力学学报  2018 , 50 (2): 415-426 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-357

Orginal Article

多孔介质--自由流界面应力跳跃条件下流动特性解析解

李琪, 赵一远, 胡鹏飞

东北电力大学能源与动力工程学院, 吉林 132012

ANALYTICAL SOLUTION FOR POROUS-FLUID FLOW CHARACTERISTICS WITH STRESS JUMP INTERFACIAL CONDITION

Li Qi, Zhao Yiyuan, Hu Pengfei

School of Energy and Power Engineering, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China

中图分类号:  O35

文献标识码:  A

收稿日期: 2017-11-1

接受日期:  2018-03-6

网络出版日期:  2018-04-16

版权声明:  2018 《力学学报》编辑部 《力学学报》编辑部 所有

基金资助:  国家自然科学基金资助项目(41702250).

作者简介:

作者简介:李琪,副教授,主要研究方向:流体动力特性,强化传热传质. E-mail: liqi_1015@163.com

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摘要

对非对称多孔介质--自由流复合通道内多孔介质内部及多孔介质与自由流体界面处复杂质量、动量输运特性进行研究. 在多孔介质区采用Brinkman-extended Darcy模型并结合速度连续,剪切应力跳跃的界面条件对此复合通道内流体的传递现象进行求解,提出了考虑界面应力跳跃时非对称复合通道各区域流体运动速度及摩擦系数的解析式,分析了界面应力跳跃系数,达西数及无量纲多孔层偏心厚度对流体速度及摩擦系数的影响. 结果表明:改变界面性质可在一定条件下明显控制各区域流体速度分布;在达西数、多孔层偏心厚度一定情况下,界面应力系数的增大会使界面流速减小,而使流体摩擦系数增大,特别是界面应力系数小于0的情况下变化更明显,此时若不考虑界面应力系数则会造成较大误差. 当界面应力系数及多孔层偏心厚度均为较小负数值时,改变多孔层偏心厚度对界面速度的影响要大于改变界面应力系数的情况;而当界面应力系数及多孔层偏心厚度为较大正数值时,情况则相反. 较大达西数下,界面应力系数及多孔层偏心厚度对流体摩擦系数的影响均较大,继续减小达西数至一定程度时,界面应力系数对流体摩擦系数的影响可忽略不计而认为只与多孔层偏心厚度相关,且对较大多孔层偏心厚度更敏感.

关键词: 自由流体 ; 应力跳跃 ; 界面速度 ; 摩擦系数

Abstract

The complicated mass and momentum transfer problems in the porous region,especially at the interface between porous and free fluid region were analyzed in an asymmetric and coupled porous-fluid channel. By taking the Brinkman-extended Darcy model in the porous region with the velocity continuity and the shear stress jump interface conditions, the fluid transfer characteristics were solved. The analytical expressions for the fluid flow velocity of each region and friction coefficient in the coupled asymmetric channel were proposed by considering the stress jump interfacial condition. Then the effects of interfacial stress jump coefficient, Darcy number and dimensionless off-center thickness of porous layer on fluid flow velocity and friction coefficient were studied. The results show that under certain conditions changing the interface property can obviously control the velocity profile in each region of the coupled channel. For certain values of Darcy number and porous off-center thickness, increasing the interfacial stress coefficient has a reducing effect on the interfacial velocity but an increasing effect on the fluid friction coefficient, and the effect is more obvious when the interfacial stress coefficient is less than 0, in this case that without considering the effect of the interfacial stress coefficient can cause larger error. When both the interfacial stress coefficient and the porous off-center thickness are smaller negative values, the effect by varying the porous off-center thickness on the interfacial velocity is greater than the effect of altering the interfacial stress coefficient, while when the interfacial stress coefficient and the porous off-center thickness of porous layer are larger positive values, the result is quite the opposite. At a larger Darcy number, both the interfacial stress coefficient and porous off-center thickness have greater influence on the fluid friction coefficient; reducing Darcy number to a certain small value, the influence of interfacial stress coefficient on fluid friction coefficient can be neglected and the fluid friction coefficient is only related to the porous off-center thickness, and much more sensitive to a larger porous off-center thickness.

Keywords: porous media ; free flow ; stress jump ; interfacial velocity ; friction coefficient

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李琪, 赵一远, 胡鹏飞. 多孔介质--自由流界面应力跳跃条件下流动特性解析解[J]. 力学学报, 2018, 50(2): 415-426 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-357

Li Qi, Zhao Yiyuan, Hu Pengfei. ANALYTICAL SOLUTION FOR POROUS-FLUID FLOW CHARACTERISTICS WITH STRESS JUMP INTERFACIAL CONDITION[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018, 50(2): 415-426 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-357

引 言

多孔介质与自由流组成的复合流体通道包括三个区域:多孔介质区、自由流体区及二者界面区,研究其内流体的流动与传热传质现象在许多工程实际中有着广泛应用价值,如石油开采、水资源利用、地热工程、地下水流动、核废料处置、太阳能集热器、干燥技术、化学反应器、热交换器等.

由于多孔介质与流体之间存在着复杂界面结构,一直以来有关多孔介质内的流动模型、以及多孔介质与自由流体间、多孔介质与无滑移固定界面间的边界条件处理是许多研究者关注的对象. Beavers和Joseph [1]首次提出采用滑移速度处理多孔介质与自由流体接触的界面条件问题,简称B-J模型,认为可以通过这种滑移现象来近似解释界面附近边界层对外流的影响. Sahraoui和Kavian [2]指出滑移速度系数的值依赖于界面上流体的流动方向、雷诺数、流体区范围及表面固体材料排列无规则情况. Chang等 [3]在多孔介质内部采用Darcy模型以及在自由流体层与多孔介质层界面处采用B-J模型,研究了二维通道中流体覆盖多孔介质层结构的Poiseuille流问题. 然而多孔介质中采用的Darcy模型不能解决边界问题,会造成界面处速度的不连续. Cao等 [4]研究结果表明,有限元法对B-J条件耦合的Darcy流与自由流的研究有良好的适用性,并进一步用此方法研究了地下水的流动问题 [5]. He等 [6]同样采用Darcy模型及B-J界面条件,用非奇异解的一个分支分析了此模型的适用性. 之后Neale和Nader [7]提出了Brinkman-extended Darcy模型,Vafai和Thiyagaraja [8]以及Vafai和Kim [9]将此模型应用到多孔介质层中,以保证速度和剪切力在界面处连续. Ucar等 [10]采用速度、应力均连续界面条件对非对称通道内部分填充多孔层的流动与传热给出了解析解. Shokouhmand等 [11]和Cekmer等 [12]也同样采用Brinkman-extended Darcy模型并结合速度、应力均连续界面条件对复合多孔介质对称通道内的流动与传热给问题出了数值解或解析解. 之后,Ochoa-Tapia和Whitaker [13]提出了一种新模型,认为在界面处速度是连续的但剪切力不连续,并且Whitaker [14]进一步用复杂的体积平均法通过N-S方程推得了考虑惯性项时多孔介质内满足的方程,从而使多孔介质内部流动方程更加完善. Ochoa-Tapia和Whitaker [15]进一步得出应力跳跃系数取值范围为[-1,1.5],且在此范围内对此系数作调整时,所得结果与Beavers和Joseph [1]的结果符合良好. 之后,该应力跳跃条件被许多研究者所应用. Kuznestsov [16]采用应力跳跃条件对部分填充多孔介质的中心对称平行板和圆柱形通道内的流体流动进行了研究,给出了界面处流体速度的解析解,并指出界面应力跳跃的重要性. Tilton和Cortelezzi [17-18],Li等 [19], Dai等 [20]均采用Ochoa-Tapia和Whitaker [13] 提出的界面方程并使用Whitaker [21] 提出的多孔介质模型,对不同含有多孔介质层通道结构中的压力驱动流进行了相关流动稳定性的研究,但均研究的是对称通道,具有中心处边界条件,没有进一步给出应力系数与界面速度及流体摩擦系数的解析关系. 另外,文献[22-26]也都采用应力跳跃条件及有限容积法或有限元法等多种数值方法研究了部分填充多孔层通道内的平行流动或斜向流动或双扩散自然对流问题. 戴传山等[27]提出将多孔介质层分为核心区域与边界影响区,给出了考虑界面非线性跳跃条件下的渗流速度场的数值解方法. Huang等[28]和Yadollahi-Farsani等[29]又分别提出基于牛顿型线性化两网格方法及几何结构的方法研究复杂多孔介质流. 孟旭辉等[30]采用格子波尔兹曼数值方法分析了流体流经多孔介质时两者的动量交换过程并提出一种高效的动量交换法来计算流固作用力.

综上所述,由于多孔介质-自由流耦合通道具有复杂的界面结构,在前人研究过程中,除了研究的几何模型不同之外,多孔介质内部以及多孔介质与自由流体区界面处采用的动量传递模型也有较大区别,但可以肯定的是,界面效应是不可忽略的. 当采用界面应力跳跃模型时,不仅能够体现界面处速度及剪切应力均连续的界面模型(当取界面跳跃系数为0时),也可以解决B-J界面模型界面速度不连续问题,且适当调整界面应力系数可与Beavers和Joseph$^{[1]}$的实验结果吻合良好,因此在界面处采用界面应力跳跃模型有更好的适用性且更符合实际现象. 目前为止,大多学者采用数值方法对复合流进行研究,不能直接反映出界面效应的影响;也有较少学者得到了对称通道内,界面应力跳跃系数与界面速度的解析关系式,或采用连续应力条件得到了非对称通道内界面速度解析式. 对于采用应力跳跃界面条件,对非对称多孔介质复合通道内的流体流动特性(包括界面速度与流体摩擦系数)进行解析解的分析研究还尚未发现. 因此,本文采用Brinkman-extended

Darcy多孔介质模型并结合速度连续、剪切应力跳跃的界面条件对部分填充多孔介质非对称平行复合通道内的流体流动特性进行推导求解,获得考虑界面应力跳跃时非对称复合通道各区域流体运动速度及摩擦系数的解析式,并进一步分析研究具有不同渗透特性、不同填充厚度多孔层及界面应力跳跃系数对流动分布及阻力特性的影响,以期为工程实际提供理论参考数据.

1 动力学模型

1.1复合通道物理模型

考虑研究的物理模型为部分填充多孔介质层的平行平板复合通道,如图1所示.上层为自由流体区域,下层为多孔介质区域,二者相 交处为界面,上下层均受非渗透性固体壁面边界条件限制.通道总高度设为2$H$,界面处距离通道中心线处为 $\gamma H$,则有 $\gamma $值取$-1$到1之间,为多孔介质无量纲偏心厚度.多孔层特性为各向同性,渗透率为一常数,假设流经此模型的流体状态为不可压缩层流且充分发展.

图1   流体通道物理模型

Fig. 1   Physical model of the fluid flow channel

1.2 复合通道数学模型及解析解

假定通道内流体运动状态为水平压力梯度dp=dx 驱动的充分发展层流状态,则自由流体区内流体运动方程为

$$ \dfrac{\d^2u_{\rm f} }{\d y^2} - \dfrac{1}{\mu _{\rm f} }\dfrac{\d p}{\d x} = 0 (1) $$

其中, $u_{\rm f} $ 表示通道内自由流体区域中的流体速度(下标``f''表示 自由流体),$\mu_{\rm f}

$是流体动力黏度, $p$是压力. 多孔介质区内流体运动方程为

$$ \mu _{\rm eff} \dfrac{\d^2u_{\rm p} }{\d y^2} - \dfrac{\mu _{\rm f} }{k}u_{\rm p} - \dfrac{\d p}{\d x} - \dfrac{C_{\rm f} \rho u_{\rm P}^2}{\sqrt k } = 0 (2) $$

其中,$\mu_{\rm eff}$是多孔介质的有效动力黏度,是与Brinkman项有关的参数,其不仅是多孔介质孔隙率的函数,也与多孔介质几何结构密切相关$^{[31]}$. $u_{\rm p}$表示多孔层内的流体速度(下标``p''表示多孔层通道), $\rho $ 是流体密度,$k$和$C_{\rm f}$分别是多孔介质渗透率和惯性系数. 该方程中的第一项是涉及与流体运动相关的壁效应,当多孔介质流区域包含界面时,Brinkman项则显得更为重要,因为它能够反映边界层的发展变化. 第二项及第三项与Darcy定律相关,第四项则涉及Forchheimer惯性效应. 对于某些工程应用而言,基于多孔层内固体颗粒粒径的雷诺数较小,意味着在某些涉及多孔介质的实际应用中可以忽略Forchheimer惯性效应,因此,本文将暂不考虑Forchheimer惯性项的影响. 上下非渗透性固体壁面处采用无滑移速度边界条件

$$ \left. {u_{\rm f} } \right|_{y = H} = \left. {u_{\rm p} } \right|_{y = - H} = 0 (3) $$

自由流体区与多孔介质区界面处采用速度连续,应力跳跃模型$^{[13]}$,为

\vskip 2mm $\left. {u_{\rm f} } \right|_{y = \gamma H} = \left. {u_{\rm p} } \right|_{y = \gamma H} = u_{\rm i} \hfill (4)$

\vskip 2mm $\left. {\mu _{\rm eff} \dfrac{ \d u_{\rm p} }{\d y}} \right|_{y = \gamma H} - \left. {\mu _{\rm f} \dfrac{\d u_{\rm f} }{\d y}} \right|_{y = \gamma H} = - \beta \dfrac{\mu _{\rm f} }{\sqrt k }u_{\rm f} \hfill (5)$

其中, β为界面应力跳跃系数,其取值范围为 [-1,1.5][13,15],是与多孔介质孔隙率、渗透率和孔径 等多种因素密切相关的界面动量分配系数,需通过实验进行确定. 当 β=0时,为速度和剪切应力均连续的界面条件. ui为多孔介质区与自由流体区界面处的流体速度. 使用以下无量纲化参数 G=-px, U=μfuGH2, M=μeffμf, Da=kH2, R=1MDa. 其中,较多学者在应用Brinkman-extended Darcy模型时认为 μeff=μf,然而,Givler和Altobelli [32]通过实验研究指出在某些情况下区分这两个参数是十分重要的,并建议 μeff=(7.5-2.4+3.4) μf. Ochoa-Tapia和Whitaker [13,15]在研究复合通道多孔介质流时则采用关系式 μeff=μf/ε, ε为多孔介质区孔隙率. Al-Azmi [33]研究发现当 μeff/μf的值在1 ~7.5范围内变化时,对复合通道内流体的速度分布影响较小. 因此,本文将暂不考虑 M的取值影响,将采用关系式 μeff=μf/ε,从而与Ochoa-Tapia和Whitaker在推导界面跳跃模型时采用的 μeff的取值保持一致. 本文取 ε=0.6,则有 M=1/0.6. 将上述流体运动控制方程(1) ~(5)改写成无量纲形式,可得自由流体区与多孔介质区内流体无量纲运动方程分别为

$ {\d^2U_{\rm f} }{\d Y^2} + 1 = 0 (6) $

$ \dfrac{\d^2U_{\rm p}}{\d Y^2} - R^2U_{\rm p} + \dfrac{1}{M} = 0 (7) $

无量纲边界条件为

UfY=1=UpY=-1=0(8)

UfY=γ=UpY=γ=Ui(9)

MdUpdYY=γ-dUfdYY=γ=-β1DaUfY=γ(10)

联立方程(6) ~(9)可求得

-1#x2264;Y#x2264;γ

Up=N0+N1sinhRγ-Y+2mm]N2sinhRY+1(11)

γ#x2264;Y#x2264;1

Uf=C0+C1Y+C2Y2(12)

其中

$\left.\!\ N_0 = {1}{MR^2}\,, \quad N_1 = - \dfrac{1}{MR^2\sinh \left[ {R\left( {1 + \gamma } \right)} \right]} \\ N_2 = \dfrac{\left( {MU_{\rm i} R^2 - 1} \right)}{MR^2\sinh \left[{R\left( {1 + \gamma } \right)} \right]} \!\!\right\} (13a)$

$ C_0 = \dfrac{\gamma - 2U_{\rm i} - \gamma ^2}{2(\gamma - 1)}\,, \ \ C_1 = \dfrac{2U_{\rm i} +\gamma ^2 - 1}{2(\gamma - 1)}\,, \ \ C_2 = - \dfrac{1}{2} (13b)$

发现式(13)中包含未知数 Ui. 为了求得界面速度 Ui,需根据界面应力跳跃模型,即式(10),则可进一步求得界面处的流体运动速度

$U_{\rm i} = \Bigg \{ \dfrac{1}{R\tanh \left[ {R\left( {1 + \gamma } \right)} \right]} - \dfrac{1}{R\sinh \left[ {R\left( {1 + \gamma } \right)} \right]} + \dfrac{1 -\gamma }{2} \Bigg \} \Bigg / \qquad \Bigg \{ \dfrac{MR}{\tanh \left[ {R\left( {1 + \gamma } \right)} \right]} - \dfrac{\beta - \beta \gamma + \sqrt {Da} }{\sqrt {Da} \left( {\gamma - 1} \right)} \Bigg \} (14)$

将式(13)和式(14)代入式(11)和式(12)中,可分别得到多孔介质区内及自由流体区域内流体运动速度分布解析解. 进一步定义平均速度

Um=12-11UdY=12-1γUpYdY+γ1UfYdY

则根据上述结果可整理得平均速度

$ U_{\rm m} = \Bigg[ N_0 \left( {\gamma + 1} \right) + \dfrac{N_1 + N_2 }{R}\left( {\cosh \left( {R\left( {1 + \gamma } \right)} \right) - 1} \right) +$ \vskip 2mm \n \ \ $ \qquad c_0 \left( {1 - \gamma } \right) + \dfrac{c_1 }{2}\left( {1 - \gamma ^2} \right) + \dfrac{c_2 }{3}\left( {1 - \gamma ^3} \right) \Bigg ] \Bigg /{2} \hfill (15)$

常数 N0, N1, N2, C0, C1, C2已由式(13)给出. 无量纲速度 Û可以确定为

$$ \hat {U} = \dfrac{U}{U_{\rm m} } (16) $$

由摩擦系数定义 f=2H-dpdx/(1/2ρum2)可化简得无量纲摩擦系数为

$$ f Re = \dfrac{8}{U_{\rm m} } (17) $$

其中 Re=ρum2H/μf.

2 解析解模型验证

将本文所得解析解模型进行计算,并与文献[10]在相同工况下的解析结果进行对比,发现不考虑界面应力跳跃时,即多孔 介质--自由流界面采用速度及剪切应力均为连续模型时,文献[10]的解析结果与本文在跳跃系数 β=0时的解析解完全一致,计算结果如图2所示,文献[10]提出的解析解为本文所得结果模型的一个特例,证明了本文结果模 型的正确性. 而由前人研究可知 [16],在某些情况下,界面效应是不可忽略的,特别是界面处固体颗粒对流体动量的非连续影响,利 用本文给出的解析解模型可以更客观的描述考虑界面应力跳跃情况下的多孔介质--自由流耦合通道的流动特性, 从而拓宽及完善非对称多孔介质--自由流耦合通道内复杂界面流体流动特性解析解的应用条件.

图2   本文结果与文献[10]结果比较

Fig. 2   Comparison between present result and Ref.[10] result

3 计算结果分析与讨论

3.1 γ=0时, β对流体运动特性影响

当多孔层偏心厚度 γ=0时,意味着多孔层填充高度恰在复合通道中心位置处,填充高度为 H. 图3所示为 Da不同时,改变界面应力跳跃系数 β对多孔介质--自由流耦合通道内流体运动速度分布的影响. 当 β=0时,为连续应力界面条件. 由图看出,对于具有较大 Da多孔介质层而言,即 Da=1时,可以认为通道几乎全为自由流体区,此时,多孔介质层内的流体速度分布与自由流体区内的流体速度分布差别不大,若不考 虑应力跳跃情况( β=0时),其速度分布基本呈对称的抛物线样,且与无多孔介质填充的水平通道内流体运动的速度分布形式基 本吻合;而随着 Da的不断减小,如 Da=0.01Da=1×10-5时,多孔介质层内流体的速度要慢于自由流体层内的流体速度,这是因为具有较小 Da的多孔层渗透率较小,流体流经多孔层所受到的阻力会更大.

图3   不同Da 下,β对流体速度分布影响

Fig. 3   The effect of β on the velocity profiles for various Da

对于Da = 0.01 的多孔介质层(图3(b)),相较于Da = 1.0 及 Da=1×10-5的多孔层(图3(a)(c))而言,界面应力系数 β的改变对复合通道内(包括多孔介质层内及自由流体层内)流体运动的速度分布有更加明显的影响,特别是界面处的速度,随 β值的减小而增大;而在多孔介质层内及自由流体层内,流体运动速度会分别出现一个定值,此速度值不会随界面应力系数 β的改变而改变,Da = 1.0的多孔层也出现此定值速度,但 Da = 1.0 时随界面应力系数 β的改变仅在界面附近区域内流体速度剖面有较大变化.

对于渗透性更小的多孔介质层,即Da =10 - 5时(图3(c)),界面处的速度也会随 β值的减小而增大,同Da =1.0及Da =0.01时的情况. 所不同的是,由于插入的较小渗透率多孔层,会更大程度地阻碍流体在其内的运动,会在距界面很小范围内就将流体速度制止,使流速基本趋于0,并在多孔介质内形成一个不随高度变化的很小的固定速度值,即Darcy速度,一般将界面位置到刚出现Darcy速 度时的通道高度 σ称为过渡区,将多孔介质区分为了受边界影响区及不受边界影响的Darcy速度区,与文献[27]给出的多孔介质分区模型相同, 如图3(d)所示,而由于质量守恒,使自由流体区具有更大的流体速度. 此时改变界面应力系数 β,对复合通道内无论是多孔介质层内或是自由流体层内流体的速度分布影响相对于Da =1.0及Da =0.01的多孔介质层而言较小,而Da =1.0的多孔层又小于Da =0.01的多孔介质层. 因此, γ=0时,通过在通道中插入中间范围Da的多孔层,改变界面性质可明显控制多孔层及自由流体层内的流体速度分布.

图4所示为复合通道界面应力系数 β与界面处速度 Ui的关系曲线. 由图可知,随复合通道界面应力系数 β值 的增加,界面处速度 Ui值将不断减小. 对于 Da=1, 0.01, 1×10-5的多孔层, 当 β=-1.01.5时, Ui值的变化范围分别为1.610 1.269, 1.676 0.417, 0.126 0.014, 根据式子 ΔUi/Ui,max,可得 Ui值的减小率分别约为21%, 78%, 89%. 由此可知, 当增大界面应力跳跃系数时,界面速度的变化率会随Da 的减小而增大,但具有中间范围Da 的多孔层会出现 更大范围 Ui值的变化,且在 β<0时变化更加明显.

图5所示为复合通道界面应力系数 β与摩擦系数 fRe的关系曲线. 由图可知,任一Da 下,增大复 合通 道界面应力系数 β值,会造成通道内流体流动摩擦系数fRe的不断增大,意味着流体流动所受到的压降阻力会不断增大. 而对于拥有Da 较小的多孔层的复合通道,如 Da=1×10-5,当流体流经此复合通道时,需克服较大的阻力压降,而此压降值则会随 β的增大而基本不发生变化;对于拥有较大Da 多孔层的复合通道,流体流动时所受到的阻力压降较小,且随界面应力系数的增大而变化不大;而对于中间范围Da 的多孔层而言,随 β值的增大,对应的fRe值增加近两倍,且在 β<0时变化更加明显.

图4   应力系数与界面速度关系

Fig. 4   The relation between stress jump coefficient and interfacial velocity

图5   应力系数与摩擦系数关系

Fig. 5   The relation between stress jump coefficient and friction coefficient

3.2 γ变化时, β对流体运动特性影响

多孔层偏心厚度 γ变化时,意味着多孔层填充厚度在发生变化,如图1所示,可得二者关系式为 (1+γ)H. 由关系式可知,多孔层偏心厚度 γ的增大可以认为是多孔层填充厚度的增大. 结合图3(b),考虑 Da=0.01, γ=-0.5,0,0.5情况下,即填充多孔层厚度为 1/2H, H, 3/2H情况下,流体速度分布随界面应力系数 β的变化,如图6所示. 随着填充多孔层厚度的增大,自由流体区内、多孔介质区内及二者界面处的最大流体速度均在不断增大. 但需要注意的是,改变 β值,在偏心厚度 γ=-0.5的多孔介质区内并没有出现速度交点,认为是由于填充多孔层厚度较小,速度未来得及交于一点便被非渗透性 壁面完全滞止;另外, 无论界面应力系数 β取何值,通过进一步计算 γ>0.5时,均出现界面速度减小的现象,如图7所示.

图6   不同多孔层偏心厚度下,β对流体速度分布影响

Fig. 6   The effect of β on the velocity profiles for various porous off-center thicknesses

图7   Da=0.01时,不同 β 下,多孔层偏心厚度 γ 与 界面速度Ui的关系

Fig. 7   The relation between porous off-center thickness γ and interfacial velocity Ui for different β at Da=0.01

为了验证是否任一Da 下都会出现这种现象. 以 β=1为条件,计算填充不同渗透性能及厚度的多孔层时,复合通道界面处的流体速度得到图8. 由图8发现, 当Da 较小时,填充多孔层偏心厚度 γ与界面速度 Ui成单调正相关性,在较大 γ值下,界面速度就已经出现趋于0的趋势,而当Da 较大时,并不是填充的多孔层厚度越厚界面速度就会越大,而会出现一个最佳填充厚度使界面速度达到最大,并且此最佳 厚度会随着Da 的增大而减小. 分析认为,这是由于在通道内填充多孔介质层,一方面会增大流体流动阻力,另一方面使流体自由流动通道截面积降低,根据质量守恒,会使自由流体通道内的流体流动速度增大. 这两方面因素共同作用就会出现当多孔层偏心厚度达到一定值时,或多孔层厚度填充到一定值时,界面处速度继续增大或减小的情况.

图8   β=1时,不同Da 下,多孔层偏心厚度 γ 与 界面速度Ui的关系

Fig. 8   The relation between porous off-center thickness γ and interfacial velocity Ui for different Da at β=1

由于界面存在情况下, β取值范围为 [-1.0, 1.5], γ取值范围为 (-1,1),二者量级均为1,因此粗略取这两个参数的共同取值范围 [-0.8,0.8],以Da 为横坐标,进一步研究不同Da 下, β, γUi的影响程度.

图9图10分别为固定 γ/β,在 [-0.8,0.8]范围内改变 β/γ所得到的Da 与界面速度 Ui的关系曲线. 图9(a)为 γ=-0.8γ=0.8下随 β变化时,Da 与界面速度 Ui的两组关系曲线,每组又有3条曲线,即 β=-0.8,0,0.8. 图9(b)为 γ=-0.5γ=0.5时随 β变化时, DaUi的两组关系曲线, 每组同样有3条曲线,即 β=-0.8,0,0.8. 由图9可以看出,当 γ=-0.8时,界面应力跳跃系数 β-0.800.8变化时,对应DaUi值逐渐减小,但减小范围 ΔUi不大. 当 γ-0.8-0.50.50.8不断增大时,每组曲线中随着 β-0.800.8的变化,对应各Da 下的 Ui值不断减小,特别是当 γ=0.8时,随着 β的增大, 对应DaUi值的减小量最大,为近 2/3Ui,max. 另外,还可以发现,较低 γ值对应的每 条曲线中 Ui均会随Da 的增大而单调增大,一定范围的DaUi的影响更大,记作 ΔDa,之后随着 γ值不断增大, Ui曲线会出现波峰且波峰会随 γ值的增加向较小Da 下移 动,造成 ΔDa也逐渐向左发生位移. 因此,一定中间范围Da 的多孔层会出现更大范围 Ui值的变化,且在 β<0时 变化更加明显,此时若不考虑界面应力跳跃系数计算所得的 Ui值会造成较大误差. 与图4γ=0时所得结论一致.

图9   γ 一定,改变 βDa 与界面速度Ui的关系曲线

Fig. 9   The relation between Da and interfacial velocity when changing β for constant γ

图10β=±0.8β=±0.5下随 γ变化时,Da与界面速度 Ui的四组关系曲线, 每组又有3条曲线,即 γ=-0.8,0,0.8. 由图10可以看出, β值一定时,每组曲线值 Uiγ值的增加不再是单调的变化关系,会在较大Da 下出现交点. 在交点之前,每组曲线值 Uiγ值的增加而增大,交点之后,曲线值 Ui则随 γ值的增加先增大后减小,与图8的结果一致. 随着 β值的增大,同一 γ值下的 Ui在相同Da 下会不断减小,且在较大 γ值时 Ui曲线出现波峰,与图9结果一致. 结合图9,可以得出:当 γβ均具有较小负数值时,改变 γUi的影响要远高于改变 β对其的影响;而 γβ具有较大正数值时,改变 βUi的影响要远高于改变 γ对其的影响.

图10   β一定,改变γDa 与界面速度Ui的关系曲线

Fig. 10   The relation between Da and interfacial velocity Uiwhen changing γ for constant β

进一步研究不同Da 下, β, γfRe的影响. 由于DafRe的影 响通常在几个数量级,若以Da 为横坐标则不能清晰的表示 β, γfRe的影响. 因此,分别得出Da =1.0,0.01,1 ×10 - 5时,不同界面应力系数 β条件下,多孔层偏心厚度 γ对流体运动摩擦系数fRe的影响,如图11所示. 在相同部分填充多孔介质层通道内,随着Da 的不断减小(图11(a) 图11(c)),流体运动摩擦系数fRe将不断增大,且增大幅度会因多孔层厚度的增加而急剧变大. 发现当Da数及多孔层偏心厚度一定时,fRe都会随界面应力系数 β的增大而增大,特别是在 β<0的情况下更加明显,只是当Da =1 ×10 - 5时的增大范围很小,以至于可以粗略认为重合于一点. 对于Da =0.01及Da =1 ×10 - 5的多孔层,即使 β不同,fRe也一致出现随 γ不断增加的趋势,且在较大 γ值下,fReγ越敏感;对于Da =1.0的多孔层,在 β=-1.0时会出现fRe值随 γ的增大先减小后增大的现象,继续增大 β值,fRe值则同Da =0.01及Da =1 ×10 - 5的多孔层一样随 γ的增大而增大,再继续增大 β值时会出现fRe值随 γ的增大先增大后减小的现象. 因此,在较大Da 下随 β的不同fRe呈现出不同的变化规律, γβfRe的影响均较大;但随着Da 的不断减小, γfRe的影响要大于 β, 直至Da 小到一定程度时(Da =1 ×10 - 5), βfRe的影响可忽略不计而认为只与 γ相关,且fRe对较大 γ更敏感.

图11   不同β下,多孔层偏心厚度γ与摩擦系数fRe的关系

Fig. 11   The relation between porous off-center thickness γ and friction coefficient fRe with different β

4 与B-J速度滑移界面模型的比较

根据Beavers和Joseph [1]提出的B-J速度滑移界面模型,有如下方程

$$ \left. {\frac{d u_{\rm f} }{d y}} \right|_{y = \gamma H} = \dfrac{\alpha ^\ast }{\sqrt k }\left( {u_{\rm i} - u_{\rm p} } \right) (18) $$

其中, α*为界面处速度滑移系数,取值范围为0.1 ~4,主要受界面处多孔介质结构性质、雷诺数等的影响 [1],与应力跳跃系数 β类似,其具体数值也需通 过实验进行确定. 之后,又有学者对界面速度滑移系数的影响因素做了相关研究,认为其也与自由流体区高度、流体流动方向、雷诺数、 多孔介质材料等有关 [2,34-35]. 在多孔层内流体运动符合Darcy定律,即不考虑Brinkman项及Forchheimer项,方程(2)变为

$$ -\dfrac{\mu _{\rm f} }{k}u_{\rm p} - \dfrac{\d p}{\d x} = 0 (19) $$

自由流体区内的流体运动方程仍为方程(1)且仍有边界条件 ufy=H=0. 将上述方程无量纲化后,可求得方程组解为

Up=Da

$$ U_{\rm f} = - \dfrac{\left( {Y - \gamma } \right)^2}{2} + \dfrac{\alpha ^\ast }{\sqrt {Da} }\left( {U_{\rm i} - Da} \right)\left( {Y - \gamma } \right) + U_{\rm i} $$

其中界面处速度为

$$ U_{\rm i}= \dfrac{\dfrac{1}{2}\left( {1 - \gamma } \right)^2 + \alpha ^\ast \sqrt {Da} \left( {1 - \gamma } \right)}{\alpha ^\ast \left( {1 - \gamma } \right) / \sqrt {Da} + 1} $$

进一步可通过平均速度的定义求得

$$ \bal U_{\rm m}= \Bigg[ Da\left( {1 + \gamma } \right) - \dfrac{1}{6}\left( {1 - \gamma } \right)^3 +\[2mm] \qquad \dfrac{\alpha ^\ast }{2\sqrt {Da} }\left( {U_{\rm i} - Da} \right)\left( {1 - \gamma } \right)^2 + U_{\rm i} \left( {1 - \gamma } \right) \Bigg ] \Big / {2} \eal $$

最终可得各区域无量纲速度$\hat {U} = \dfrac{U}{U_{\rm m}}$.

图12所示为Da =0.01, γ=-0.5,不同 α*情况下非对称多孔介质耦合通道内的流体速度分布. 由图可以看出,当多孔介质区内采用Darcy模型并在界面处应用B-J速度滑移界面条件时,在多孔介质层的上下界面处( Y=γY=-1.0)均出现了速度不连续现象. α*较小时,在与自由流体区接触界面处的滑移速度 Ûi会较大,相较于 α*较大时的情况,速度不连续现象十分明显,而与壁面接触界面处 (Y=-1.0)的速度却小于 α*较大时的情况,但均不为0. 与图6(a)进行比较,可以看出采用Brinkman-extended Darcy模型并结合Ochoa-Tapia和Whitaker [13]提出的界面条件能够很好的解决B-J速度滑移条件下的速度不连续问题,不仅能够使与自由流体区接触界面处速度连续,也能保证与多孔介质接触的非渗透性固体壁面处速度为0,更符合实际现象. 另外,Ochoa-Tapia和Whitaker [13,15]指出,在利用复杂体积平均方法推导界面模型时,Brinkman-extended Darcy模型与Stokes’方程的匹配过程要求同时保证应力不连续及速度连续.

图12   γ=-0.5时, α*对流体速度分布影响

Fig. 12   The effect of α* on the velocity profiles for γ=-0.5

5 结 论

采用Brinkman-extended Darcy模型并结合速度连续,剪切应力跳跃的界面条件对非对称多孔介质--自由流复合通道内多孔介质内部及多孔介质与自由流体界面处复杂质量、动量输运特性进行研究,得到考虑多 孔介质界面处应力跳跃时,复合通道内各区域流体运动速度及摩擦系数的解析式,并根据解析式进一步分析了界面应力系数 β,Da 及多孔层偏心厚度 γ对复合通道内流体速度剖面及压降阻力的影响,得出:(1)在一定Da 范围内改变界面性质可明显控制各区域流体速度分布;(2)在达西数、多孔层偏心厚度一定情况下,随界面应力系数的增大界面 处流速会不断减小,而流体摩擦系数则会不断增大,特别是界面应力系数小于0的情况下变化更加明显,此时若不考虑界面应力 跳跃则会造成较大误差;(3)界面性质确定情况下,当达西数较小时,填充多孔层厚度与界面速度成单调正相关性,且在多孔区 内出现不随 y变化的几近为0的达西速度;而当达西数较大时,则会出现一个最佳多孔介质填充厚度使界面速度达到最大,并且 此最佳厚度会随达西数的增大而减小;(4)当 βγ均具有较小负数值时,改变 γUi的影响要大于改变 β对其的影响;而当 γβ具有较大正数值时,改变 βUi的影响要大于改变 γ对其的影响;(5)在较大Da 下随 β的不同fRe呈现出不同的变化规律, γβfRe的影响均较大;继续减小达西数直至Da 小到一定程度时, βfRe的影响可忽略不计而认为只与 γ相关,且fRe对较大 γ更敏感.

The authors have declared that no competing interests exist.


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