和固有频率涨落[30]上,而且能够在振子质量中被体现到[4]. 实际上, 在复杂多变的环境中, 媒介分子对系统粒子通常具有吸附能力而使得系统存在质量涨落, 其中常见的质量涨落模型有: 可变质量振荡器[31], 离子间的化学反应系统[32], 粒状材料的聚合过程[33]等. 但在该类质量涨落系统中, 未同时考虑复杂非均匀环境下记忆阻尼与时滞对系统共振行为的影响. 鉴于此, 针对具有时滞反馈和指数型记忆核的质量涨落系统, 本文首先获得系统稳态响应振幅的解析表达式, 然后详细讨论时滞反馈、记忆阻尼及质量涨落对共振行为的影响, 最后由数值模拟验证理论结果的有效性.

1 系统模型

考虑由广义Langevin方程描述的受时滞反馈与质量涨落噪声作用的记忆阻尼系统如下

m[1+ξ(t)]ẍ(t)+0tẋ(u)β(t-u)du+ω2x(t)+μτ=f0sin(Ωt)+η(t)

其中, m表示系统粒子的质量, x(t)表示粒子运动的轨迹, ω为系统固有频率, f0Ω为周期驱动信号的振幅和频率. 位移反馈项 μτ=αx(t-θ), α为反馈强度, θ代表时滞. 系统记忆阻尼函数 β(t)[14,19]满足

β(t)=β0[δ(t)-τ-1exp(-t/τ)]

其中, β0为阻尼系数, τ为粒子运动的记忆时间. 系统内噪声 η(t)与记忆核函数 β(t)之间满足涨落耗散理论

η(t)η(t')=kBTβ(t-t')

其中, kB代表玻尔兹曼常数, T代表粒子所处环境的绝对温度.

本文考虑系统粒子质量受随机扰动而引入的乘性外噪声 ξ(t), 即质量涨落噪声建模为满足下述统计性质的对称二值噪声

ξ(t)=0

ξ(t)ξ(t')=Qexp-kt-t'

其中, ξ(t){M,-M}中取值, 满足稳态概率分布 p(M)=p(-M)=1/2, 噪声强度 Q=M2, k为噪声相关率. 进一步, 为保证粒子质量为正值, 设置二值噪声满足条件: 0<M<1. 且考虑到系统内噪声 η(t)与质量涨落噪声 ξ(t)的起源不同, 故下文假设两噪声互不关联, 即 η(t)ξ(t')=0.

基于方程(2)和(3), 内噪声 η(t)被表示为高斯白噪声 ε(t)与Ornstein-Uhlenbeck噪声 z(t)之差[15]

η(t)=ε(t)-z(t)

其中

ε(t)=0,ε(t)ε(t')=2kBTβ0δ(t-t')ż(t)=-τ-1z(t)+τ-1ε(t)

针对系统(1)引入新变量 y(t)[15-16]

y(t)=β00tτ-1ẋ(u)exp[-(t-u)/τ]du-z(t)

依据式(4) ~式(6),系统(1)被扩展为如下方程

m[1+ξ(t)]ẍ(t)+β0ẋ(t)+ω2x(t)+

αx(t-θ)-y(t)=f0sin(Ωt)+ε(t)

ẏ(t)=-τ-1y(t)+τ-1β0ẋ(t)-τ-1ε(t)

其中 ε(t)ξ(t')=0.

在式(7)中, 对时滞项 x(t-θ)运用小时滞近似理论[34], 即关于时滞 τ进行泰勒二阶展开, 则式(7)被表示为马尔科夫线性系统

m[1+ξ(t)]+αθ2/2ẍ(t)+(β0-αθ)ẋ(t)+(ω2+α)x(t)-y(t)=f0sin(Ωt)+ε(t)

2 系统稳态响应振幅

为获得系统的稳态响应振幅, 下文基于矩方程将在推导过程中利用对称二值噪声所满足的Shapiro-Loginov公式[35]

ξ(t)dnx(t)dtn=(ddt+k)nx(t)ξ(t)

x(t)ξ2(t)=Qx(t)

在方程(9)和式(8)两边分别进行统计平均, 并利用式(10)得到系统响应一阶矩的微分方程

[(m+0.5αθ2)d2dt2+(β0-αθ)ddt+(ω2+α)]x(t)-

y(t)+m(ddt+k)2x(t)ξ(t)=f0sin(Ωt)

(ddt+τ-1)y(t)-τ-1β0ddtx(t)=0

由于式(12)中出现了新的耦合项 x(t)ξ(t), 则在(9)式两边同时乘以 ξ(t)后进行统计平均, 并利用式(10) ~式(11) 得到

[(m+0.5αθ2)(ddt+k)2+(β0-αθ)(ddt+k)+ω2+α]x(t)ξ(t)+mQd2x(t)dt2-y(t)ξ(t)=0

对于在式(14)中又出现的新耦合项 y(t)ξ(t), 对式(8)进行同样的处理得到

(ddt+k+τ-1)y(t)ξ(t)-(ddt+k)β0τ-1x(t)ξ(t)=0

最后, 方程(12) ~(15)联立构成了以 x(t), y(t), x(t)ξ(t)以及 y(t)ξ(t)为变量的微分方程组. 为描述方便, 令 u1(t)=x(t), u2(t)=y(t), u3(t)=x(t)ξ(t), u4(t)=y(t)ξ(t), 则对新标记的微分方程组(12) ~(15) 分别做Laplace 变换如下

g11U1(s)+g12U2(s)+g13U3(s)=f0Ω/(s2+Ω2)+g14g21U1(s)+g22U2(s)=g23g31U1(s)+g32U3(s)+g33U4(s)=g34g41U3(s)+g42U4(s)=g43

其中, Ui(s)ui(t)的Laplace变换 (i=1,2,3,4), 系数 gmn(m,n=1,2,3,4)的表达式见附录A.

通过式(16)可获得 s域上所有 Ui(s)的解析表达式, 为求解系统的响应一阶矩 x(t), 故仅给出 U1(s)的表达式如下

U1(s)=[W2(s)f0Ω]/[W1(s)(s2+Ω2)]+W3(s)/W1(s)

其中

W1(s)=g11g22g32g42+g12g21g33g41-

g13g42g31g22-g12g21g32g42-

g11g22g33g41

W2(s)=g22(g32g42-g33g41)

W3(s)=g22g32g42g14-g22g13g42g34-

g22g41g33g14+g22g33g13g43-

g23g32g42g12+g23g41g33g12

对式(17)两边做逆Laplace变换, 得到系统响应一阶矩 x(t)的解析表达式

x(t)=0tW(t-t')f0sin(Ωt')dt'+W0(t)

其中, W(t)W2(s)/W1(s)的逆Laplace变换, W0(t)W3(s)/W1(s)的逆Laplace变换. 特别地, 为保证响应一阶矩的稳定性, 方程 W1(s)=0不能存在具有正实部的根, 即该方程系数满足Routh-Hurwitz稳定性判据[36], 故下文所有系统参数均在满足此条件下取值.

当粒子运动时间足够长时, 初始条件对系统响应一阶矩的影响消失, 故式(18)在充分长时间后演化为一阶稳态矩

x(t)as=0tW(t-t')f0sin(Ωt')dt'=Asin(Ωt+ψ)

即式(19)可视作周期驱动信号 f0sin(ωt)输入传递函数为 W2(s)/W1(s)的线性时不变系统的输出.

根据式(17)和式(19), 获得系统稳态响应振幅 A和相移 Ψ的解析表达式如下

A=f0(f12+f22)/(f32+f42)Ψ=arctan[(f1f4-f2f3)/(f1f3+f2f4)]

其中系数 fi(i=1,2,3,4)的表达式见附录B.

3 随机共振行为的讨论和数值验证

3.1 稳态响应振幅的共振行为

这一节我们将讨论式(20)中稳态响应振幅 A作为质量涨落噪声强度 Q, 周期驱动信号频率 Ω以及时滞 θ的函数随不同参数变化所产生的共振行为, 并通过数值模拟验证理论结果的有效性. 其中, 固定部分参数取值为 m=1,f0=1,ω=0.8.

当质量涨落噪声强度 Q变化时, 图1(a) ~图1(d)分别绘制了以时滞 θ、反馈强度 α、记忆时间 τ和质量涨落噪声的相关率 k为参数的A-Q曲线(固定参数 Ω=1.2β0=0.6). 这些曲线随着不同参数变化所出现的共振峰标志着随机共振现象的发生. 在图1(a)中, 当时滞 θ从0增加至0.8时, A-Q 曲线的峰值逐渐上升, 共振效应增强, 且峰的位置向 Q增大的方向移动. 系统响应不仅依赖于 θ而且与 α密切相关.如图1(b) 所示, 当 α=-0.3时, AQ单调变化, 共振现象消失. 随着 α增大, A-Q曲线则重新出现共振峰, 峰值逐渐增大, 但峰的位置向 Q减小的方向移动. 故从图1(a) 和图1(b)中可发现, 适当延长时滞和增大反馈强度均有助于提升系统的输出响应 增强共振行为. 但二者使得共振峰位置的变化趋势相反, 增大反馈强度导致共振峰所对应的最优噪声强度减弱, 即增强了系统对质量涨落噪声的敏感性, 而增大时滞使得系统在较大的噪声强度处出现共振现象. 在复杂无序的非均匀环境中, 记忆时间 τ反映了介质分子对系统运动产生的记忆效应. 在图1(c)中, 随着 τ的增大, A-Q 曲线的峰值显著下降, 峰的位置向右移动, 且共振峰趋于平缓. 可见, 记忆时间的增大能够有效减弱系统的输出响应, 对质量涨落诱导的共振行为起到抑制作用. 记忆时间源于系统的内部噪声, 而噪声相关率 k则反映了环境介质分子对系统粒子随机吸附的特征. 在图1(d)中可观察到, 随着 k的增大, A-Q曲线的峰值先下降, 再上升, 峰的位置从左侧转移到右侧.

图1   θ,α,τkA-Q曲线的影响.

Fig.1   The effect of θ,α,τ and k on the curve of A-Q

且当k=0.5时, 共振峰变宽, 共振强度达到最弱. 这表明该共振现象密切依赖于二值噪声在两个固定值之间的转换概率, 即质量涨落噪声的相关率对系统的随机共振行为具有显著影响, 其共振强度随着相关率的增大先减弱, 后增强.

图2描述了稳态响应振幅 A作为周期驱动信号频率 Ω的函数, 讨论了时滞 θ、反馈强度 α、记忆时间 τ以及质量涨落噪声的相关率 kA-Ω曲线变化的影响(固定参数 Q=0.5β0=0.6). 特别地, A随着 Ω的变化出现了真实共振现象[9,37]. 在图2(a)中, 随着 θ的增大, A-Ω曲线的共振峰位置保持不变, 而峰值上升, 共振行为增强. 但从图2(b)中可看到, 当 α-0.4增加至0.4时, A-Ω曲线的峰值下降, 共振峰位置向 Ω增大的方向移动. 可见, 在一定参数范围内, 时滞反馈将有助于增强系统对周期驱动信号的响应强度, 但增强作用随着时滞的增大而加强, 随着反馈强度的增大而减弱. 进一步, 记忆时间 τA-Ω曲线的影响在图2(c)中被展示. 从该图中可发现, 存在最优记忆时间 (τ=0.2)能够最大化系统的输出响应, 使得共振强度达到最佳. 随着 τ的持续增大, 共振峰位置向左移动, 峰值下降, 即较长的记忆时间仍对随机共振呈现抑制作用. 最后, 图2(d)给出了A-Ω曲线随 k变化的趋势, 当 k„0.3时, A-Ω曲线出现了真实的双峰共振现象, 即随机多共振. 随着 k的增大, 两侧峰值逐渐减弱, 中间波谷开始上升. 当 θ,α,τ,时, 两侧共振峰完全消失, 中间波谷持续上升形成一个新的单峰共振现象. 这种现象是由于较小的二值噪声相关率导致系统的转换显著变慢, 在两个不同的周期驱动频率处出现真实共振现象, 但随着相关率的增大, 系统转换加快, 重新出现传统的单峰共振现象.

图2   k-ΩAθ,α,τ,曲线的影响.

Fig.2   The effect of k and -Ω on the curve of AA

稳态响应振幅θ也是时滞~的函数, 图3(a)α图3(d)分别展示了此函数随反馈强度Q, 质量涨落噪声强度β0, 阻尼系数τ以及记忆时间Ω=1.2的变化情况(固定参数k=1α).图3(a)中可观察到, 随着-θ的增大, Aα=0.1曲线出现了参数诱导的共振现象, 其峰值显著上升. 但对于较弱的反馈强度A, θ 几乎不再随着Q 的变化而改变. 时滞与反馈强度反映了时滞反馈在该系统中对输出响应的作用, 上述结果表明合理调整时滞反馈参数将能够有效提升系统对于驱动信号的输出响应. 在图3(b) 中, 随着(Q=0.9) 的逐渐增大, 共振峰位置向时滞增大的方向移动且峰值依次升高, 即质量涨落噪声强度与时滞对增强系统响应的作用呈现正相关关系, 这与图1(a)所示的结果一致. 但是, 当质量涨落噪声强度持续增大到一定值时β0, 共振现象消失. 此外, 阻尼系数τ与记忆时间β0是反映系统记忆效应的两个重要特征参数. 在图3(c)中, 共振峰随着τ 的增大而下降, 系统响应被减弱, 即阻尼效应增强对共振行为起到减弱作用. 而从图3(d)中观察到, 随着-θ的增大, Aα,Q,β0曲线的峰值先变大, 后变小. 故在复杂无序的非均匀环境中, 不同长短的记忆时间分别对系统的共振效应呈现增强作用和抑制作用, 然而合理协调时滞与记忆时间的关系将有助于提升系统的输出响应强度.

图3   τ-Aα,Q,β0Q曲线的影响.

Fig.3   The effect of τ and - on the curve of AΔt=0.01Q

3.2 数值验证

为检验上述理论结果的有效性, 有必要进行数值模拟验证. 采用四阶Runge-Kutta算法对方程(1)进行数值离散化, 为最大化减小误差, 选择时间步长为N=1.0×104, 数据长度为Fs=100. 在相同参数条件下重复获取600次系统的时间历程, 并对其作整体平均. 最后, 利用快速Fourier变换, 取采样频率f1.2, 得到系统的响应功率谱, 如图4(a) 所示. 响应功率谱在频率值Ω处出现显著针状尖峰, 与周期驱动频率~ 的值一致, 其峰值代表了系统对周期驱动信号的响应幅值. 可见, 在适当噪声强度下, 该响应幅值受时滞作用增大. 进一步, 在图4(b) Q图4(d)中, 数值模拟分别给出了系统稳态响应振幅关于质量涨落噪声强度Ω, 周期驱动信号频率θ以及时滞Ω的变化曲线, 并与理论结果对比. 数值结果与理论结果具有较好的吻合, 验证了理论结果的有效性. 但在不同系统参数下, 数值结果与理论结果的吻合程度略有差别, 在图4(c)中, 当驱动频率θ处于共振峰周围时, 由于噪声在该频段较为集中, 系统输出受噪声影响较大, 故吻合程度相对较差. 在图4(d)中, 随着时滞gmn(m,n=1,2,3,4)的增大, 误差相对增大, 这是由于理论结果是依据小时滞近似所获得, 符合实际现象. 总之, 通过数值仿真充分地体现了理论结果的合理性.

图4   系统(1)的响应功率谱, 稳态响应振幅的理论结果与数值模拟对比.

Fig.4   The power spectra of the system (1), the contrast between theoretical and numerical simulation

4 结论

本文研究了由时滞反馈、质量涨落噪声及周期驱动信号共同作用的具有记忆效应的欠阻尼系统的随机共振. 通过引入新变量, 并利用小时滞展开理论, 将广义Langevin方程描述的非马尔科夫系统嵌入为等价的马尔科夫线性系统. 进一步, 获得系统稳态响应振幅的解析表达式, 并分析了时滞反馈、质量涨落噪声及记忆核对其影响. 研究结果表明: 稳态响应振幅随质量涨落噪声强度的变化出现随机共振现象, 且共振行为随着时滞的增大而增强, 随着记忆时间的增大而减弱; 随着周期驱动信号频率的变化出现真实共振行为, 其中存在最优记忆时间使得共振峰值达到最优, 且较小的质量涨落噪声相关率使得系统出现随机多共振现象. 此外, 在适当参数范围内, 稳态响应振幅随着时滞的变化也出现共振现象. 相反于时滞对系统响应的增强作用, 较长的记忆时间仍对系统共振行为起到抑制作用, 合理控制时滞与记忆时间的变化关系将有助于增强系统对周期驱动信号的响应强度. 最后, 通过数值计算的输出响应振幅验证了理论结果的有效性.

该记忆阻尼模型在实际的物理及生物系统中被广泛应用, 特别地被应用于研究反常扩散现象, 比如研究黑体辐射中带电粒子的弹道扩散现象[14]. 上述结论分析了此非马尔科夫系统的共振行为, 在复杂环境中, 为深入研究介质分子的吸附能力及时滞反馈对系统共振行为的影响提供了理论依据.

附录 A

系数 g11=(m+0.5αθ2)s2+(β0-αθ)s+ω2+αg12=-1g13=m(s+k)2g14=[(m+0.5αθ2)s+(β0-αθ)]u1(0)+(m+0.5αθ2)u̇1(0)+m(s+2k)u3(0)+mu̇3(0)的具体表达式

g21=-τ-1β0g22=(s+τ-1)g23=-τ-1β0u1(0)+u2(0)g31=mQs2g32=(m+0.5αθ2)(s+k)2+(β0-αθ)(s+k)+ω2+αg33=-1g34=mQ[su1(0)+u̇1(0)]+[(m+0.5αθ2)(s+2k)+β0-αθ]u3(0)+(m+0.5αθ2)u̇3(0)g41=-τ-1β0(s+k)g42=s+k+τ-1g43=-τ-1β0u3(0)+u4(0)

fi(i=1,2,3,4)

附录 B

系数 f1=-1.5Ω2αθ2k2+2Ω2kαθ+Ω4m-Ω2ω2-Ω2α-3Ω2mk2+0.5Ω4αθ2-2Ω2kβ0+τ-1(-2.5αθ2Ω2k+k2β0+ω2k+αk-Ω2β0+mk3-5mΩ2k+0.5αθ2k3-k2αθ+2Ω2αθ)+τ-2(ω2+α-mΩ2+mk2-0.5αθ2Ω2+0.5αθ2k2-kαθ)的具体表达式

f2=Ω(k2β0+ω2k+αk-1.5Ω2αθ2k+mk3-Ω2β0-3mΩ2k+0.5αθ2k3-αθk2+αθΩ2)+Ωτ-1(-αθ2Ω2+2ω2+2α-2mΩ2

f3=[Ω2(mαθ-0.5β0αθ2-mβ0+0.5α2θ3)+τ-1(m2QΩ2-0.25α2θ4Ω2+0.5ω2αθ2+mω2-mαθ2Ω2+0.5α2θ2+αm+4mk2+2kβ0+2αθ2k2-3kαθ)+Ωτ-2(-αθ+kαθ2+2km)-m2Ω2)]k3+[Ω2(3m2Ω2-3mα+2αθβ0+0.75α2θ4Ω2-3mQΩ2-β02-2.5α2θ2-3mω2+3mαθ2Ω2-1.5ω2αθ2)+τ-1(αβ0-2mβ0Ω2-αθ2β0Ω2-α2θ+ω2β0+2.5α2θ3Ω2-ω2αθ+

5mΩ2αθ)]k2+[Ω2(5mβ0Ω2+3ω2αθ-3ω2β0+3α2θ+2.5αθ2β0Ω2-2.5α2θ3Ω2-5mΩ2αθ-3αβ0)+τ-1(α2-6α2θ2Ω2+2ω2α+5m2Ω4+5mΩ4αθ2-3αθ2Ω2ω2-6mΩ2α-6mΩ2ω2+3αθβ0Ω2+ω4+1.25α2θ4Ω4-5m2QΩ4)+τ-2(3mαθΩ2+1.5α2θ3Ω2-ω2αθ-α2θ)]k+Ω2(Ω2β02-α2-2ω2α+αθ2Ω2ω2-mΩ4αθ2+2mΩ2α+2mΩ2ω2+m2QΩ4-m2Ω4-ω4+2α2θ4Ω2-2αθβ0Ω2-0.25α2θ4Ω4)+Ω2τ-1(4α2θ+αβ0θ2Ω2-2β0ω2-2β0α+2β0mΩ2-4mαθΩ2+4αθω2-2α2θ3Ω2)+τ-2(α2-m2QΩ4-2α2θ2Ω2+mαθ2Ω4+ω4-αθ2Ω2ω2-2mΩ2ω2+2αω2+0.25α2θ4Ω4+m2Ω4-2mαΩ2)

f4=Ω[(m2QΩ2+mα+0.5α2θ2-0.25α2θ4Ω2+0.5ω2αθ2-m2Ω2-mαθ2Ω2+mω2)+τ-1(-0.5αθ2β0-mαθ+0.5β0αθ2-0.5α2θ3)]k3-Ω[(αθω2-4mαθΩ2-ω2β0-

2α2θ3Ω2-β0α+4mβ0Ω2+α2θ+2αθ2β0Ω2)+τ-1(-β0αθ+β02+4mαθ2Ω2-2ω2αθ2-4m2QΩ2-4mα-4mω2+α2θ4Ω2-3α2θ2+4m2Ω2-β02+2β0αθ)+τ-2(0.5α2θ3+mαθ)]k2+Ω[2ω2α-3m2QΩ4+0.75α2θ4Ω4-2Ω2β02+3m2Ω4-4mΩ2ω2+α2-4mΩ2α-2αθ2Ω2ω2+4αθβ0Ω2+3mαθ2Ω4-4α2θ2Ω2+ω4+2τ-1(β0ω2+β0α-2mβ0Ω2-αβ0θ2Ω2+2α2θ3Ω2-2αθω2-2α2θ+4mαθΩ2)+τ-2(2m2QΩ2+2mω2+ω2αθ2-2mαθ2Ω2-0.5α2θ4Ω2-2m2Ω2+2α2θ2+2mα)]k-Ω3(2ω2β0+2αβ0-2mβ0Ω2-αβ0θ2Ω2-2αθω2-2α2θ+α2θ3Ω2+2mαθΩ2)+Ωτ-1(2αβ0θΩ2+2ω2-4mαΩ2+4ω2α-4mΩ2ω2-2αθ2Ω2ω2+2α2-4α2θ2Ω2+2m2Ω4+0.5α2θ4Ω4+2mαθ2Ω4-2m2QΩ4)+Ωτ-2(α2θ3Ω2-2mβ0Ω2-2αθω2-2α2θ+2mαθΩ2)

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