引言

砂土虽然结构简单但是应力特性复杂,表现为松砂具有剪缩特性而中密砂具有剪胀特性. 饱和松砂在剪切过程中甚至达到静力液化状态^[1]. 但砂土的松密状态不仅与其密实度有关而且与剪切过程中施加的围压有关^[2].

Roscoe等^[3]的试验研究表明重塑黏土的临界状态在 e-lgp平面内可采用线性关系描述. 然而对于砂土等颗粒性材料,由于材料成分及组构与黏性土的差异性导致其临界状态在 e-lgp平面上线性关系相对较差^[1,4-5]. Li等^[6]基于对早期文献研究认为砂土的临界状态线在 e-(p/pa)ξ平面内近似为直线;该观点已得到广泛认可并在一些本构模型中得以应用^[7,8,9,10]. 对于土的弹性模量,一般认为与压力有 关^[6,7],即与压力的幂次方 pn呈正比,其中 n是依赖于土类型的材料常数, 对于黏性土 n趋近于1,而对于砂土 n则趋近于0.33^[10],这表明用 e-(p/pa)ξ平面内的线性表述也较为符合砂土的弹性模量的特性.

砂土的力学特性受其密实度及所受压力影响,为此,一些学者^{[11,12,13,14,15]}基于这两个因素提出了不同的状态概念以反映其强度特 征及剪切特性. Been等^[11]提出的状态参量 ψ表示为当前孔隙比与临界状态孔隙比之差. 松砂时状态参量为正,砂土受剪切则表现出压缩特性;相反,密砂时状态参量为负值,受剪时则会出现膨胀现象. Bolton^[12]基于不同影响因素下(密度、围压,轴对称或平面应变试验) 17种砂的强度和剪胀方面的数据分析提出了一个相对剪胀指标 IR. 根据对砂土进行的几种不排水三轴压缩试验结果,Ishihara^[13]通过 e-p'平面内准稳定状态线和上限参考线定义一个状态 指标 IS. 上述学者提出的状态参量 ψ、相对剪胀指标 IR及状态指标 IS均很好地反映了砂土密实度和外界压力相关性.

为描述砂土剪切特性,学者们提出了各种不同的本构模型,其中,大多数采用了状态参量来反映砂土密实度和所受压力对力 学特性的影响. Prevost^[16]和Manzari等^[17]提出了 p-q平面内楔形屈服面,用于模拟砂土不排水、排水条件下的单调与循环加载下砂土特性. Li等^[18,19]进一步发展,将锥形屈服面变成了线屈服面. Zienkiewicz等^[20]、Pastor 等^[21]提出了广义弹塑性模型用于描述单调加载下指定压力和密度下砂土的不排水与排水特性. Manzana 等^[22]、Ling等^[23]在此基础上进一步发展,增强了砂土特性描述.

本文基于砂土临界状态线特性,在 e-(p/pa)ξ平面内建立了与临界状态线相似且在0点相交的等向压缩线作为参考压缩线;引入新的屈服面修正参数以描述砂土临界状态线与等向 压缩线相交特点;构造状态参量,使得硬化参量和剪胀方程变化依赖于土的密实度及压力. 建立的砂土模型只需采用一组材料参数即可描述较大密实度和较大压力范围内砂土的排水和不排水应力应变响应.

1 等向压缩线

对于黏土,在 e-lgp平面内正常固结线(nomal consolidation line,NCL)和临界状态线(critical state line,CSL)呈线性变化且相 互平行,这使得相同固结压力时两条线上的孔隙比差值相等,并且同一孔隙比下固结压力比值相等(图1(a)). 即黏土的NCL线与CSL线之间始终满足以下公式,即

$r_{\rm c} = \dfrac{\Delta e}{\lambda } (1)$

式中, Δe, rc分别为 e-lgp平面内NCL线与CSL线的竖直距离和水平距离, λ为曲线斜率.

对于砂土材料,许多试验结果表明其临界状态线更适合于用幂函数描述而非对数函数,即

$e = e_{\rm c} - \lambda _{\rm c} \left( {\dfrac{p}{p_{\rm a} }} \right)^\xi (2)$

式中, ec状态线在 p为0时的孔隙比, λc为 e-(p/pa)ξ平面内曲线斜率, ξ为材料常数, pa为大气压力,其值为101 kPa.

当砂土等向压缩线也同样采用幂函数进行描述时,由于幂函数在 e-lgp平面内的非线性,等向压缩线与临界状态线无法 满足式(1)要求. 同时,砂土等向压缩线不唯一,这一特性已经通过压缩试验得以证明^[2,6]. 上述两个问题使得砂土模型构建过程中首先需要选择合适的压缩曲线作为等向硬化参考线.

假设 e-lgp平面内存在L1线(图1(b)),该线与临界状态线保持恒定孔隙比差 Δe,即L1线与临界状态线之间竖直距离恒定而水平距离变化. 根据定义并结合式(2)可得L1线表达式,即

$e = e_{\rm c} + \Delta e - \lambda _{\rm c} \left( {\dfrac{p}{p_{\rm a} }} \right)^\xi (3)$

任意孔隙比下,L1线及临界状态线对应压缩压力分别为 p1与 p2,则联立式(2)和式(3)可得

$\Delta e = \lambda _{\rm c} \left( {\dfrac{p_2 }{p_{\rm a} }} \right)^\xi \left[ {\left( {\dfrac{p_1 }{p_2}} \right)^\xi - 1} \right] (4)$

式中等式左边为定值,等式右侧 p2/pa为增函数. 为保持 Δe恒定,当压力增大时等式右侧 p1/p2必然要减小,其下限值为1. 从图1(b)也可以看出,随着压缩压力增大,L1线与临界状态线在水平方向无线趋近. 可知当压缩压力 大到一定程度时两者几乎相交,但无法确定这个足够大压力的量值.

再假设 e-lgp平面内存在L2线(图1(b)),该线与临界状态线保持恒定压力比 rc,即L2线与临界状态线之间水平距离恒定而竖直距离变化. 同样根据定义并结合式(2)可得L2线表达式为

$ e = e_{\rm c} - \lambda _{\rm c} \left( {\dfrac{pr_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^\xi (5) $

任意压缩压力下,L2线与临界状态线分别对应孔隙比为 e1, e2将其代入式(2)和式(5),并联立可得

$e_1 - e_2 = \lambda _{\rm c} \left( {\dfrac{pr_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^\xi \left( {r_{\rm c}^\xi - 1} \right) (6)$

从式(6)可以看出当压缩压力为0时, e1与 e2差值为0,这意味着L2线与临界状态线在0点相交. 随着 压力增大, e1与 e2差值逐渐增大,这意味L2线与临界状态线之间随压力变化呈现开角趋势,开角程度与 rc相关.

由上述可知,采用幂函数描述临界状态线和压缩线时,两条线之间无法同时满足孔隙比差值相等及等压缩压力比的要求,只 能符合两个条件中的一个. 分析L1线可以看出,虽然它在压缩压力无限大时与临界状态线无限相交,但量值无法确定. L2线在压缩压力为0时与临界状态线相交,此特点一方面有利于数学处理,另一方面与土在中低压力下的压缩特性较为相似. 姚仰平等^[9,24]认为砂土正常压缩线与临界状态线应该在 p为0时相交,只有在压缩应力较大时,正常压缩线与临界状态线才趋于平行. 因此,本文采用L2线作为本构模型的等向压缩线,并将其定义为参考压缩线(reference compression curve, RCC).

2 本构模型描述

2.1 等向硬化

以Toyoura 砂为例,参考压缩线(RCC)与临界状态线在0点相交,且压缩压力比相等( rc恒定),其表达式与临界状态线相似,即

$e = e_{\rm c} - \lambda _{\rm r} \left( {\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^\xi (7)$

式中, pc为等向压缩压力. 如图2所示,任意孔隙比下 rc=pR/pS,其中 pS为界状态线上的压力, pR同孔隙比对应的参考压缩线上的压力. 联立式(2)与式(7),并将 rc=pR/pS代入可得参考压缩线系数 λr界状态线系数 λc相关性,即

$\lambda _{\rm r} = \dfrac{\lambda _{\rm c}}{r_{\rm c} ^\xi } (8)$

由图2可以看出,利用 式(2)拟合三轴试验得到的临界状态数据^[2]效果较好,而通过 rc计算得到的参考压缩线在压缩压力较小时几乎与临界状态线重合,并且近似水平,当压力逐渐增大时,两者缓慢分开.

基于参考压缩线(RCC)的等向硬化规律可表示为

$p_{\rm c} = \dfrac{1}{\xi }\dfrac{1 + e_0 }{\lambda _{\rm r} - \kappa }\left({\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^{ - \xi }p_{\rm c} \varepsilon _{\rm v}^{\rm p} (9)$

式中, e0为初始孔隙比, κ为回弹曲线斜率, dεvp塑性体积应变. 其他压缩线的表达式可利用式(10)得到

$p_{\rm c} = \dfrac{1}{\xi }\dfrac{1 + e_0 }{\lambda _{\rm v}^{\rm r} - \kappa }\left( {\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a}}} \right)^{ - \xi }\left( {\dfrac{M_{\rm f} }{M_{\rm c} }} \right)^Sp_{\rm c}\varepsilon _{\rm v}^{\rm p} (10)$

式中, S为土的参数,可根据砂土压缩试验进行拟合. Mc征状态应力比, Mf为潜在强度,反映应力历史 或土的密实度对其强度变化的影响. Mc与 Mf将由下文状态参量获取. 为表示剪应力对体积变化影响,将塑性体积硬化参量替代为统一硬化参量^[25,26],即

$p_{\rm c} = \dfrac{1}{\xi }\dfrac{1 + e_0 }{\lambda _{\rm r} - \kappa }\left({\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^{ - \xi }\left( {\dfrac{M_{\rm f}}{M_{\rm c} }} \right)^Sp_{\rm c}H (11)$

$H = \int {\dfrac{M_{\rm c}^4 }{M_{\rm f}^4 }\dfrac{M_{\rm f}^4 - \eta ^4}{M_{\rm c}^4 - \eta ^4}} \varepsilon _{\rm v}^{\rm p} (12)$

进一步整理可得

$p_{\rm c} = \dfrac{1}{\xi }\dfrac{1 + e_0 }{\lambda _{\rm r} - \kappa }\left({\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^{ - \xi }\dfrac{M_{\rm c}^{4 - S} }{M_{\rm f}^{4 - S}}\dfrac{M_{\rm f}^4 - \eta ^4}{M_{\rm c}^4 - \eta ^4}p_{\rm c} \varepsilon _{\rm v}^{\rm p} (13)$

2.2 屈服面

模型屈服面为修正剑桥模型的进一步演化,可表示为

$f = \ln p^{1 - \mu } + \ln \left( {1 + \dfrac{\eta ^2}{M^2}} \right) - lnp_{\rm c}^{1 - \mu } = 0 (14)$

式中, p为当前压力, η为当前应力比, M为临界状态应力比, μ为屈服面形状参数. pc前屈服面与 p轴交点,与参考压缩线的压力一致.

形状参数 μ利用等 p路径结合等向压缩进行求取,如图3所示,在等 p路径 p=p0上,RCC线与CSL线之间的距离表示为

$\Delta e = \left( {\lambda _{\rm r} - \lambda _{\rm c} } \right)\left({\dfrac{p_{0} }{p_{\rm a} }} \right)^\xi (15)$

此时, p0由 A点发展到 C点即 pc,对应塑性孔隙比变化可表示为

$\Delta e = - \left( {\lambda _{\rm r} - \kappa } \right)\left[ {\left({\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^\xi - \left( {\dfrac{p_{0}}{p_{\rm a} }} \right)^\xi } \right] (16)$

联立式(15)与式(16)可得

$\left( {\dfrac{p_{\rm c} }{p_0 }} \right)^\xi = \dfrac{\lambda _{\rm c} - \kappa }{\lambda _{\rm r} -\kappa } (17)$

将式(17)代入式(14)并令 η=M可得

$ \ln \left( {\dfrac{\lambda _{\rm c} - \kappa }{\lambda _{\rm r}-\kappa }} \right)^{\tfrac{1 - \mu }{\xi }} = \ln 2 (18)$

进一步整理可得

$\mu = 1 - {\xi \ln 2}\Big / {\ln \left( {\dfrac{\lambda _{\rm c} - \kappa }{\lambda _{\rm r} - \kappa }} \right)} (19) $

图4为参数 μ对屈服面的影响,从图中可以看出 μ越大则屈服面越扁平. 当 μ为0时,屈服面退化到修正剑桥模型屈服面.

2.3 剪胀方程与塑性势面

基于修正剑桥模型中的剪胀方程,并引入特征状态应力比 Mc建立与砂土状态相关的剪胀表达式为

$\dfrac{\varepsilon _{\rm v}^{\rm p} }{\varepsilon _{\rm q}^{\rm p} } =\dfrac{M_{\rm c}^{2} - \eta ^2}{2\eta } (20)$

式中, dεvp性体应变增量, dεqp性剪应变. 所以塑性势函数可相应地表示为

$g = \dfrac{\eta ^2}{M_{\rm c}^2} + 1 - \dfrac{p_{\rm c} }{p} (21)$

2.4 状态参量、潜在强度 Mf及特征状态应力比 Mc

现有模型的状态参量多数以临界状态线作为固定参考线. 对于以塑性体应变作为硬化参量的本构模型,剪切过程中屈服面胀缩本 身反映了土的密实度变化,因此以屈服面作为状态参量的参考点能够更为准确地反映土的相对密实状态. 为获取屈服面所对应的孔隙比,假设临界状态线与参考压缩线之间存在与临界状态线相似的等应力比曲线,这些曲线对应着不同应 力比,反映随着应力比增大土的孔隙比所发生的改变. 当前应力比所对应的等应力比曲线可表示为

$e_\eta = e_{\rm c} - \lambda _\eta \left( {\dfrac{p}{p_{\rm a} }} \right)^\xi (22)$

式中, λη力比为 η对应的等应力比曲线斜率(图5), eη为 η所对应的孔隙比. 因此,状态参量可表示为

$\varphi = e - e_\eta (23)$

从式(23)可以看出状态参量以当前应力比对应的等应力比曲线作为参考线,本文将该线称为状态参量参考线. 潜在 强度 Mf及特征状态应力比 Mc可表示为

$M_{\rm f} = M \cdot {\rm e}^{m\varphi } (24)$

$M_{\rm c} = M \cdot {\rm e}^{n\varphi } (25)$

状态参量参考线斜率 λη的求取方法与式(15)类似. 状态参量参考线到参考压缩线距离可表示为

$\Delta e = \left( {\lambda _{\rm r} - \lambda _\eta } \right)\left({\dfrac{p_0 }{p_{\rm a} }} \right)^\xi (26)$

联立式(26)与式(16)可以得出

$\left( {\dfrac{p_{\rm c} }{p_0 }} \right)^\xi = \dfrac{\lambda _\eta - \kappa }{\lambda _{\rm r} - \kappa } (27) $

代入式(14)的屈服面方程可得

$ \lambda _\eta = \left( {1 + \dfrac{\eta ^2}{M^2}} \right)^{\dfrac{\xi}{1 - \mu }}\left( {\lambda _{\rm r} - \kappa } \right) + \kappa (28)$

由式(28)及式(18),当前应力比 η为0时 λη=λr,此时状态参量参考线与RCC线重合. 随着 η的增大,状态参量参考线逐渐远离RCC线并向CSL线靠近. 当 η=M时,状态参量参考线则与CSL重合,因此可以认为RCC线与CSL线是状态参量参考线的上下终点线. 虽然式(23)至式(25)从形式上表明潜在强度 Mf与特征状态应力比 Mc与文献^[2]具有一致性,但从式(28)可以看出本文状态参量的定义与文献^[2]中状态参量始终以临界状态线为参考线的做法明显不同, 本文状态参量参考线在等向压缩时位于RCC线上,随着应力比的增大通过状态参量参考线向CSL线过渡,并最终归于CSL线上. 这种做法实现了砂土由压缩至剪切过程中状态参量的统一表述.

2.5 塑性应变增量

屈服面对各应力分量的偏微分可表示为

$\dfrac{\partial f}{\partial p} = \dfrac{M^2 - \eta ^2 - \mu \left( {M^2 + \eta ^2}\right)}{p\left( {M^2 + \eta ^2} \right)} (29)$

$\dfrac{\partial f}{\partial q} = \dfrac{2\eta ^2}{p\left( {M^2 + \eta ^2} \right)} (30)$

$\dfrac{\partial f}{\partial p_{\rm c}} = \dfrac{1 - \mu }{p_{\rm c} } (31)$

由一致性条件可得

$\dfrac{\partial f}{\partial p}p + \dfrac{\partial f}{\partial q}q + \dfrac{\partial f}{\partial p_{\rm c} }p_{\rm c} = 0 (32)$

式(29) ~式(31)代入式(32)并利用塑性流动准则及等向硬化参量可得

$\varepsilon _{\rm v}^{\rm p} = \Big \{\left[ {M^2 - \eta ^2 - \mu \left( {M^2 + \eta ^2} \right)} \right]\left( {M_c^2 - \eta ^2} \right)p + 2\eta \left( {M_c^2 - \eta ^2} \right)q \Big \} \Big / \Big[A\left( {M_{\rm f}^4 - \eta 4}\right) \Big] (33)$

$\varepsilon _{\rm q}^{\rm p} = \Big\{2\eta \left[ {M^2 - \eta ^2 - \mu \left({M^2 + \eta ^2} \right)} \right] {p} + 4\eta ^2q\Big \} \Big / \Big[ A\left( {M_{\rm f}^4 - \eta ^4} \right)\Big] (34)$

$A = \dfrac{1 - \mu }{\xi }\dfrac{1 + e_0 }{\lambda _{\rm r} - \kappa }\left({\dfrac{p_{\rm c} }{p_{\rm a} }} \right)^{ - \xi }\dfrac{M_{\rm c}^{4 - S} }{M_{\rm f}^{4 - S} }\dfrac{M^2 + \eta ^2}{M_{\rm c}^2 + \eta ^2}p (35)$

2.6 总应变增量

总应变增量由弹性增量和塑性增量组成,即

$\left\{\!\! \begin{array}{c} d{\varepsilon _{\rm v} } \\ d{\varepsilon _{\rm q} }\end{array}\!\! \right\} = \left\{ \!\! \begin{array}{c} d{\varepsilon _{\rm v}^{\rm p} } \\ d{\varepsilon _{\rm q}^{\rm p}} \end{array} \!\! \right\} +\left\{\!\! \begin{array}{c} d{\varepsilon _{\rm v}^{\rm e} } \\ d{\varepsilon _{\rm q}^{\rm e}} \end{array}\!\! \right\} (36) $

式中, dεv体积应变, dεq剪切应变,弹性体积应变增量 dεve及弹性剪应变增量 dεqe为

$d\varepsilon _{\rm v}^{\rm e} = \frac{dp}{K} (37) $

$d\varepsilon _{\rm q}^{\rm e} = \frac{dq}{3G} (38)$

式中, K为弹性体积模量, G为弹性剪切模量,可分别表示为

$K = \dfrac{E}{3\left( {1 - 2\upsilon } \right)} (39)$

$G = \dfrac{E}{2\left( {1 + \upsilon } \right)} (40)$

式中, υ为泊松比, E为杨氏模量,可表示为

$E = \dfrac{3\left( {1 - 2\upsilon } \right)\left( {1 + e_0 } \right)}{\xi \kappa }\left( {\dfrac{p}{p_{\rm a} }} \right)^{1 - \xi }p_{\rm a} (41)$

3 模型验证

3.1 模型参数

提出的弹塑性本构模型在三轴剪切条件下进行预测并利用Toyoura 砂的三轴试验^[1]进行验证. 预测所需参数共 11 个(表 1),其中 ec0, λc, m,n,M和 ξ由文献^[1]和文献[6]直接获取,泊松比 υ为固定值,取0.3, κ取 砂土最密曲线斜率. 参数 rc与 λr为相关参数,只需获取一个即可通过式(8)求取另外一个,一般情况下可通过砂土压缩曲线求取 λr然后计算 rc,在 rc已知条件下则可以直接求取 λr,本文通过文献19反推得到 rc,并计算得到 λr. 参数 μ同样为间接参数,可通过式(19)求取.

参数S通过砂土等向压缩试验拟合得到. 利用式(10)对不同的S下湿式堆积、干式堆积、水沉积等方法制备砂土试 样在0~4 MPa下进行的等向压缩试验进行预测,当预测结果与试验结果较为吻合时,即可确定S, 图6所示为S为2时,拟合结果 与试验结果对比图,从图中可以看出,对于干式堆积及水沉积 制备的砂土,以及最密压缩线模型拟合与试验结果吻合较好. 同时还利用拟合结果对Toyoura 砂最密状态的变化趋势及最松状态的变化趋势进行了预测,如图7所示,对比结果显示预测结果与试验结果同样较为吻合, 因此本文选取S为2.

3.2 模型预测

在不同初始围压下分别对孔隙比0.735, 0.833及0.907的Toyoura砂进行三轴不排水剪切试验,试验结果与模型预测对比 如图8~图10 所示,其中(a)图为剪应力与轴向应变关系,(b)图为应力路径.

在0.1 MPa和0.5 MPa下对不同孔隙比的Toyoura砂进行进行三轴排水剪切试验,试验结果与模型预测曲线如图11和图12所示, 其中(a)图为剪应力与轴向应变关系,(b)图为剪应力与孔隙比变化关系.

对于砂土的不排水剪切试验,其力学特性因其压力及初始孔隙比不同而有所变化,随着试验围压从 p=0.1MPa 逐渐增 加到 3.0 MPa (图8~图10),砂土的剪缩性增强,在应力路径上围压越大则应力越向原点方向移动;而在相同的压力下则孔隙比越大则砂土越容易剪缩. 对比试验结果与预测结果可以看出,模型很好地反应出砂土不排水力学特性.

对于砂土的排水剪切试验(图11 和图12),其力学特性与不排水剪切试验相似,相同围压下,初始孔隙比越大则砂土越具有剪 缩特性. 在剪应力与轴向应变关系中,模型预测的应力稍微大于实际测试结果,对于稍微密实砂土,尤其是0.1 MPa下孔隙比 为0.810时,模型预测的应力软化过于明显,而实际测试中这一特性表现不明显. 剪应力与体应变关系曲线中,模型很好地预测了砂土体积变化趋势.

4 结 论

为描述饱和砂土的力学特性,本文基于临界状态提出了一种砂土本构模型. 通过总结与归纳模型构建过程得出以下结论：

(1)通过分析砂土压缩特性及其在e-lgp平面内非线性特点,提出更适合于描述砂土在等向压缩路径下的参考体积压缩线,并使用幂函数进行描述.

(2) 建议了适用于描述砂土剪缩特性的屈服面表达式,在等p路径下给出了影响屈服面形状参数μ的确定方法.

(3)利用当前应力比所对应的压缩线作为状态参量参考线,以调整硬化参数和剪胀方程,进而反映砂土的压缩、剪胀及剪缩特性. 这种做法实现了砂土由压缩至剪切过程中状态参量的统一表述.

(4)利用Toyoura 砂的不排水剪切试验及排水剪切试验与模型预测进行对比,结果表明本文建立的模型很好地描述了Toyoura 砂在不同孔隙比和不同压力下的剪切特性.

The authors have declared that no competing interests exist.

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参考文献

文献选项

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• 文中引用次数倒序
• 被引期刊影响因子

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