力学学报  2018 , 50 (3): 561-569 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-403

流体力学

可压缩旋转气体中超空化射流的热稳定性

吕明12, 宁智1*, 阎凯1

1 北京交通大学 机械与电子控制工程学院, 北京100044
2 中国汽车技术研究中心 移动源污染排放控制技术国家工程实验室,天津300300

THERMAL STABILITY OF SUPERCAVITATING JET IN A COMPRESSIBLE ROTARY GAS

Lü Ming12, Ning Zhi1*, Yan Kai1

1 School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China
2 National Engineering Laboratory for Mobile Source Emission Control Technology, China Automotive Technology & Research Center, Tianjin 300300, China;

中图分类号:  O359

文献标识码:  A

通讯作者:  通讯作者:宁智,教授,主要研究方向:流体力学, 内燃机排放与污染控制. E-mail:zhining@bjtu.edu.cn

收稿日期: 2017-12-5

接受日期:  2018-04-18

网络出版日期:  2018-06-10

版权声明:  2018 《力学学报》编辑部 《力学学报》编辑部 所有

基金资助:  国家自然科学基金(51606006, 51776016), 北京市自然科学基金 (3172025, 3182030)和移动源污染排放控制技术国家工程实验室开放基金(NELMS2017A10)资助项目.

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摘要

液体射流热稳定性研究是对射流稳定性问题的更深层次的探讨,可以进一步加深对液体射流分裂与雾化机理的认识,具有重要的学术意义和工程应用价值. 基于射流稳定性理论,在同时考虑射流周围气体旋转、射流和周围气体可压缩性以及射流液体中含空化气泡的条件下,建立了描述可压缩旋转气体中超空化射流热稳定性的数学模型,并对数学模型及其求解方法进行了验证分析;在此基础上,分析了液体射流表面与周围气体间温差及射流内部温度梯度同时作用下对射流稳定性的影响;并进一步探讨了超空化射流的热稳定性. 结果表明,射流表面扰动波的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数皆随气液温差的增大呈近似线性增大趋势;射流内部温度梯度的存在使得气液温差对射流的失稳作用更加显著;射流内部温度梯度会抑制超空化对射流稳定性的影响,但气液温差会在一定程度上促进超空化对射流的失稳作用.

关键词: 射流 ; 温差 ; 温度梯度 ; 可压缩 ; 超空化

Abstract

Thermal stability of liquid jet is the deeper discussion to jet stability, which can improve our understanding to the mechanism of breakup and atomization of liquid jet. Also, Study on the thermal stability of liquid jet has an important value in theory and engineering. Based on the jet stability theory, under the conditions of gas rotation, fluids compressibility and supercavitation, this paper gives the mathematical model describing the thermal stability of supercavitating jet in a compressible rotary gas, and the corresponding numerical method for solving the mathematical model is proposed and verified by the data in reference. Then, this paper analyzes the effects of gas-liquid temperature differences and temperature gradients on jet instability, and studies the thermal stability of supercavitating jet. The results show that the maximum disturbance growth rate, the dominant frequency and the maximum disturbance wave numbers increase linearly with the increasing of gas-liquid temperature differences. The existence of temperature gradient inside the jet makes the instability effects of temperature differences on jet more obvious. The temperature gradients will inhibit the effects of supercavitation on jet instability, while gas-liquid temperature differences will promote the effects of supercavitation on jet instability.

Keywords: jet ; temperature difference ; temperature gradient ; compressibility ; supercavitation

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吕明, 宁智, 阎凯. 可压缩旋转气体中超空化射流的热稳定性[J]. 力学学报, 2018, 50(3): 561-569 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-403

Ming, Ning Zhi, Yan Kai. THERMAL STABILITY OF SUPERCAVITATING JET IN A COMPRESSIBLE ROTARY GAS[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018, 50(3): 561-569 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-403

引言

在一些工程应用中,如内燃机的燃油喷射过程,缸内气流温度要远高于燃油射流温度,且射流液体内部有可能存在一定的温度梯度,射流稳定性不可避免地会受到热效应的影响. 液体射流热稳定性研究(考虑热效应的射流稳定性研究)是对射流稳定性问题的更深层次的探讨,可以进一步加深对液体射流分裂与雾化机理的认识,具有重要的学术意义和工程应用价值.

目前,国内外还没有一个统一的、被普遍认可的射流热稳定性定义. 不同学者大都是根据其特定的研究内容给出相应的热稳定性定义. 如Xu和Davis[1]将沿射流轴向方向存在温度梯度的液体射流稳定性问题归结为热稳定性问题; 丁宁等[2]将射流液体表面与周围气体间存在温差的射流稳定性问题称为射流热稳定性问题. 在本文中,根据以往相关文献中对热稳定性的定义[1,2,3],将射流热稳定性定义为热效应参与或热效应直接引起的射流稳定性.

随着液体射流稳定性问题研究的不断深入,目前国内外学者已先后提出了一些不同条件下的基于线性稳定性理论的描述液体射流稳定性的数学模型,并取得了许多重要的理论研究成果[4,5,6,7,8]. 然而,这些数学模型以及相应的研究成果往往都是在忽略热效应的前提下得到的. 由于问题的复杂性,一些针对射流热稳定性问题的研究都是在一定简化条件下进行的,如假设温度扰动是轴对称形式, 将射流简化为平面分层流动等等[1-2,9-10]. 目前,针对液体射流热稳定性问题的研究尚处于探索阶段,热效应参与或直接引起的液体射流分裂与雾化机理还不是很明确和清晰. 对于柴油机射流来说,随着柴油机喷油压力的不断提高,射流周围气体的可压缩性对射流稳定性的影响越来越明显[4-5,11],且在燃油喷射时往往还伴随着缸内气流的旋转运动[12,13];对于同轴旋转可压缩气体中液体射流热稳定性的研究目前尚未见报道.

鉴于目前射流热稳定性问题的国内外研究现状,本文将就以下两个方面的问题进行研究:射流内部的温度梯度导致的射流表面扰动波发展而引起的液体射流稳定性问题;液体射流表面与周围气体温差产生的热扰动所引起的液体射流稳定性问题. 根据本文对热稳定性的定义,本文研究的液体射流热稳定性问题属于热效应参与的射流稳定性问题的范畴.

本文将在以往研究工作的基础上,在同时考虑射流周围气体旋转、射流和周围气体可压缩性以及射流液体中含空化气泡的前提下,建立描述可压缩旋转气体中超空化射流热稳定性的数学模型,并对数学模型及其求解方法进行验证. 在此基础上,分析液体射流表面与周围气体间温差及射流内部温度梯度同时作用下对射流稳定性的影响;并进一步探讨超空化射流的热稳定性.

1 数学模型的建立及验证

1.1 物理模型与初始流场

假设超空化射流初始温度为 T̃1(其中心温度始终保持不变),初始半径为 a,速度为 U0,射流密度为 ρ̅1;喷射进入密度为 ρ̅2,旋转强度为 W0,温度为 T̅2的气体中,使流场具有了如图1所示的温度分布,即 T̅1(r)=T̃2-T̃1/ar+T̃1. 图中柱坐标系 ( r,θ,z)建立在射流喷孔出口处,坐标系 z轴与射流方向相反.

图1   物理模型

Fig. 1   Physical model

针对上述射流物理模型,做如下假设[14,15,16,17]

(1) 液体射流内部径向温度呈线性分布, 射流中心温度为 T̃1,且始终保持不变,射流表面温度为 T̃2;

(2) 液体射流及周围气体为可压缩牛顿流体;

(3) 忽略射流液体及周围气体的黏性和重力影响;

(4) 射流周围气体作同轴旋转流动,而射流无旋转运动;

(5) 射流中的空化气泡与射流液体之间无滑移,且气泡之间无相互作用;

(6) 均匀分布的空化气泡与射流液体组成的混合相为连续介质.

图1所示的坐标系下,射流未受扰动时的基本流场(射流液体温度和速度、射流外部气体速度、射流外部气体压力与射流液体压力之差、射流密度及射流中的音速)可以表示为[14,15,16,17,18,19,20]

$\bar {T}_1^0 = \tilde {T}_{1} , \ \ \ \bar {T}_2^0 = \bar {T}_2 (1)$

$\bar {\pmb V}_{1} = \left( {0, 0, -U_0 } \right) , \ \ \ 0 \leqslant r \leqslant a (2)$

$\bar {\pmb V}_{2} = \left( {0, W_0 / r, 0} \right) , \ \ \ a < r < \infty (3)$

$\!\! \bar {p}_2 \left( r \right) - \bar {p}_1 = - \dfrac{\sigma _0 }{a} +\dfrac{1}{2}\bar {\rho }_2 W_0^2 \left( {\dfrac{{1}}{a^2} - \dfrac{{1}}{r^2}} \right) (4)$

$\bar {p}_1 = {\rm constant} , \ \ \ a < r < \infty \\ \bar {\rho }_{1} = \alpha \rho _{\rm v} + \left( {1 - \alpha } \right)\rho _{\rm l} $(5)

$c_1 = \dfrac{E_{\rm l} \bar {p}_1 k_{\rm v} }{\bar {p}_1 k_{\rm v}\left( {1 - \alpha } \right)+ E_{\rm l} \alpha } \Bigg / \left[ {\dfrac{\bar {p}_1 \alpha }{z_{\rm v} R\bar {T}_1 } + \rho _l \left( {1- \alpha } \right)} \right]^{1/2} $(6)

式中,$ \bar {\pmb V}_{1} $和$\bar {\pmb V}_{2}分别为液体射流和射流周围气体速度; p̅1p̅2分别为射流内外压强; σ0为表面张力系数; ρvρl分别为空化气泡密度和射流液体密度; c1为射流中的音速; α为空泡体积分数; kvzv分别为空化气泡的绝热指数与压缩因子; R为摩尔气体常数; El为射流液体的弹性模数. 物理量符号上的横线代表未受扰动的物理量.

1.2 数学模型的建立及求解

本文的研究对象(射流及其周围气体)满足如下质量、动量和能量守恒方程[21,22]

$\dfrac{{\rm D}\rho _i }{{\rm D}t} + \rho _i \left( {\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial }{\partial r} \left( {rv_{ri} } \right) + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial v_{\theta i} } {\partial \theta } + \dfrac{\partial v_{zi} }{\partial z}} \right) = 0 (7)$

$\left.\begin{array}{l} \dfrac{{\rm D}v_{ri} }{{\rm D}t} - \dfrac{v_{\theta i}^2 }{r} = - \dfrac{1}{\rho _i }\dfrac{\partial p_i }{\partial r} \\ \dfrac{{\rm D}v_{\theta i} }{{\rm D}t} + \dfrac{v_{ri} v_{\theta i} }{r} = - \dfrac{1}{\rho _i r}\dfrac{\partial p_i }{\partial \theta } \\ \dfrac{{\rm D}v_{zi} }{{\rm D}t} = - \dfrac{1}{\rho _i }\dfrac{\partial p_i }{\partial z} \end{array}\!\!\right\} $ (8)

$\dfrac{\partial T_i }{\partial t} + \left( {\pmb V}_i \cdot \nabla \right)T_i = \dfrac{k_i}{\rho _i C_{p _i} } \nabla^2 T_i $(9)

式中,i=1 表示射流参数;i=2 表示射流周围气体参数; ki为热导率, Cpi为定压比热容.

对式(7) ~式(9)进行扰动分析并线性化,可以得到如下形式的射流扰动控制方程组:

对于液相

$\dfrac{\partial {\rho }'_1 }{\partial t} + \bar {v}_{z1} \dfrac{\partial {\rho}'_1 }{\partial z} + \bar {\rho }_1 \left( {\dfrac{{v}'_{r1} }{r} +\dfrac{\partial {v}'_{r1} }{\partial r} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial {v}'_{\theta 1} }{\partial \theta } + \dfrac{\partial {v}'_{z1} }{\partial z}} \right) = 0 $(10)

$\left.\begin{array}{l} \bar {\rho }_1 \left( {\dfrac{\partial {v}'_{r1} }{\partial t} + \bar {v}_{z1} \dfrac{\partial {v}'_{r1} }{\partial z}} \right) = - \dfrac{\partial {p}'_1 }{\partial r} \\ \bar {\rho }_1 \left( {\dfrac{\partial {v}'_{\theta 1} }{\partial t} + \bar {v}_{z1} \dfrac{\partial {v}'_{\theta 1} }{\partial z}} \right) = - \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial {p}'_1 }{\partial \theta } \\ \bar {\rho }_1 \left( {\dfrac{\partial {v}'_{z1} }{\partial t} + \bar {v}_{z1} \dfrac{\partial {v}'_{z1} }{\partial z}} \right) = - \dfrac{\partial {p}'_1 }{\partial z} \end{array} \!\! \right \} $(11)

$ \bar {\rho }_1 \left( {\dfrac{\partial {T}'_1 }{\partial t} + {v}'_{r1}\dfrac{\partial \bar {T}_1 }{\partial r} + \bar {v}_{z1} \dfrac{\partial {T}'_1 }{\partial z}} \right) = \\ \dfrac{k_1 }{c_{p _1} }\left( {\dfrac{\partial ^2{T}'_1 }{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial {T}'_1 }{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial ^2{T}'_1 }{\partial \theta ^2} + \dfrac{\partial ^2{T}'_1 }{\partial z^2}} \right) $(12)

对于气相

$\dfrac{\partial {\rho }'_2 }{\partial t} + \dfrac{\bar {v}_{\theta 2} }{r}\dfrac{\partial {\rho }'_2 }{\partial \theta } + \bar {\rho }_2 \left( {\dfrac{{v}'_{r2} }{r} + \dfrac{\partial {v}'_{r2} }{\partial r} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial {v}'_{\theta 2} }{\partial \theta } + \dfrac{\partial {v}'_{z2} }{\partial z}} \right) = 0$(13)

$\left.\begin{array}{l} \bar {\rho }_2 \left( {\dfrac{\partial {v}'_{r2} }{\partial t} + \dfrac{\bar{v}_{\theta 2} }{r}\dfrac{\partial {v}'_{r2} }{\partial \theta } - \dfrac{2\bar {v}_{\theta 2} {v}'_{\theta 2} }{r}} \right) - {\rho }'_2 \dfrac{\bar {v}_{\theta 2}^2 }{r} = - \dfrac{\partial {p}'_2 }{\partial r} \\ \bar {\rho }_2 \left( {\dfrac{\partial {v}'_{\theta 2} }{\partial t} + {v}'_{r2} \dfrac{\partial \bar {v}_{\theta 2} }{\partial r} + \dfrac{\bar {v}_{\theta 2} }{r}\dfrac{\partial {v}'_{\theta 2} }{\partial \theta } + \dfrac{{v}'_{r2} \bar {v}_{\theta 2} }{r}} \right) = - \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial {p}'_2 }{\partial \theta } \\ \bar {\rho }_2 \left( {\dfrac{\partial {v}'_{z2} }{\partial t} + \dfrac{\bar {v}_{\theta 2} }{r}\dfrac{\partial {v}'_{z2} }{\partial \theta }} \right) = - \dfrac{\partial {p}'_2 }{\partial z} \end{array} \right \} $ (14)

$\bar {\rho }_2 \left( {\dfrac{\partial {T}'_2 }{\partial t} + \dfrac{\bar {v}_{\theta 2} }{r}\dfrac{\partial {T}'_2 }{\partial \theta }} \right) = \dfrac{k_2 }{c_{p _2} }\left( {\dfrac{\partial ^2{T}'_2 }{\partial r^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial {T}'_2 }{\partial r} + \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial ^2{T}'_2 }{\partial \theta ^2} + \dfrac{\partial ^2{T}'_2 }{\partial z^2}} \right) $(15)

式中,上撇号表示小扰动参数.

式(10)~式(12)包括5个方程,但包含6个未知量,假设扰动压力随扰动密度的变化是定熵过 程[20],则有 p'1/ρ'1=c12;而对式(13) ~式(15)也存在同样问题,可以补充一个线性扰动后的气体状态方程: p'2=Rρ̅2T'2+ρ'2T̅2. 至此,射流扰动控制方程组建立完毕.

在射流液体与周围气体的分界面上,射流扰动控制方程组需满足如下边界条件[2,23]

$v_{ri} = \dfrac{\partial \eta }{\partial t} + \dfrac{v_{\theta i}}{r}\dfrac{\partial \eta }{\partial \theta } + v_{zi} \dfrac{\partial \eta }{\partial z} $(16)

$p_1 - p_2 = - \sigma \left( {\dfrac{1}{r_1 } + \dfrac{1}{r_2 }} \right) (17)$

$T_1 = T_2 (18)$

$k_1 \dfrac{\partial T_1 }{\partial r} = k_2 \dfrac{\partial T_2 }{\partial r} (19)$

式中, η(t,r,θ,z)=0为扰动后的界面, r1r2分别为分界面上液相和气相的主曲率半径.

对式(16) ~式(19)进行扰动分析并线性化,可以得到如下形式的边界条件

$\left.\begin{array}{l} \bar {v}_{ri} + {v}'_{ri} = \dfrac{\partial \eta }{\partial t} + \dfrac{\bar{v}_{\theta i} }{a + \eta }\dfrac{\partial \eta }{\partial \theta } + \bar{v}_{zi} \dfrac{\partial \eta }{\partial z} \\ a^3\left( {{p}'_1 - {p}'_2 } \right) + a\sigma \left( {\eta +a^2\dfrac{\partial ^2\eta }{\partial z^2} + \dfrac{\partial ^2\eta }{\partial \theta ^2}} \right) - \bar {\rho }_2 W_0^2 \eta = 0 \\ {T}'_1 = {T}'_2 \\ k_1 \dfrac{\partial {T}'_1 }{\partial r} = k_2 \dfrac{\partial {T}'_2 }{\partial r} \end{array}\!\!\right\} $(20)

将上述建立的射流扰动控制方程组、边界条件联立,并结合射流未受扰动基本流场,即可得到描述可压缩旋转气体中超空化射流热稳定性的数学模型. 鉴于数学模型的复杂性,本文仅给出其简写形式

$f(k,\omega,m,We,E,Ma_1,Ma_2,Q,Pe_1,Pe_2,k_0,k_n,T_{r}) = 0 $(21)

式中, k=kr+iki, krz方向波数, ki为扰动空间增长率; ω=ωr+iωi, ωr为扰动时间增长率, ωi为波频; m为角向模数; We=σ/ρ̅1U02a,为韦伯数的倒数; E=W0/(U0a),为射流周围气体无量纲旋转强度; Ma1=U0/c1,为射流马赫数; Ma2=U0/c2,为气体马赫数; Q=ρ̅2/ρ̅1,为周围气体与射流液体密度之比; Pe1=ρ̅1cp1U0a/k1,为射流贝克利数; Pe2=ρ̅2cp2U0a/k2,为气体贝克利数; k0=cp2/cv2,为气体定压比热容与定容比热容之比; kn=k2/k1,为周围气体热导率与射流液体热导率之比; Tr=T̃2-T̃1/T̅2,为射流内部温差与射流周围气体温度之比.

从上述建立的数学模型式(21)中可以看到,该方程等号左边是一个含有13个变量的复变函数. 其中, Tr除了可以反映射流内部存在的温度梯度对射流稳定性的作用,还可以反映射流表面与周围气体间存在的温差产生的热扰动对射流稳定性的作用.

数学模型式(21)需要迭代求解. 以往研究者对该类问题的数学模型进行迭代求解时,大都采用抛物线法(亦称Müller法) [11,12]. 然而,与弦截法相比,虽然抛物线法的收敛速度略快,但算法比较复杂,既要处理符号问题,还要考虑复数的运算. 为此,本文采用弦截法[24]对数学模型迭代求解.

1.3 数学模型及其求解方法的验证分析

若假设射流表面扰动仅为轴对称扰动,且不考虑射流线性温度分布、空化气泡、气体旋转及流体可压缩性,则可令 m=0, Tr=0, α=0, E=0, Ma1=Ma2=0,则数学模型式(21)可简化为

$\dfrac{\left( {\omega - {\rm i}k} \right)^{2}{\rm I}_0 \left( k \right)}{{\rm I}_{1} \left( k \right)} + \dfrac{Q\omega ^{2}{\rm K}_0 \left( k \right)}{ {\rm K}_1 \left( k \right)} + kWe\left( {k^2 - 1} \right) = 0 $(22)

简化后的式(22)与文献[25]推导出的液体射流失稳模型一致. 式中, I0kI1k分别为0阶和1阶第一类变型Bessel函数, K0kK1k分别为0阶和1阶第二类变型Bessel函数[14].

为了对数学模型及其数值求解方法进行验证,采用文献[26]中的算例参数进行计算,并与文献中给出的结果进行对比,结果如图2所示.

图2   计算结果与文献[26]算例数据的比较

Fig. 2   Comparison of the calculation results with the data in Ref.[26]

文献[26]中给出的算例数据是轴对称扰动时无黏不可压缩液体射流射入到无黏不可压缩气体内时不同扰动波数下的扰动增长率. 从图2给出的对比结果中可以看到,本文计算结果与文献中的算例数据非常吻合,说明色散方程的数值求解方法合理有效.

图3给出的是射流内部无温度梯度时,射流表面与周围气体间存在温差与不存在温差时扰动增长率随扰动波数变化的比较.

图3中可以看到,射流表面与周围气体间存在温差时,射流表面的扰动增长率较不存在温差时显著增大,说明射流表面与周围气体间存在的温差会加速射流的失稳,从而有利于射流的分裂雾化. 这一结论与文献[27]就射流周围气体温度对柴油射流

图3   射流表面与周围气体间有无温差时扰动增长率随扰动波数变化的比较

Fig. 3   Comparison of the disturbance growth rate versus wave number with and without temperature difference between jet surface and surrounding gas

分裂雾化影响的实验研究得出的结论一致. 这间接说明建立的色散方程可以从一定程度上反映气液温差对射流稳定性的影响.

2 比较与分析

在进行超空化射流的热稳定性问题研究时, 以柴油作为射流液体,采用的相关参数如表1所示[14,28-30].

表 1   计算参数

Table 1   Calculating parameters

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2.1 气液温差对射流稳定性的作用

射流表面与周围气体间存在的温差是射流表面热扰动产生的重要原因,对射流稳定性具有重要影响. 下面将对射流表面与周围气体温差对射流稳定性的作用进行分析;分析时暂不考虑射流内部的温度梯度.

T̅2/T̃2为射流周围气体温度与液体射流表面温度之比,可以用于表征液体射流表面与周围气体间温差的大小;当 T̅2/T̃2=1时,表示射流表面与周围气体间温差为零(无温差).

图4给出的是轴对称扰动 ( m=0) 和非轴对称扰动 ( m=1)下,射流表面与周围气体间有无温差时扰动增长率随轴向波数变化的比较. 图中 T̅2/T̃2=1和1.17分别对应射流表面与周围气体温差为0 K和50 K.

图4中可以看到,当射流表面与周围气体间存在温差时,各轴向波数下的扰动增长率皆增大,且轴向波数越大,扰动增长率增 大得越明显;最大扰动增长率对应的轴向波数增大;不稳定扰动波轴向波数的范围明显拓宽. 说明气液温差所引起的热扰动使得射流稳定性变差,射流失稳后形成的分裂液滴的最小粒径减小,较小粒径液滴的数量增多, 分裂液滴的粒径范围变宽. 以 m=0为例,在 图4(a)所示

图4   射流表面与周围气体间有无温差时扰动增长率随轴向波数变化的比较

Fig. 4   Comparison of the variation of disturbance growth rate versus axial wave numbers with and without temperature difference between liquid jet surface and surrounding gas

的计算条件下,根据轴向波数与最大扰动波长的关系 kr=2πa/λ以及体积守恒关系,当 T̅2/T̃2=1时,射流最小分裂液滴粒径约为61.7 m,而当 T̅2/T̃2=1.17时,射流最小分裂液滴粒径约为59.6 m.

图4中还可以看到,射流表面与周围气体间存在的温差对轴对称扰动和非轴对称扰动的影响没有明显的差别,射流表 面与周围气体温差对射流稳定性的影响与射流表面的扰动波形式关系不大.

最大扰动增长率 kimax、最不稳定频率 ωimax(最大扰动增长率对应的频率)和最大扰动波数 krmax(中性稳定扰动对应的轴向波数)是表征射流稳定性的3个重要参数. 表2给出的是不同射流表面与周围气体温差时的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数的比较. 其中, T̅2/T̃2=1, 1.17和1.33分别对应射流表面与周围气体温差为0 K, 50 K和100 K. 计算条件为: m=2, E=0.5, Ma1=0.2, Ma2=0.5, kn=0.27, α=0.

表 2   不同射流表面与周围气体温差时射流稳定性的比较

Table 2   Comparison of the jet stability under different temperature differences between liquid jet surface and surrounding gas

T̅2/T̃211.171.33
ki_max2.272.522.78
ωi_max109.8119.8129.8
kr_max163181200

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表2中可以看到,射流表面扰动波的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数皆随射流表面与周围气体温差的增加而呈近似的线性增大的趋势;射流表面与周围气体间存在的温差具有明显的促使射流失稳分裂的作用,且会使分裂液滴最小粒径减小,较小粒径液滴数量增多,分裂液滴粒径范围变宽.

2.2 射流内部温度梯度的影响

上小节主要是在没有考虑射流内部温度梯度的条件下对射流表面与周围气体温差对射流稳定性的作用进行了分析. 射流内部存在的温度梯度势必会对射流表面与周围气体温差对射流稳定性的作用产生一定影响.

图5给出的是射流内部存在温度梯度 ( Tr=0.14) 时,轴对称扰动 ( m=0) 和非轴对称扰动 ( m=1)下,射流表面与周围气体不同温差时扰动增长率随轴向波数变化的比较. 图中 T̅2/T̃2=1,1.14和1.29分别对应射流表面与周围气体温差为0 K,50 K和100 K.

图5   射流内部存在温度梯度时不同表面温差下扰动增长率随轴向波数变化的比较

Fig. 5   Comparison of the disturbance growth rate under different temperature differences between jet surface and surrounding gas with temperature gradient inside the jet

图5中可以看到,射流内部存在温度梯度时,随着射流表面与周围气体温差的增大,各轴向波数下的扰动增长率增大,最大扰动增长率对应的轴向波数增大,不稳定扰动波轴向波数范围拓宽. 对比图5图4可以发现,在相同的射流表面与周围气体温差条件下,射流内部存在温度梯度时,各轴向波数下的扰动增长率、最大扰动增长率对应的轴向波数以及不稳定扰动波轴向波数范围皆明显增大,但射流表面与周围气体温差对射流稳定性的作用规律没有变化.

为了更好地说明射流内部存在的温度梯度对射流表面与周围气体温差对射流稳定性作用的影响,表3给出了射流内部有无温度梯度时,射流表面与周围气体温差对最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数影响的比较. 计算条件为 m=2, E=0.5, Ma1=0.2, Ma2=0.5, kn=0.27, α=0.

表 3   射流内部有无温度梯度时射流表面与周围气体温差对射流稳定性影响的比较

Table 3   Comparison of the jet stability under different temperature differences with and without temperature gradient inside the jet

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从图表3中可以看到,无论射流内部是否存在温度梯度,射流表面扰动波的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数随射流表面与周围气体温差的变化规律基本一致;最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数皆随射流表面与周围气体温差的增大而呈近似的线性增大的趋势.

表3给出比较结果中还可以发现,与不存在温度梯度时相比,射流内部存在温度梯度时,射流表面扰动波的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数随射流表面与周围气体温差增大而增大的幅度会更大. 以最大扰动增长率的变化为例,射流内部不存在温度梯度时,射流表面与周围气体无温差时的最大扰动增长率为2.27,射流表面与周围气体温差100 K时的最大扰动增长率为2.78,最大扰动增长率增大22.5%;而射流内部存在温度梯度时,射流表面与周围气体无温差时的最大扰动增长率为2.78,射流表面与周围气体温差100 K时的最大扰动增长率为3.60,最大扰动增长率增大29.5%. 因此,射流内部存在的温度梯度使得射流表面与周围气体温差对射流的失稳作用变得更加显著.

2.3 超空化射流热稳定性

已有的研究结果表明[16,18],超空化对液体射流的稳定性具有重要作用;而前文也已指出射流过程中存在的热效应对射流稳定性具有重要的影响. 接下来,将分别就射流内部存在的温度梯度以及射流表面与周围气体间存在的温差对超空化对射流稳定性作用的影响进行研究.

图6给出的是射流内部有无温度梯度时,不同空泡体积分数时的射流表面扰动波 ( m=1) 的扰动增长率随轴向波数变化的比较. 图中 Tr=0和0.25分别对应射流表面温度比射流中心温度高0 K和100 K.

图6   射流内部有无温度梯度时超空化对射流表面扰动波影响的比较

Fig. 6   Comparison of the effect of supercavitation on the jet surface disturbance wave with and without temperature gradient inside the jet

图6中可以看到,无论射流内部是否存在温度梯度,存在超空化时,射流表面扰动波的最大扰动增长率皆会随着空泡体积分数的增加而增大,射流稳定性随着空泡体积分数的增加而变差. 但通过对比图6(a)和图6(b)可以发现,射流内部存在温度梯度时,超空化对射流最大扰动增长率的影响较无温度梯度时明显减小. 在图7所示的计算参数下,射流内部不存在温度梯度时,空泡体积分数为0时的最大扰动增长率为2.23,空泡体积分数为0.1时的最大扰动增长率为2.59,最大扰动增长率提高16.1%;射流内部存在温度梯度时,空泡体积分数为0时的最大扰动增长率为3.57,空泡体积分数为0.1时的最大扰动增长率为3.70,最大扰动增长率仅提高3.6%. 说明射流内部存在的温度梯度会明显削弱超空化对射流稳定性的作用.

另外,对比图6(a)和图6(b)还可以发现,射流内部存在温度梯度时,超空化对射流表面扰动波最大轴向波数的影响较不存在温 度梯度时明显减小;意味着射流内部存在的温度梯度同时抑制了超空化对扰动波最大轴向波数的作用,即抑制了超空化对射流分 裂液滴粒径及其分布的作用.

图7给出的是射流表面与周围气体间有无温差时,不同空泡体积分数时的射流表面扰动波 ( m=1) 的扰动增长率随轴向波数变化的比较. 图中 T̅2/T̃2=1和1.33分别对应射流表面与周围气体温差为0 K和100 K.

图7   射流表面与周围气体间有无温差时超空化对射流表面扰动波影响的比较

Fig. 7   Comparison of the effect of supercavitation on the jet surface disturbance wave with and without temperature difference between liquid jet surface and surrounding gas

图7中可以看到,无论射流表面与周围气体间是否存在温差,超空化射流表面扰动波的最大扰动增长率皆随空泡体积分数的 增大而增大;与射流表面与周围气体间无温差时相比,射流表面与周围气体间存在温差时,不同空泡体积分数时的最大扰动增长率 皆有较大程度的增加.

通过对比图7(a)和图7(b)可以发现,射流表面与周围气体间存在的温差对超空化对射流最大扰动增长率影响的作用并不明显. 这 一点与射流内部存在的温度梯度会显著削弱超空化对射流稳定性的作用有明显的不同;射流内部存在温度梯度时,超空化对射流 最大扰动增长率的影响较无温度梯度时会显著减小.

3 结 论

(1) 在同时考虑射流周围气体旋转、射流和周围气体可压缩性以及射流液体中含空化气泡的条件下,建立了描述可压缩旋转气体中超空化射流热稳定性的数学模型,并对数学模型及其求解方法进行了验证分析.

(2) 射流表面与周围气体间存在温差时,不同波数下的扰动增长率皆有所增大,且轴向波数越大,扰动增长率增大越明显;射流表面扰动波的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数皆随射流表面与周围气体温差的增大呈近似线性增大趋势. 射流表面与周围气体温差对射流稳定性的影响与扰动波的形式关系不大.

(3) 射流内部存在温度梯度时,射流表面扰动波的最大扰动增长率、最不稳定频率以及最大扰动波数随射流表面与周围气体温差增大而增大的幅度会更大,射流内部温度梯度的存在使得射流表面与周围气体温差对射流的失稳作用变得更加显著.

(4) 射流内部存在的温度梯度在不同空泡体积分数下对超空化对射流稳定性的影响均有较明显的抑制作用. 射流表面与周围气体间存在的温差对超空化对射流的失稳作用有一定的促进作用;但总体来说,这种促进作用不是十分明显.

The authors have declared that no competing interests exist.


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