力学学报  2018 , 50 (4): 847-852 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-083

Orginal Article

多层复合壳体三维振动分析的谱--微分求积混合法

叶天贵*, 靳国永, 刘志刚

哈尔滨工程大学动力与能源工程学院,哈尔滨 150001

A SPECTRAL-DIFFERENTIAL QUADRATURE METHOD FOR 3-D VIBRATION ANALYSIS OF MULTILAYERED SHELLS

Ye Tiangui*, Jin Guoyong, Liu Zhigang

College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China

中图分类号:  TH113,TB33

通讯作者:  *叶天贵,副教授,主要研究方向:振动噪声控制. E-mail:yetiangui@hrbeu.edu.cn*叶天贵,副教授,主要研究方向:振动噪声控制. E-mail:yetiangui@hrbeu.edu.cn

收稿日期: 2018-03-20

接受日期:  2018-03-20

网络出版日期:  2018-07-18

版权声明:  2018 力学学报期刊社 力学学报期刊社 所有

基金资助:  国家自然科学基金(51709066, 51775125)和中国博士后科学基金(2017M621252)资助项目

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摘要

对于较厚的多层复合壳体,其振动位移沿厚度方向呈锯齿形变化且层间剪切和拉、压应力呈三维耦合状态,采用传统的等效单层理论分析已不能满足精度要求. 建立不受结构厚度、铺层材料性质和铺层方式限制的三维分析方法具有重要的研究价值. 本文以独立铺层为建模对象,结合广义谱方法与微分求积技术建立了一种适用一般边界条件和铺层方式的多层复合壳体三维分析新方法——谱--微分求积混合法. 该方法应用三维弹性理论对独立铺层进行精确建模,有效克服了二维简化理论对横向变形以及层间应力估计不确切的缺点;引入微分求积技术对铺层进行数值离散,将三维偏微分问题转化为二维偏微分问题,降低了求解维度和难度;应用广义谱方法近似地表述离散计算面上的场变量,将获取的二维偏微分方程转化为以场变量谱展开系数为未知量的线性代数方程组,避免了对超越方程的求解. 数值验证结果表明该方法收敛性好,计算精度高.

关键词: 多层复合壳体 ; 三维振动 ; 谱--微分求积混合法 ; 一般边界条件

Abstract

The equivalent single layer (ESL) theories can be grossly in error for predicting vibration characteristics of thick multilayered shells because the vibration displacement and stress field of such shells under vibration are in full 3-D coupling condition. It is necessary to develop more accurate and efficient methods which are capable of dealing with multilayered structures with different boundary conditions, general laminations as well as arbitrary thickness universally. In order to overcome the drawback of the existing three-dimensional methods that are only confined for very limited cases such as cross-ply laminated rectangular plates under simply-supported boundary conditions, a general spectral-differential quadrature method is proposed. This method is undertaken by the exact 3-D elasticity theory so that it’s able to study very well the dynamic behavior of thick multilayered structures which cannot be provided by the 2-D ESL theories. In each individual layer, the transverse domain is discretized by the differential quadrature technique. The displacement fields of the discretized surfaces are selected as fundamental unknowns. Then, each fundamental unknown is invariantly expanded by the general spectral method as a series of complete, orthogonal polynomials. The problems are stated in a variational form by the aid of penalty parameters which provides complete flexibilities to describe any prescribed boundary conditions. The current method can successfully avoid solving a highly nonlinear transcendental equation that is rely on roots-locating numerical method and all the modal information can be obtained just by solving linear algebraic equation systems. Numerical verification shows that the proposed method has high calculation precision. The method can be directly extend to the static and dynamic analysis of multilayered shells as well.

Keywords: multilayered shells ; 3-D vibration ; spectral-differential quadrature method ; general boundary restraints

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叶天贵, 靳国永, 刘志刚. 多层复合壳体三维振动分析的谱--微分求积混合法[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 847-852 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-083

Ye Tiangui, Jin Guoyong, Liu Zhigang. A SPECTRAL-DIFFERENTIAL QUADRATURE METHOD FOR 3-D VIBRATION ANALYSIS OF MULTILAYERED SHELLS[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 847-852 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-083

引言

多层复合结构广泛应用于航空航天、高速列车、防卫装备等高科技行业,其振动特性分析一直是相关领域的研究焦点之一[1,2,3]. 常用的多层复合结构振动建模理论主要有:经典等效单层理论、剪切变形理论、锯齿理论和三维层合理论四大类[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13]. 经典等效单层理论和剪切变形理论都是传统的板壳理论对多层复合结构的直接推广应用. 这两种理论先在厚度方向上把多层复合结构等效成各向异性的单一薄层,然后用结构中面的位移或者应力分量描述结构的整体振动行为. 由于组成材料的各向异性 及呈层性等特点,多层复合结构受载后的应力状态和振动行为十分复杂,其振动位移沿厚度方向呈锯齿形分布且层间剪切和拉、压应力呈三维耦合状态. 因此,当结构厚度比 较大或者各层材料差异较为明显时,位移连续但层间应力不连续的等效单层理论的建模误差急剧增大. 锯齿理论是以上述两类理论为基础,结合层间应力连续条件而得到的理论. 这类理论一般通过在结构的面内位移分量添加锯齿函数从而使横向剪切应力满足层间连续条件. 但该理论一般不满足上下表面自由边界条件也无法得到准确的层间应力[12]. 直接应用三维层合理论可以满足位移和横向应力层间连续条件,这一理论和等效单层理论及锯齿理论最大的区别在于结构的每一个子层都看作是用独立的函数来描述的三维实体. 众所周知,只有边界条件和铺层方式简单的少数规则结构才能得到解析解,对其他较为复杂的边界条件、铺层方式以及结构形式,只能借助数值方法或者其他近似解法来求解[14].

针对已有的大多数三维求解方法仅能求解少数形状规则,边界条件简单且铺层方式正交铺设的多层复合结构的限制,本文以独立铺层为建模对象,结合广义谱方法与微分求积技术建立了一种适用一般边界条件和铺层方式的多层复合壳体三维分析半解析方法——谱--微分求积混合法,以期为多层复合壳体振动计算分析提供高效可靠的参考方法.

1 多层复合壳体三维振动力学模型

1.1 分析模型

考虑如图1所示的多层复合壳体. 假设参考坐标系为正交曲线坐标系 αβζ. 其中, αβ沿底面的主曲率线方向, ζ沿厚度方向; u, vw为壳体上任意一点沿 α, βζ方向的位移分量; RαRβ代表 αβ方向的主曲率半径.

图1   多层复合壳体模型及参考坐标系.

Fig. 1   Schematic illustration of a multilayered shell and the curvilinear coordinate system

1.2 几何方程及物理方程

当壳体因振动产生微小位移时,壳体上任意点的6个应变分量为

其中, εα, εβ, εζ分别表示主应变, γαβ, γαζ, γβζ为面内及横向剪切应变, AαAβ为Lamè常数[15].

1.3 计算面选取及应变应变分量计算

本文方法先从独立子层入手,沿子层厚度方向配置若干计算面并引入微分求积技术将结构的三维偏微分问题转化为二维偏微分问题进行求解.

假设第 k子层上下表面横向坐标分别为 ζk+1ζk. 为了提高方法收敛性和计算速度,本文所选取的各计算面满足切比雪夫零点分布形式,各计算面横向坐标为

ζk1=ζkζkJk=ζk+1ζkj=ζk1+ζkJk2-hk2cos2jπ-3π2Jk-4,j=2,3,(2)

式中, Jk表示计算面总数, hk为第 k子层厚度.

将第 k子层第 j计算面的位移分量、Lamè常数和应变分量定义为

u(ζkj)=ukj,Aα(ζkj)=Aαkjv(ζkj)=vkj,Aβ(ζkj)=Aβkjw(ζkj)=wkj,Aζ(ζkj)=Aζkj(3)

εα(ζkj)=εαkj,γβζ(ζkj)=γβζkjεβ(ζkj)=εβkj,γαζ(ζkj)=γαζkjεζ(ζkj)=εζkj,γαβ(ζkj)=γαβkj(4)

因此,将式 (3)和式(4)代入式(1)并进行微分求积可得 εαkj=1Aαkjukjα+vkjAαkjAβkjAαkjβ+wkjAαkjrakjrAαkrεβkj=ukjAαkjAβkjAβkjα+1Aβkjvkjβ+wkjAβkjrakjrAβkrεζkj=rakjrwkrγβζkj=1Aβkjwkjβ+AβkjrakjrvkrAkβr*γαζkj=1Aαkjwkjα+AαkjrakjrukrAkαr*γαβkj=AβkjAαkjαvkjAβkj+AαkjAβkjβukjAαkj(5)

式中,权重系数 akjr表达式如下所示

akjr=1ζkr-ζkjsr,jJkζkj-ζksζkr-ζks,rj-rjakjr,r=j(6)

根据拉格朗日插值定理,结构第 k子层的整体位移分布、几何分量分布及应变分布可写为

u,v,w=Lkj(ζ)jukj,vkj,wkj{Aα,Aβ,Aζ}=Lkj(ζ)jAαkj,Aβkj,Aζkjεα,εβ,εζ=Lkj(ζ)jεαkj,εβkj,εζkjγβζ,γαζ,γαβ=Lkj(ζ)jγβζkj,γαζkj,γαβkj(7)

其中 Lkj(ζ)为拉格朗日插值多项式,定义如下

Lkj(ζ)=rjJkζ-ζkrζkj-ζkr,ζk1#x2264;ζ#x2264;ζkJk(8)

根据胡克定律,第 k子层上任一点的应力状态可由下列方程直接求得 σk=TkCkTkTεkσk=[σα,σβ,σζ,τβζ,ταζ,ταβ]Tεk=[εα,εβ,εζ,γβζ,γαζ,γαβ]T(9)

式中, σα, σβ, σζ分别表示沿 α, β, ζ方向上的正应力; ταβ, ταζ, τβζ为面内和横向剪切应力, Ck为材料主方向的材料弹性常数,转换矩阵 Tk与材料铺层方式有关,一般为材料主坐标与结构主坐标夹角的函数[20].

k子层的振动应变能及动能量方程可写为

Usk=12αβζkζk+1εkTTkCkTkTvkAαAβAζdζdβdαTk=12αβζkζk+1ρk(u̇2+v̇2+ẇ2)AαAβAζdζdβdα(10)

借助哈密尔顿变分原理,式(10)可推导得到到结构的振动控制微分方程,具体形式参考文献[17].

1.4 子层特征矩阵及整体方程求取

多层复合壳体的边界条件可以分为3大类:几何边界条件、自然边界条件和混合边界条件. 在实际求解中,只有几何形状规则、至少一对边简支、铺层对称的极少数多层复合结构才能找到既满足控制微分方程又满足边界约束条件的解析解. 对于其他情况,可将结构的边界条件方程和控制微分方程转化成能量泛函,然后通过求解泛函的极值问题进行求解. 本文考虑几何边界条件下层合壳体的振动问题,为了适用一般边界条件,通过引入罚函数,将边界约束条件改写为如下泛函

Πpk=12ζkζk+1l=01kkuαlu2+kkvαlv2+kkwαlw2|α=αlAβAζdζdβ+12ζkζk+1l=01kkuβlu2+kkvβlv2+kkwβlw2|β=βlAαAζdζdα(11)

式中 kkuαl,kkvαl,kkwαl,kkuβl,kkvβl,kkvβl为罚参数. 上述处理方法克服了传统解析方法难以找到满足边界条件展开式的 困难,极大拓宽了展开式的选择范围. 表1给出了不同边界条件下罚参数的取值情况.

表1   不同边界条件下罚参数的取值情况(α=αl边)

Table 1   Penalty parameters for various classical boundaries (at the end of α=αl)

Boundary conditionsPenalty parameters
kkuαlkkvαlkkwαl
free (σα=0;ταβ=0;ταζ=0)000
simply-supported (σα=0; v=0; w=0)0103E_1103E_1
clamped (u=0;v=0;w=0)103E_1103E_1103E_1

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考虑到Chebyshev多项式良好的稳定性和收敛性,本文借助其来表述计算面上的场变量,从而将获取的二维偏微分方程转化为以场变量展开系数为未知量的线性代数方程组,避免了对超越方程的求解. 第 k子层第 j计算面上的各位移分量可延展为

ukj(α,β,t)=n=1Nm=1Mukjmn(t)Tm(α)Tn(β)vkj(α,β,t)=n=1Nm=1Mvkjmn(t)Tm(α)Tn(β)wkj(α,β,t)=n=1Nm=1Mwkjmn(t)Tm(α)Tn(β)(12)

其中, ukjmn, vkjmn, wkjmn为展开系数. 非负整 TnTm分别为第 nm阶Chebyshev多项式. MN为截断量. 必须说明的是, αβ的定义域为 [-1,+1],在实际计算中需要进行坐标变换.

由式(10)和式(11)可知,子层 k的最终能量泛函可以写为

Πktotal=Tk-Usk-Πpk(13)

将计算面位移表达式(12)代入式 (13),经变分得到第 k子层的振动特征矩阵为

Kk-ω2MkGk=0(14)

式中, KkMk为刚度和质量矩阵, Gk为系数向量.

层合结构层间界面需要满足位移连续和横向应力连续两个条件. 本文解法属于基于能量变分原理的位移解法,当所求得的解满足层间位移连续条件,层间横向应力连续条件将自动满足[17]. 为了便于后续层与层之间特征矩阵的装配,在式(2)中,每一子层的上下表面分别选为该层的第一和最后一个计算面. 因此,式(14)中刚度/质量矩阵的第一行和最后一行分别为计算面位移场 uk1, vk1, wk1ukJk, vkJk, wkJk的刚度/质量矩阵元素. 从物理角度来说,第 k层的第一个计算面与第 k-1层的最后一个计算面为同一个计算面,第 k层的最后一个计算面与第 k+1层的第一个计算面为同一个计算面. 因此,将所有子层的刚度/质量矩阵中共面的元素相叠加即可得到多层复合壳体的整体矩阵方程,组装方式如图2所示(质量矩阵和系数向量同理可得). 通过对整体矩阵方程进行特征值分解即可得到壳体振动特性信息.

图2   整体刚度矩阵组装方式

Fig. 2   Assemblage of the global stiffness matrix

2 多层复合壳体振动算例与讨论

在前面推导的基础上,文中通过多层复合板和圆柱壳算例来验证方法的可靠性. 下文采用字母F,S,C来表示自由、简支和固支边界条件.

2.1 多层复合板算例分析

表2给出了 [0/90]2[0/90]4多层复合板的无量纲基频 Ω=ωhρ/E2与文献[18,19]的对比情况. 文献[18]采用的是状态空间与微分求积混合架构的半解析解法,其边界条件采用混合变量的方式直接描述,而文献[19]采用的是基于广义变分的位移解法. 复合板的材料和几何参数分别为: E1=40E2, G12=G13=0.6E2, G23=0.5E2, ν12=ν13=0.25, ν23=0.49; a=b=1, h/a=0.1. 计算面数 Jk=5,面内截断量取 M=N=15. 可以看出,各种边界条件下,本文方法得到的解与文献[18,19]的数据对比吻合良好,最大偏差分别小于0.26%和0.25%, 从而说明了本文方法的正确性.

表2   [0/90]2[0/90]4复合板无量纲基频

Table 2   The fundamental frequency parameter Ω of [0/90]2 and [0/90]4 laminated plates

LayoutBoundaryFrequency parameters Ω
Ref.[18]Ref.[19]This paper
[0/90]2S-S-S-S0.145 00.145 00.145 0
C-S-S-S0.165 50.165 50.165 5
C-S-C-S0.188 00.187 50.187 8
[0/90]4S-S-S-S0.155 70.155 70.155 7
C-S-S-S0.177 90.177 80.177 8
C-S-C-S0.201 80.201 30.201 7

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表3给出了[0/90/0]复合板前四阶无量纲频率的收敛情况. 复合板的 材料和几何参数与表2所用一致,面内截断量取 M=N=15. 可以看出,四边自由和四边简支边界条件下,计算面数取 Jk=4Jk=6的两组解相等,从而说明了本文方法收敛性良好.

表 3   [0/90/0]三层复合板无量纲频率收敛情况

Table 3   Convergency of frequency parameters Ω of [0/90/0] laminated plates

BoundaryJkFrequency parameters Ω
1234
F-F-F-F30.048 60.095 60.132 20.237 6
40.048 60.095 20.131 90.235 1
50.048 60.095 20.131 90.235 1
60.048 60.095 20.131 90.235 1
S-S-S-S30.147 10.218 30.243 30.243 3
40.147 00.217 10.243 30.243 3
50.147 00.217 10.243 30.243 3
60.147 00.217 10.243 30.243 3

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表4给出的是四边简支软芯夹层方板( h/a=0.1)的无量纲频率参数 与文献[20]的对比情况,其中, mλnλ分别表示长度和宽度方向的振动波数. LW和ESL分别代表文献中基于分层理论(LW)和单层等效理论(ESL)给出的解. 该夹层板由复合表层与软芯中间层复合而成, 即[0°/90°/core/0°/90°],各层厚度比为1:1:20:1:1. 各层材料参数[ E1, E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13, G23, ρ]为:表层-[131 GPa, 10.34 GPa, 10.34 GPa, 0.22, 0.22, 0.49, 6.895 GPa, 6.205 GPa, 6.895 GPa, 1 627 kg/m3], 芯-[6.89 GPa, 6.89 GPa, 6.89 GPa, 0, 0, 0, 3.45 GPa, 3.45 GPa, 3.45 GPa, 97 kg/m3]. 计算面数取 Jk=5,面内截断量取 M=N=15. 对比结果一方面说明了等效单层理论计算误差较大.

表 4   四边简支[0°/90 °/core/0°/90 °]软芯夹层板无量纲频率 参数

Table 4   Frequency parameters Ω of [0°/90°/core/0°/90 °] sandwich plates of S-S-S-S restraint

Modes(mλ,nλ)Jface-Jcore-JfaceRef.[20]
4-7-45-9-5LWESL
, 11.8491.8491.8484.962
, 23.2223.2223.2208.193
, 24.2924.2924.28910.30
, 35.2285.2275.22311.99
, 36.0996.0996.09413.75
, 37.6837.6837.67616.45

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2.2 多层复合圆柱壳算例分析

表5给出了不同边界条件和周向波数下一软芯夹层圆柱壳结构的第一阶固有频率与文献[21]的对比情况. 其中, n表示周向波数. 该圆柱壳表层为金属铝,夹层的材料参数与表3所用的芯体材料相同. 计算面数取 Jk=5,面内截断量取 M=15. 可以看出,本文方法具有良好的计算精度.

表 5   不同边界条件下软芯夹层圆柱壳第一阶频率

Table 5   The first frequencies of sandwich circular cylindrical shell for different boundary conditions

nF-FS-SC-C
Pre.3D[21]Pre.3D[21]Pre.3D[21]
296.1295.9445.2444.8455.5455.0
16.8716.89251.7251.5293.4292.6
35.9035.88152.6152.5204.8203.8
57.5757.54112.3112.2157.9156.9
82.8882.85108.7108.6140.2139.3
112.4112.3126.5126.4145.2144.6
146.3146.3156.0155.9166.6166.2
184.8184.8192.7192.7199.0198.7

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3 结 论

本文以独立铺层为建模对象,结合广义谱方法与微分求积技术建立了一种多层复合壳体三维分析新方法——谱--微分求积混合法. 该方法的特点为:(1)应用三维弹性理论对独立铺层进行精确建模;(2)引入微分求积技术对铺层进行数值离散,从而将三维偏微分问题转化为二维偏微分问题;(3)应用广义谱方法近似地表述离散计算面上的场变量,从而将获取的二维偏微分方程转化为以场变量谱展开系数为未知量的线性代数方程组. 与传统三维求解方法相比,谱--微分求积混合法在处理不同边界条件、铺层方式时具有很好的普适性和灵活性. 针对给定的不同边界条件和铺层方式,仅需要通过改变相关参数设置来完成边界约束的施加和铺层方式的配置而不需要逐一重新编程处理. 数值验证结果表明该方法收敛性好,计算精度高.

The authors have declared that no competing interests exist.


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