力学学报  2018 , 50 (4): 837-846 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-039

Orginal Article

基于迭代法的非线性弹性均质化研究

侯淑娟1*, 梁慧妍1, 汪全中1, 韩旭12

1湖南大学机械与运载工程学院, 长沙 410006
2河北工业大学机械工程学院, 天津 300401;

STUDY ON NONLINEAR ELASTIC HOMOGENIZATION WITH ITERATIVE METHOD

Hou Shujuan1*, Liang Huiyan1, Wang Quanzhong1, Han Xu12

1College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410006, China
2College of Mechanical Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300401, China;

中图分类号:  O343.5

文献标识码:  A

通讯作者:  *侯淑娟, 教授, 主要研究方向: 计算固体力学及其应用. E-mail:shujuanhou@hnu.edu.cn*侯淑娟, 教授, 主要研究方向: 计算固体力学及其应用. E-mail:shujuanhou@hnu.edu.cn

版权声明:  2018 力学学报期刊社 力学学报期刊社 所有

基金资助:  国家自然科学基金(11572122)和汽车轻量化111创新引智基地(B16015)资助.

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摘要

微观结构对复合材料的宏观力学性能具有至关重要的影响, 通过合理设计复合材料微观结构可以得到期望的宏观性能. 均质化方法作为一种有效的设计方法, 它从微观结构的角度出发, 利用均匀化的概念, 实现了对复合材料宏观力学性能的预测和设计. 而当考虑非线性因素, 均质化的实现就非常困难. 本文利用双渐近展开方法, 将位移按照宏观位移和微观位移展开, 推导了非线性弹性均质化方程. 通过直接迭代法, 对非线性弹性均质化方程进行了求解, 并给出了具体的迭代方法和实现步骤. 本文基于迭代步骤和非线性弹性均质化方程编写MATLAB 程序, 对3种典型本构关系的周期性多孔材料平面问题进行了计算, 对比细致模型的应变能、最大位移和等效泊松比, 对程序及迭代方法的准确性进行了验证. 之后对一种三元橡胶基复合材料进行多尺度均质化, 将其分为芯丝尺度和层间尺度. 用线弹性的均质化方法得到了芯丝尺度的等效弹性参数, 并将其作为层间尺度的材料参数. 在层间尺度应用非线性弹性均质化方法对结构进行计算, 得到材料的宏观等效性能, 并以实验结果为基准进行评价.

关键词: 非线性弹性 ; 均质化 ; 渐近展开均质化方法 ; 迭代 ; 多尺度 ; 周期性复合材料

Abstract

Microstructure is critical to affect or change the macroscopic mechanical properties of composites, and the desired material properties can be obtained by rationally designing the composite microstructure. As an effective design method, homogenization method is used to obtain and design the macro-mechanical properties on the basis of microstructure. However, once considering the nonlinear factors, the realization of homogenization can be very difficult. Therefore, this paper focuses on the nonlinear elastic homogenization of composite materials by theoretical deduction, and solves the problem by direct iteration method. In this study, the equation of nonlinear elastic homogenization is deduced by the asymptotic expansion homogenization method. The iterative steps of direct iteration method are given to solve the nonlinear elastic homogenization equation. According to the iterative steps and the nonlinear elastic homogenization equation, the program in MATLAB language is obtained. The porous materials with three typical constitutive relations are chosen to be the study object. The program and iterative method is verified by comparing the strain energy, maximum displacement and equivalent Poisson’s ratio with the results of detailed model. Then, the application of nonlinear elastic homogenization method is extended to three-dimensional composite materials with multi-scale periodic microstructure, a three-element rubber-based composite material. It is divided into core-scale and layer-scale and homogenized with multi-scale homogenization method. The equivalent elasticity modulus of the core-scale are obtained by linear elastic homogenization method and used as a parameter of a component in layer-scale. Then, the nonlinear elastic homogenization method is used for layer-scale. The macroscopic equivalent performance of the material is obtained and compared with experimental results. The nonlinear elastic homogenization method has certain guiding significance and reference value for the nonlinear homogenization and microstructure design of the composite material.

Keywords: nonlinear elastic ; homogenization ; asymptotic homogenization method ; iteration ; multi-scale ; periodic composite materials

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侯淑娟, 梁慧妍, 汪全中, 韩旭. 基于迭代法的非线性弹性均质化研究[J]. 力学学报, 2018, 50(4): 837-846 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-039

Hou Shujuan, Liang Huiyan, Wang Quanzhong, Han Xu. STUDY ON NONLINEAR ELASTIC HOMOGENIZATION WITH ITERATIVE METHOD[J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 837-846 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-039

复合材料的宏观性质主要取决于由多相材料构成的微观结构. 通过适当的微观结构设计, 复合材料的性能甚至可以超过组分中任何的单相材料bib1. 因此, 分析微观结构的影响是评估复合材料整体宏观性能的关键. 对于微观结构简单和非均质性程度较低的复合材料, 可以通过解析的方法求得其宏观性能参数.

研究者[2-3]对微观结构较为简单的夹杂材料展开了大量的研究. 基于统计均匀性条件和MMM (micro-mini-macro)原理, Hashin和Shtrikman研究了有效张量的理论界限bib4. 研究人员在许多方面对H-S模型进行了补充和改进, 如泊松比界限bib5和多相材料bib6. Mori-Tanaka方法认为在复合材料的代表性体积元中, 单夹杂问题中的远场作用应变为基体的平均应变. 对于没有基体的多晶体材料, Budiansky 等bib7提出了自洽方法, 该方法认为另外的物质点对特定的一个物质点的作用能够用平均场等效, 忽略了不同物质点的相互作用. 张庆华等bib8 用自洽方法得到了混凝土弹性模量的均质化计算公式, 该方法可以同时满足平衡条件和连续性条件. 朱合华等bib3提出了一种新的参考介质下两相夹杂材料的有效模量表达式, 较传统有效介质方法的计算精度有所提升.

虽然基于夹杂物的均质化方法已经考虑了微结构, 但仅适合微观结构简单的复合材料. 对于具有复杂周期性结构的材料, 代表性体积元法与渐进展开方法能够给出很好的宏观性能预测结果. 但体积元法并不具有严格的理论推导, 理论上不够严谨. 相比之下, 基于摄动理论的双渐近展开方法具有严格的数学推导, 在数学上是完备的[1,9]. 从最小势能原理和有限元法的基本思想出发, 对胞元拉伸和剪切载荷下的细观力学分析;通过引进新的特征函数, 将计算特征函数的非齐次方程转化为齐次, 得到具有精确周期性边界条件的双渐进展开均质化方法. 魏志刚等[10]通过模拟颗粒随机分布的复合材料, 应用渐进展开方法预测出材料的宏观等效弹性参数, 研究颗粒的统计特性, 探讨了颗粒尺寸、分布状态和几何形态差异对宏观复合材料特性的影响. 王飞等[11]应用双渐进展开均质化方法研究了不同相对密度下规则蜂窝结构的等效弹性模量和泊松比. 与线性问题相比, 均质化的非线性问题要困难得多[12]. Hill[4] 提出了用增量迭代的方式解决黏弹性问题, 为解决非线性均质化问题提供了解决方案. Doghri等[13]开发了两相弹塑性复合材料的均质方法和数值算法, 并应用Hill 型增量公式模拟了卸载和周期载荷的过程. Andrianov 等[14]使用一维模型研究了非线性弹性材料中的波动传播. 该模型虽然简单, 但仍显示出主波特性的非线性效应. 对于非线性随机复合材料, 代表性体积元的尺寸可以通过使用增量均匀化方法来确定[15].

为了拓展非线性均质化方法的应用, 本文将基于非线性弹性问题对周期性复合材料展开研究. 从基本理论出发, 推导出非线性弹性均质化公式, 并利用程序语言进行实现. 为了验证方法的可靠性, 将对二维平面问题进行研究, 并针对三维空间问题探讨多尺度下均质化方法的应用.

1 非线性弹性均质化

1.1 非线性弹性均质化理论

基于均匀化的理论, 周期性复合材料的边值问题可以分解为局部(微观)问题和全局(宏观)问题. 周期性复合结构及代表性体积元结构如图1所示, xi表示宏观坐标, yi表示微观坐标, Ω表示周期性复合材料的整体结构, Y表示一个代表性体积元, 1Ω2Ω表示周期性复合材料的边界条件bib1. 假设无初始应力和初始应变, 仅考虑小变形和应变.

图1   周期性复合材料及代表性体积元.

Fig.1   Periodic composite materials and RVE

当单位体积元相对于整个目标区域足够小时, 可以引入一个小参数ε(ε1), 令y=x/ε, 将宏观坐标xi和微观坐标yi关联起来[1]. 每一个跟坐标相关的量都可以用宏观坐标xi和微观坐标yi表示. 依照复合函数的链式求导法则, 应有

xε=x+1εy

按照渐进展开的方法, 可以将位移基于 ε进行展开. 一般而言, 式子展开到 ε的二次项就已经可以满足精度要求了, 所以忽略三阶以及三阶以上的展开项. 得到的式子将是宏观位移和微观位移的函数[12,16-17]

ui(x,y)=ui(0)(x,y)+εui(1)(x,y)+ε2ui(2)(x,y)

将位移的展开式(2)代入几何方程, 结合式(1), 可得到宏观和微观坐标系下的应变表达[12,17]

εij=ε-1εij(0)+ε0εij(1)+εεij(2)+O(ε2)

其中

εij(0)=12(ui(0)yj+uj(0)yi)εij(1)=12(ui(0)xj+uj(0)xi+ui(1)yj+uj(1)yi)εij(2)=12(ui(1)xj+uj(1)xi+ui(2)yj+uj(2)yi)

再将式(3)代入物理方程中, 可以得到

σij=ε-1σij(0)+ε0σij(1)+εσij(2)+O(ε2)

其中, 对于非线性弹性问题, 由于弹性矩阵 D不再是常量而是与应变有关, 故有 σij(n)=Dijkl(ε)εkl(n), n=0,1,2.

将式(5)代入平衡方程中, 可得

ε(-2)σij(0)yj+ε(-1)(σij(0)xj+σij(1)yj)+ε(0)(σij(1)xj+σij(2)yj+fi)+L=0

对于不同具体问题, 宏观坐标 xi和微观坐标 yi的关系常数 ε是不同的. 若要使得等式恒成立, 唯有使等式左端括号内的式子都等于0. 即有下列各式

ε(-2):σij(0)yj=0

ε(-1):σij(0)xj+σij(1)yj=0

ε(0):σij(1)xj+σij(2)yj+fi=0

式(6)中对微观坐标积分为0, 即 σij(0)与微观坐标 yj无关, 仅与宏观坐标 xi有关, 即

σij(0)=σij(0)(x)

根据式(4)和式(5), 以二维为例, 将张量展开, 利用了弹性张量的对称性, 得

σij(0)(x)=12Dijkl(ε)(uk(0)yl+ul(0)yk)=12[Dij11(ε)(2u1(0)y1)+Dij12(ε)(u1(0)y2+u2(0)y1)+Dij21(ε)(u2(0)y1+u1(0)y2)+Dij22(ε)(2u2(0)y2)]=Dij11(ε)u1(0)y1+Dij12(ε)u1(0)y2+Dij21(ε)u2(0)y1+Dij22(ε)u2(0)y2=Dijkl(ε)uk(0)yl

依据上式及材料周期性关系, 可以进一步得到

σij(0)(x)=0,ui(0)yj=0

将式(11)代入式(7), 可得

σij(1)yj=yj[Dijkl(ε)(uk(0)xl+uk(1)yl)]=0

引入一个特征位移 χikl, 将 ui(1)uk(0)的导数表示[12,17]

ui(1)=-χikluk(0)xl

然后, 将式(13)代入式(12), 可得

yi[Dijkl(ε)(Iklmn-χkmnyl)]=0

对式(14)进行整个体积元上的积分, 可以得到宏观等效参数

DijmnH(ε)=1|Y|YDijkl(ε)(Iklmn-χkmnyl)dY

1.2 非线性弹性均质化实现

线弹性问题可以由式(15)退化得到, 其等效弹性参数可以表示为bib14

DijmnH=1|Y|YDijkl(Iklmn-χkmnyl)dY

其中, Dijkl成为了一个不变量, 是一个常数弹性张量, 它和代表性体积元的真实应力水平无关. 在线弹性问题中, 特征位移 χkmn可通过解如下辅助变分问题求得bib17

YDijklχkmnylviyjdY=YDijmnviyjdY,viṼY

其中 vi是测试位移, ṼY是关于微观坐标连续并且关于微观坐标均值为零的正则函数. 特征位移 χkmn是体积元受到单位应变和周期性边界条件下的解.

对于式(16)和式(17)可以利用有限元方法进行求解. 依照有限单元法的思想, 特征位移可以用节点的位移 uI和形函数 NI表示bib16

χ=NIuI

结合有限元方法的格式, 式(16)可以写成矩阵形式bib1

DH=1|Y|Y(I-BIuI)TD(I-BIuI)dY

为避免重复计算刚度矩阵, 将式(19)中的 D矩阵左端提取 BI的逆矩阵, 右端提取 BI, 将 D矩阵转化为刚度矩阵 K

DH=1|Y|(BI-1I-uI)TK(BI-1I-uI)

要得到产生特征位移 χ的节点位移 uI, 需要先求得代表性体积单元在周期性边界条件下产生单位应变需要的节点力, 再将节点力施加到节点上, 反求位移 uI. 对于二维问题来说, 施加的应变情况有3种bib16

ε0(11)=100,ε0(22)=010,ε0(12)=001

对于非线性弹性问题, 等效弹性参数依照式(19)写成矩阵形式

DH=1|Y|Y(I-BIuI)TD(ε)(I-BIuI)dY

对于非线性弹性问题, 由于弹性矩阵 D不再是常量, 因此需要采用迭代的方式得到其数值解. 本文选用直接迭代法进行迭代计算的编程实现. 在实现过程中, 由于边界条件以及载荷都是周期性的, 因此用整体的平均应变代替实际应变. 迭代计算的步骤如下.

(1) 给定一个初始应变 ε(0), 计算初始割线弹性矩阵 D(0),n=0

(2) 计算等效弹性矩阵 D(n)H

D(n)H=1|Y|Y(I-BIuI)TD(n)(I-BIuI)dY

(3) 计算第 n次近似应变 ε(n+1)

ε(n+1)=ε̅

(4) 判断收敛条件, 如果收敛, 停止迭代, 输出结果; 否则, 转到步骤(2), 继续进行迭代.

2 二维非线性弹性问题

为了验证方法的精度, 本文采用3种典型的非线性本构关系, 以细致模型的计算结果为基准, 从应变能、泊松比和最大位移等方面对多孔材料的均质模型进行了评估.

2.1 材料本构关系

在本章中, 选取了双线性函数, 指数函数和幂函数作为典型的非线性弹性本构方程, 见表1. 假设研究对象是应变率不敏感材料, 应力‒应变关系可以通过显式的方法给出.

表1   本构关系方程表达式

Table 1   The constitutive relation expression

Constitutive2*Equation
relation
power functionσ=2ε1.5
bilinear functionσ=0.2ε,ε0.010.1ε+0.001,ε>0.01
exponential2*σ=0.3(eε-1)
function

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2.2 均质化模型

本文采用如图2所示的多孔材料周期性结构bib1作为研究对象. 模型的整体尺寸是 10×10, 体积元的尺寸为 1×1, 体积元中的圆孔直径为 d.d作为研究变量, 研究结构 d对精度的影响. 模型的左侧和下方施加简支边界条件: 在模型的右侧在 x方向施加单位均布拉力. 多孔材料实体部分分别应用表1中的三种典型本构关系.

图2   多孔材料结构示意图.

Fig.2   Porous material structure

对于这样一个二维结构可以作为平面应变问题处理. 根据平面应变的定义, 结构的泊松比为[17-18]

v'=-εyεx

2.3 均质化结果

针对3种本构关系下的平面结构, 计算了它们 x方向的最大位移、结构应变能和结构泊松比, 并且与其细致模型计算结果进行了对比. 细致模型即图2所示的平面多孔材料周期性结构的整体结构模型, 包含所有的体积元体. 图 3~图5的图例中, 后缀“homo”表示均质模型结果, 后缀“re_T” 和“re_Q”分别表示三角形网格和四边形网格细致模型结果. 根据对材料体积元圆孔所设置的一系列直径参数 d(d=0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8), 每种材料都对不同的直径参数进行了计算.

图3   多孔材料应变能.

Fig.3   The strain energy of porous material structure

图4   多孔材料x方向最大位移.

Fig.4   The maximum deformation along x axis of porous material structure

图5   多孔材料等效泊松比.

Fig.5   The equivalent Poisson’s ratio of porous material structure

细致模型和等效的均质模型的应变能如图3所示. 随着直径d的增大, 模型的应变能也在增加, 细致模型和均质模型之间的误差逐渐增大. 对于3种不同的本构关系, 指数函数本构关系的应变能误差最稳定, 而且是最小的. 在计算幂函数本构关系模型的时候, 还探究了细致模型网格类型差异的影响. 幂函数的均质模型应变能大于具有三角形网格的幂函数细致模型但小于具有四边形网格的幂函数细致模型. 必须指出的是, 具有四边形网格的模型由于过软的效应而在应变能方面提供了上限解. 但是一般来说, 在充分小的网格密度下, 由网格差异所引起的误差相对较小. 对于双线性模型, 直径d 的变化对应变能的影响十分明显. 当直径d<0.5时, 均质模型得到的应变能较为准确, 误差不超过5%: 而当d=0.8时, 应变能之间的误差超过20%. 由于3种本构关系的几何模型是一致的, 故差异不可能来自于几何因素, 而可能由均质化模型求解过程中没有考虑大变形因素造成.

结构沿 x轴的最大变形如图4所示. 最大变形的趋势与应变能类似, 直径越大, 最大变形越大. 这是由于直径 d的增大使得结构刚度相对减小, 自然相同载荷下的变形会就增大. 当 d>0.5时, 双线性均质模型的最大位移开始明显偏离细致模型的最大位移. 幂函数和指数函数均质模型和细致模型的差异始终保持在足够小的范围内. 对于幂函数本构关系, 均质模型的最大变形大于三角形单元‒细致模型的最大位移, 但小于四边形单元‒细致模型的最大位移. 因此可以认为, 均质模型最大位移始终处于三角形单元‒细致模型和四边形‒细致模型之间, 三角形单元‒细致模型是下限解, 四边形‒细致模型是上限解.

利用式(22), 得到各模型的泊松比. 与应变能和 x方向最大的变形不同, 泊松比随着 d的增大而减小. 如图5, 通过观察幂函数模型的泊松比, 可以发现均质模型和细致模型之间没有明显的上限或下限关系. 3 种本构关系对应的结构泊松比都十分接近. 这是因为材料的泊松比设定为一个常数, 与应力‒应变关系和几何因素无关. 虽然指数模型具有最大误差, 但它的误差最大值也只有10%( d=0.8时). 此外, 当 d增大时, 加剧了应力集中现象, 将在一定程度上影响等效解的精度.

3 多尺度均匀化

3.1 玻璃纤维芯铅丝(网)增强橡胶复合材料

帘线增强橡胶基复合材料是一种广泛运用于轮胎、传送带等工程领域的柔性纤维增强复合材料bib19. 基于铅柔软、延展性强、阻尼较高的材料特性, 吕丽等[20-21] 提出了一种新型玻璃纤维芯铅丝(网)增强橡胶复合材料(GF/Pb/R). 针对铅力学性能较差的缺点, 研究者通过用铅丝包裹玻璃纤维芯的方式来提高其成形性, 然后编织成网作为增强材料, 如图6所示. 最后将玻璃纤维芯铅丝(网)与丁腈橡胶混炼和硫化得到如图所示的玻璃纤维芯铅丝(网)增强橡胶复合材料, 如图7 所示.

图6   玻璃纤维芯铅丝网bib21.

Fig.6   GF/Pb wirebib21

图7   GF/Pb 网与橡胶交替铺层复合结构图[21]

Fig.7   Ply scheme of GF/Pb wire mesh and rubberbib21

3.2 芯丝尺度

在此维度上, 玻璃纤维被铅丝包裹, 通过编织形成正交的网, 网通过与橡胶基体的结合形成厚度为2 mm 的芯丝薄层. 图8(a)为GF/Pb薄层沿垂直于铺层方向的透视图, 选取虚线部分为代表性体积元, 其三维结构如图8(b)所示. 有限元模型如图9所示. 整个单元体的几何尺寸为9 mm×3 mm×2 mm, 其中GF/Pb 丝的直径为0.5 mm, GF/Pb 丝占代表性体积元体积比为4.36%. 单元体各组分弹性参数参照文献[21]中的组分性能参数.

图8   GF/Pb网几何模型

Fig.8   GF/Pb wire geometric model at core-scale

图9   体积元有限元模型

Fig.9   RVE model at core-scale

3.3 层间尺度

层间整体结构实际模型尺寸为100 mm × 100 mm × 40 mm, 由8层GF/Pb 网增强橡胶薄层与橡胶层组成. 其中, GF/Pb网增强橡胶薄层的厚度是2 mm, 橡胶层的厚度是3 mm. 在层间尺度上, 选取一层GF/Pb网增强橡胶薄层与一层橡胶层相叠, 长宽高各为5 mm的正方体作为代表性体积单元. 如图10 所示, 图10(a) 为8层橡胶增强材料的几何模型, 其中绿色部分为薄层, 灰色部分为橡胶层: 图10(b)是层间尺度下代表性体积元的有限元模型. GF/Pb 网增强橡胶薄层与橡胶层之间使用绑定连接, 即认为薄层之间的连接为完美连接. 橡胶的弹性参数采用文献[22]中橡胶拉伸实验数据.

图10   层间模型.

Fig.10   Layer-scale model

3.4 多尺度均匀化方法

本章在充分考虑了两个尺度下代表性体积元的微观结构的基础上, 利用多尺度均质化预测整体 结构力学性能. 为了更好地表达此方法, 在图11中对整个的等效过程进行了阐述.

图11   多尺度均质化流程图.

Fig.11   Flow chart of multi-scale homogenization

(a) 在芯丝尺度下, 通过计算代表性体积元在单位应变下的位移, 得到其等效的弹性系数Dijkl. 所得到的弹性参数, 作为GF/Pb网增强橡胶薄层的力学性能参数赋给层间尺度, 将GF/Pb网增强橡胶薄层视为一种均匀分布的横观各向同性材料.

(b) 在层间尺度下, 将芯丝尺度的等效参数作为GF/Pb网增强橡胶薄层材料参数. 层间尺度涉及非线性弹性, 只能针对特定的载荷条件给出特定的宏观特性结果, 如最大位移、泊松比、应变能等. 经过迭代收敛得到的弹性模量, 可以作为该种载荷下材料整体性能的参考. 3.5多尺度均匀化结果

为了和实验结果对比, 需要进一步将均质化等效模量转化为工程弹性参数的形式, 转化的结果如表2所示, 弹性模量的单位均为MPa.

表2   单元体等效参数与实验结果对比

Table 2   The comparison among the equivalent parameters and the experimental data

Equivalent2*HomogenizationExperimental
parameters/MPadata[21]
Ex61.4357.60
Ey22.8121.20
Ez10.489.46
μxy0.470.45
μyz0.460.45
μxz0.430.45
Gxy2.572.36
Gyz3.242.36
Gxz3.022.36

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在获得芯丝尺度的等效弹性系数之后, 在层间尺度中将它作为GF/Pb薄层的材料参数, 取如图10(b)所示的单元体模型. 取丁腈橡胶的拉伸试验数据bib22, 通过最小二乘法对其进行拟合, 将其作为橡胶的本构关系赋给橡胶基体. 在层间尺度利用非线性弹性均质化方法对结构进行压缩实验, 图12为压缩实验有限元模型. 对层间结构的底部施加固定约束, 在顶部施加压力.

图12   层间模型.

Fig.12   Layer-scale model

对迭代收敛的结果进行后处理, 计算给定载荷下的模型的刚度K=F/U, F是给结构施加的压力, U是结构在压力下的压缩量. 图13是层间尺度细致模型、等效模型和文献数据刚度的对比. 实验值KExp和模拟值KAnsys分别为2.73 kN/mm和2.65 kN/mmbib21, 模拟值KAnsys是将橡胶材料作为线弹性材料处理得到的刚度值. 从图13可以看到, 当压力小于1 kN时, 均质化刚度KHomo和细致模型刚度KDet与实验值非常接近, 误差小于5%. 但是随着压力的增大, KHomoKDet也随之增大, 橡胶材料的非线性开始显现, 与线性刚度KExpKAnsys的差距越来越大. 当压力为4.5 kN 时, KHomoKExp 的误差为16.5%, KDetKExp的误差为26.3%. 均质化刚度KHomo和细致模型刚度KDet之间的误差也在随着载荷的增大而增大. 当压力为0.27 kN 时, 它们之间的误差为3.2%: 当压力增大到4.5 kN 时, 误差为11.2%. 误差主要来自于非线性等效中没有考虑大变形因素, 所以随着变形的增大, 与细致模型的误差也就增大.

图13   不同层间模型刚度值比较.

Fig.13   The comparisons among the stiffness obtained by different layer-scale models

4 结论

本文从线弹性问题的均质化理论出发, 推导了非线性弹性问题的均质化方程, 通过对平面问题和多尺度问题的计算, 验证了计算方法的精度和收敛性. 得出以下结论:

(1) 非线性弹性均质化方法对于平面二维问题而言, 具有很好的精度. 均质化结构的应变能、最大位移和等效泊松比同细致模型的结果误差基本上保持在10%之内.

(2) 在变形较小时, 非线性弹性均质化方法在多尺度下依然可以较为准确的预测材料的宏观力学性能. 尽管由于缺少实验数据, 无法说明较大变形的精度, 但是从变化趋势上来说与理论上是吻合.

The authors have declared that no competing interests exist.


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