力学学报 2018 , 50 (4): 787-797 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-069

Orginal Article

功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析 $N$

郑保敬¹^,^*^,, 梁钰², 高效伟², 朱强华², 吴泽艳¹

1三峡大学水利与环境学院, 湖北宜昌 443002
2大连理工大学航空航天学院工业装备结构分析国家重点实验室, 大连 116024);

ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL $N$

Zheng Baojing¹^,^*^,, Liang Yu², Gao Xiaowei², Zhu Qianghua², Wu Zeyan¹

1College of Hydraulic and Environmental Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, Hubei, China
2State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China

中图分类号: O321

文献标识码: A

通讯作者: ^*郑保敬, 讲师, 主要研究方向: 计算固体力学 . E-mail: zheng _-bj@126. com^*郑保敬, 讲师, 主要研究方向: 计算固体力学 . E-mail: zheng _-bj@126. com

基金资助: 国家自然科学基金资助项目(11602129, 11672061).

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摘要

为了快速分析非均质材料结构在复杂载荷作用下的动态响应, 提出一种模型降阶方法, 只需计算结构在简单均质材料情况下的动力学问题, 进而用其计算结果对非均质材料结构进行分析. 首先, 采用结构内部任意一点处的材料参数值作为整个结构的材料参数, 利用有限元分析软件计算该均质材料结构在动态载荷作用下的位移场建立数据库, 该数据库包含计算模型各个节点(自由度为 $L$ )在某时间段内 $L$ 个时刻的位移; 其次, 对数据库中的信息按照时间离散的特定方式组集成瞬像矩阵, 并利用特征正交分解方法对其进行分解, 得到该模型的 $H$ 个特征正交基底, 选取其中能反应模型主要特征的 $H < L ≪ N$ 个(其中 $~$ )作为一组最优基底, 通过这组基底建立模型的低阶离散控制方程; 最后, 求解低阶离散微分方程组, 得到功能梯度材料结构在复杂载荷作用下的位移场. 文中分别给出二维和三维算例, 比较了降阶模型和全阶模型计算结果, 验证了该方法的有效性, 并且计算效率能提高1 $1)$ 2个数量级.

关键词： 特征正交分解 ; 模型降阶 ; 动力响应 ; 功能梯度材料

Abstract

In order to quickly analysis the response of heterogeneous materials under dynamic loads, a reduced order method was presented in this paper which only needed to compute dynamic characteristics of homogeneous material under sudden load and got the results for analysis complex non-homogeneous material. Firstly, we used the finite element method to compute the displacement field of homogeneous materials under sudden load, and then discretized data samples was obtained to establish a database which including every moment displacement information of all degrees of freedom (order of

L

) during a period of time. Secondly, dealing with database by specific way of time discretization, a snapshot matrix was formed. The matrix was decomposed into

H

orthogonal basis by proper orthogonal decomposition method and we picked up the major

H < L ≪ N

basis from that. Till now we achieved the goal that reducing the model (

H

). Finally, the

[4 - 5]

basis were used to obtain order-reduced governing dynamic equation. Different dynamic loads of time dependent were applied to the model, and the dynamic response of non-homogeneous material would be achieved by solving order-reduced governing dynamic equations. The displacement fields of traditional FEM and proposed ROM were compared. 2D and 3D examples showed that the computing scales reduced one or two orders of magnitude.

Keywords： proper orthogonal decomposition ; reduced order method ; dynamic response ; functionally graded materials

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郑保敬, 梁钰, 高效伟, 朱强华, 吴泽艳. 功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析 $N$ [J]. 力学学报, 2018, 50(4): 787-797 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-069

Zheng Baojing, Liang Yu, Gao Xiaowei, Zhu Qianghua, Wu Zeyan. ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL $N$ [J]. Acta Mechanica Sinica, 2018, 50(4): 787-797 https://doi.org/10.6052/0459-1879-18-069

结构受到多种激励产生的振动问题在各个领域都很常见, 例如, 风力涡轮机在风载荷作用下的振动问题对涡轮机的设计中非常关键[1]; 车辆在路面行驶时, 会因路面不平而产生振动, Yau等[2]对移动汽车上受到多种激励的悬臂梁进行分析, 并研究了共振现象以及地震波等不同载荷下悬臂梁的动态响应; 桥梁以及大型建筑物在地震或风作用下的振动bib3; 梁的振动 $Ω$ 等. 如何利用数值方法快速计算和预测结构动力响应具有重要的意义.

功能梯度材料是一种被设计为组成成分在固体中连续变化的复合材料, 故具有多种材料的特性, 其性能要高于一般的传统层合式复合材料, 可以广泛应用于高分子膜和燃料电池[6]、航空航天[7,8,9]、微机电系统[10]等领域.

在实际应用中, 大部分的功能梯度材料都是在动态载荷下工作的, 研究功能梯度材料的结构及其动力响应问题在理论研究和实际应用中都具有深远的意义[11], 得到了国内外专家学者的关注. Shahba等[12] 对轴向功能梯度Euler-Bernoulli梁的自由振动和稳定性展开研究; Librescu等[13] 讨论了由功能梯度陶瓷材料制成的自旋薄壁梁的热弹性建模、振动和不稳定性: Thomas等[14]分析了功能梯度纳米管强化复合材料壳结构的振动问题. 之前学者研究大多集中于对全阶模型的分析,由于材料性质宏观上的不均匀性, 利用常规数值方法进行分析时, 需要划分大量的单元, 计算工作量巨大[15]. Perez 等[16]学者对于非线性各向同性梁和功能梯度板的热弹性动力学问题进行了降阶分析, 并与有限元的全阶模型进行对比, 结果非常一致. 因此, 寻找能够大幅度降低问题维数的办法是解决此类问题的关键. 特征正交分解(proper orthogonal decomposition, POD)[17,18,19,20,21] 正是这样一种高效的降阶方法, 其目的在于寻找给定数据在最小二乘意义下最优的低维逼近, 作用是将多维的物理过程进行低维的近似描述, 用较少的自由度将结构特征表示出来, 进而达到简化物理模型、节省计算时间和计算负荷的目的. 因此, POD方法常被用来解决实际问题数值模拟过程中的降阶问题.

本文在过去对模型降阶法研究的基础上[22,23,24], 提出了一种不同载荷作用下快速分析功能梯度材料动态响应问题的降阶方法. 使用有限元商业软件ANSYS 17.0 计算出均质材料在静态载荷作用下的全阶模型位移场, 并在指定时刻取得瞬像矩阵, 利用特征正交分解方法对变量空间进行POD基底提取, 把整个高维变量空间投影到低维变量空间, 随后利用所得到的POD基底, 计算功能梯度材料在不同动态载荷下的响应值. 本文采用特征正交分解, 推导了一种模型降阶方法, 只需计算一次均质材料动力学问题的全阶模型, 对于功能梯度材料, 可以在低维空间中分析求解, 以期大大降低复杂问题的规模, 提高求解效率.

1 功能梯度材料弹性动力学问题

1.1 功能梯度材料弹性动力学问题

定义在域 $〹$ 和边界 $σ_{ij, j} + b_{i} - ρ u_{i, tt} - μ u_{i, t} = 0 (in Ω)$ 上的弹性动力学问题, 其对应的偏微分方程和边界条件为bib25

$ε_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) (in Ω)$

$σ_{ij} = D_{ijkl} ε_{kl} (in Ω)$

$σ_{ij}$

其中, $b_{i}$ 为应力张量, $ρ$ 是体力分量, $u_{i, tt}$ 是质量密度, $μ$ 是加速度, $u_{i, t}$ 是阻尼系数, $D_{ijkl}$ 是速度, $v$ 为弹性本构张量.

在功能梯度材料bib26中, 泊松比 $E (x)$ 的变化相对较小, 可以认为是常量, 假设弹性模量 $x$ 为空间坐标 $μ$ 的函数, 剪切模量 $μ (x) = \frac{E (x)}{2 (1 + v)}$ 为

$D_{ijkl}$

则弹性本构张量 $D_{ijkl} (x) = μ (x) D_{ijkl}^{0}$ 可以表示为

$D_{ijkl}^{0} = \frac{2 v}{1 - 2 v} δ_{ij} δ_{kl} + δ_{ik} δ_{ji} + δ_{il} δ_{jk}$

其中, $u_{i} = {\overset{̅}{u}}_{i} (on 〹$ .

边界条件为

$σ_{ij} n_{j} = {\overset{̅}{f}}_{i} (on 〹$

$u_{i} (x, t_{0}) = u_{i} (t_{0})$

初始条件为

$u_{i, t} (x, t_{0}) = u_{i, t} (t_{0})$

${\overset{̅}{u}}_{i}$

其中, ${\overset{̅}{f}}_{i}$ 是已知的位移向量, $n_{j}$ 是已知的面力向量, $〹$ 是边界Γ的单位外法线向量, 且 $u_{i} (t_{0})$ ,和 $u_{i, t} (t_{0})$ 分别表示 $i$ 方向的初始位移和初始速度.

1.2 有限元离散格式

将弹性力学动力学方程进行有限元空间离散后, 可以得到功能梯度材料运动方程[25]

其中, $u$ 是未知的节点位移向量: $\dot{u}$ 和 $\ddot{u}$ 分别是系统的节点加速度向量和节点速度向量; $M$ 是系统的质量矩阵, $C$ 是系统的阻尼矩阵, $K$ 是系统的刚度矩阵和系统的节点右端载荷向量 $F$ ,分别由各自的单元矩阵和向量组集而成, 即 $M^{e} = \int_{Ω} ‍ ρ N^{T} N d Ω$ ,

$C^{e} = \int_{Ω} ‍ μ N^{T} N d Ω$

$K^{e} = \int_{Ω} ‍ B^{T} D (x) B d Ω$

$F^{e} = \int_{Ω} ‍ N^{T} f d Ω + \int_{〹} ‍$

其中, $D (x)$ 为与坐标 $x$ 有关的单元材料参数矩阵.

2 特征正交分解法降阶原理

2.1 瞬像矩阵生成

特征正交分解方法利用全阶模型的计算结果, 建立一组能够充分描述全阶系统特征的正交基底. 瞬像(snapshots)是指物理场的数值解在不同时刻的空间分布值. 对于弹性动力学问题, 本文考虑均质材料在静态载荷下的位移场 $u$ , 并组集瞬像矩阵, 用来求解非均质材料动力学问题, 瞬像矩阵 $S$ 为

$S = [u (t_{1}), u (t_{2}), \dots, u (t_{L})]$

$S \in R^{N \times L}$

$L$ , $N$ 为所取的瞬像数或快照数, $L ≪ N$ 为有限元模型离散后的自由度, 通常 $S$ . $S$ 中的每一列称为一个快照, $u (t_{i}) (i = 1,2, \dots, L)$ 的列数是快照的数量.

2.2 求解POD基底

POD的本质是寻找一组正交基底

$\Phi=\{\varphi_1,\varphi_2,\cdots\varphi_L\}$ (16)

其最佳条件是要求 $G = ma x_{φ} \sum_{i}^{=} ‍ \frac{(u_{i}, φ)^{2}}{∥ φ ∥^{2}}$ 与其投影的误差范数等价于一个有约束的最大值问题

$\Phi^T\Phi =I(L)$ (18)

向量 $φ$ 为POD规范正交基, 矩阵Φ是POD规范正交基集合, 是一个有 $N$ $L$ 行 $L < < N$ 列( $S S^{T} u = λ u$ )的矩阵, 其满足如所示正交性. 式中带约束的最大值问题可以采用拉格朗日乘子法来求解, 这样, 原来的最优化问题就转化为以下特征值问题

$S \in R^{N \times L}$

对于矩阵 $N > > L$ , 由于 $S S^{T}$ , 矩阵 $N$ 的维数 $S^{T} S$ 远远大于矩阵 $L$ 的维数 $R$ , 但他们的非零特征值是完全一样的. 因此, 定义相关矩阵 $R = S^{T} S$

$R$

首先求解相关矩阵 $λ$ 的特征值 $ϕ_{i} (i = 1,2, \dots, L)$ 和特征向量 $R ϕ_{i} = λ_{i} ϕ_{i}, i = 1,2, \dots, L$

从而可以得到矩阵 $S S^{T}$ 的特征值对应的 $L$ 个特征向量 ${φ_{i}}_{i = 1}^{L}$

$φ_{i} = \frac{1}{{\sqrt[]{λ}}_{i}} S ϕ_{i}, i = 1,2, \dots, L$

即得到了一组POD基底. 这样, 几何模型上任意节点的响应值, 都能够表示成POD基底的线性组合, 即

$u (x, t) = \sum_{i}^{=} ‍ α_{i} (t) φ_{i} (x)$

其中, $α_{i}$ 是POD基底的系数, 与时间相关.

2.3 选取最优POD基底

利用POD基函数对模型进行降阶缩减, 可以通过对特征向量的个数进行截断来实现. 选取足够少的POD 基, 使子空间的总能量与全阶空间的能量之比 $I (H) = \frac{\sum_{i}^{=} ‍ λ_{i}}{\sum_{i}^{=} ‍ λ_{i}}$ 满足下式

$(H < L)$

即缩减的子空间的总能量应与全阶空间的能量之比接近于1, 这样缩减后的基向量可以用于将全阶系统投影到更低维的空间.

截断之后的POD基底可以表示为$\Phi\in R^{H\times H}$ $α$ , 那么, 待求未知量为

$u(x,t)\approx \Phi(x)\alpha(t)$ (25)

其中, $u (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}, t)$ 是相关系数.

2.4 POD降阶模型分析

由于待求未知量 $\hat{M} \ddot{α} + \hat{C} \dot{α} + \hat{K}$ 可以表示为如式(25)截断POD 基底的线性组合, 将其代入运动方程式(10), 等式两边左乘$\Phi ^T$可以转换为以下等价形式

$\hat{M} =$ $\alpha=\widehat{F}$ (26)

其中

$\hat{C} =$ $\Phi ^T M\Phi $ (27)

$\hat{K} =$ $\Phi ^T C\Phi $ (28)

$\hat{F} =$ $\Phi ^T K\Phi $ (29)

$\hat{M}$ $\Phi ^T F$ (30)

$\hat{C}$ , $\hat{K}$ 和 $H \times H$ 具有对称性, 都是 $α$ 维矩阵, 跟原问题相比, 待求解未知量转化为 $H$ , 只有 $α (0) =$ 自由度的未知量, 大大缩减了求解问题的规模. 将降阶模型的初始条件

$α$ $ \Phi ^T u_0$ (31)

代入求解方程(26), 可得各个时刻的系数 $L = 48 m$ , 代回全阶模型, 可得到所有自由度的位移场.

3 数值算例

3.1 二维梁的弯曲

考虑如图1所示功能梯度悬臂梁, 长 $h = 12 m$ , 高 $E = 2 \times 1 0^{11} Pa$ , 弹性模量 $ρ = 7.85 \times 1 0^{3} kg / m^{3}$ , 质量密度 $v = 0.3$ , 泊松比 $t = 0 s$ . 忽略阻尼影响. 如图2所示, 梁的自由端在 $P = 1 MPa$ 时刻受到静态集中载荷 $t = 0.001 ~ 2 s$ . 本算例有限元模型采用4节点平面单元solid182, 共划分576 个单元, 637 个节点.

4*Method	Reduce order method		3*
FEM
full order model
	Untruncated	Truncated
	100 POD basis	40 POD basis
	$t /$ s	$t /$ s	$E = 2 \times 1 0^{11}$ s
sine load	2.53	2.35	122.40
linear load	2.63	2.46	124.19

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2*Method	Reduce order method		2*
Full order
model
	POD basis	solve
time/s	43.76	1.16	153.73

功能梯度材料动力学问题的POD模型降阶分析 N

ANALYSIS FOR DYNAMIC RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS USING POD BASED REDUCED ORDER MODEL N