力学学报  2018 , 50 (1): 99-108 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-207

动力学与控制

时变参数时滞减振控制研究

李帅, 周继磊, 任传波*, 邵素娟

山东理工大学 交通与车辆工程学院,淄博 255000

The research of time delay vibration control with time - varying parameters

Li Shuai, Zhou Jilei, Ren Chuanbo*, Shao Sujuan

School of Traffic and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255000, China

中图分类号:  O032.8

文献标识码:  A

通讯作者:  通讯作者 任传波 教授 主要研究方向:车辆系统动力学. E-mail: chuanbor@sdut.edu.cn

收稿日期: 2017-05-31

接受日期:  2017-11-16

网络出版日期:  2018-02-20

版权声明:  2018 《力学学报》编辑部 《力学学报》编辑部 所有

基金资助:  国家自然科学基金(No.51275280),山东省自然科学基金(No.ZR2015EL048)资助.

作者简介:

作者简介 李帅 研究生 主要研究方向:车辆系统动力学.

展开

摘要

时滞动力吸振器对谐波激励有着良好的减振控制效果,但对随机激励的减振控制效果却并不明显,具体表现为时滞动力吸振器对随机激励的减振控制效果与被动吸振器几乎相同。针对上述问题,本文提出了一种新的时变参数时滞减振控制方法。在原有时滞减振控制方法的基础上,首先将时滞增益系数由定值形式变为时间函数形式,然后通过时变优化得到多组时滞控制参数并使其以一定时间周期循环作用于减振控制过程,通过这种方法进一步改善了时滞动力吸振器减振性能。本文最后以二自由度时滞动力吸振器减振模型为例,以主系统的振动响应为仿真对象,运用精细积分法求解了具有时变时滞参数的时滞动力学方程,以此得到了在谐波激励和随机激励作用下主系统振动的时域仿真结果。研究结果表明,在时变参数时滞动力吸振器的控制下,主系统无论是受谐波激励作用还是受随机激励作用,其振动位移、振动速度和振动加速度均比在定值参数时滞动力吸振器控制下时有大幅的减少,时滞动力吸振器的减振性能有了明显的改善。

关键词: 时滞动力吸振器 ; 时变优化 ; 时变参数控制 ; 精细积分法 ; 随机激励控制

Abstract

The time delay dynamic vibration absorber has good vibration control effect on harmonic excitation, but it has no obvious vibration control effect on the random excitation, which is shown that the vibration control effect of the time-delay dynamic absorber is almost the same as that of the passive vibration absorber. In view of the above problems, this paper proposed a new method of time varying time delay parameter vibration control. On the basis of the original time delay vibration control method, firstly, the time delay gain is changed from fixed value form to time function form, then, the time-varying time delay control parameters are obtained by time varying optimization, and they are applied to the vibration control process in a certain time cycle. By this method, the vibration control performance of the time-delay dynamic absorber is further improved. Finally, this paper takes the Two-degree-of-freedom damping system with time-delay feedback control as the target system, the vibration response of the primary system as the simulation object, using the Precise integration method to solve the dynamic equations with time varying time delay parameters, and obtained the time domain simulation results of the vibration of the primary system under influence of harmonic excitation and random excitation respectively. The results show that, compared with the fixed parameter time delay dynamic vibration absorber , when the primary system under the control of time-varying parameters time delay vibration absorber, its vibration displacement, vibration speed and vibration acceleration are all greatly reduced, whether it is subjected to harmonic excitation or random excitation. The vibration control performance of the time-delay dynamic absorber has been greatly improved.

Keywords: The time delay dynamic vibration absorber ; Time-varying optimization ; Time-varying parameter vibration control ; Precise integration method ; Random excitation control

0

PDF (712KB) 元数据 多维度评价 相关文章 收藏文章

本文引用格式 导出 EndNote Ris Bibtex

李帅, 周继磊, 任传波, 邵素娟. 时变参数时滞减振控制研究[J]. 力学学报, 2018, 50(1): 99-108 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-207

Li Shuai, Zhou Jilei, Ren Chuanbo, Shao Sujuan. The research of time delay vibration control with time - varying parameters[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018, 50(1): 99-108 https://doi.org/10.6052/0459-1879-17-207

引言

动力吸振器减振机理已经在理论研究和实际工程中被广泛应用。为了克服传统被动吸振器减振频域小,只能对特定频率的激励取得有效减振控制的缺陷,寻找能够有效改善动力吸振器减振性能的主动控制力一直是振动主动控制技术的主要研究方向。闫立勋等[1]为了扩大吸振器的工作频带,设计了一种自适应主动共振吸振器,并提出了一种变步长、双寻优的控制算法,提高了吸振器的减振控制效果。钱小勇和胡海岩[2]为了扩展吸振器的工作带宽,提出一种实时调节弹性元件的半主动吸振器,并给出了吸振器的控制策略。

在动力吸振器减振机理的研究过程中,研究者们发现时滞现象在振动系统中是广泛存在甚至是不可避免的。起初,因时滞的存在会使得振动系统失稳或使其振动非线性化,所以时滞动力学问题的研究主要集中在对时滞的辨识和补偿上。随着振动主动控制技术的发展,越来越多的研究表明,时滞反馈也可以作为主动控制项在振动的主动控制技术中被有效利用。Olgac[3]最早提出了利用基于吸振器质量块位移的时滞反馈控制结构来吸收主系统的振动能量的概念,并取得了显著的效果。为了进一步验证时滞控制的减振效果,又设计出能够在固定双频下完全抑制主系统振动的双频时滞动力吸振器[4]。随后,Olgac等人[5,6]又研究了实时可调谐吸振器减振机理,分别引入位移和速度时滞状态反馈,其可随频率变化调节时滞反馈量,从而最大限度的减小了主系统的振动响应。

近些年来,时滞减振控制技术取得了进一步的发展。Shin与Kim等[7]从理论上对气动隔振板的时滞减振控制技术进行了研究,并取得了很好的实验效果。Nayfeh等[8]在对悬臂梁的时滞减振控制上也取得了非常好的实验效果。在工程领域,申永军、赵永香、田佳雨等[9]对一类采用有限相对位移控制的含时滞单自由度半主动悬架系统进行了动力学分析,研究了被动悬架系统并且和半主动悬架系统进行了比较,证实了半主动悬架系统的优越性。赵艳影、徐鉴[10]采用多尺度法研究了时滞非线性动力吸振器对主系统的减振性能。陈龙祥、蔡国平研究了柔性梁旋转运动[11]与受迫振动[12]的时滞主动控制。除此之外,时滞对振动非线性的影响[13]和状态反馈问题[14]也是工程领域时滞控制问题的研究重点。随着主动控制技术的兴起,阻尼的时滞补偿方法 [15]、时滞吸振器的减振频宽[16]、稳定性[17]及参数优化[18]成为了近些年来的研究热点。

目前,时滞减振控制理论的研究大多还是集中于吸振器[19,20]与隔振器[21,22,23],通过对比加入时滞控制前后时滞动力吸振器的减振控制效果来[24,25]突出时滞减振控制的优越性。时滞参数为定值的时滞动力吸振器对谐波激励有着出色的减振控制效果,但对随机激励的减振控制效果并不明显,具体表现为时滞动力吸振器对随机激励的减振控制效果与被动吸振器几乎相同。针对上述问题,本文提出了一种时变参数时滞减振控制方法,通过使时变优化得到的多组时滞控制参数以一定周期循环作用于振动控制过程的方法来提高时滞动力吸振器对随机激励的减振控制效果,进一步改善了时滞动力吸振器的减振性能,为结构时滞减振控制提供了一种新的途径。

1 时滞动力吸振器

1.1 时滞动力吸振器模型

在实际工程中,动力吸振器的形态和结构是复杂多变的,为了便于研究,需要根据所研究的问题对研究对象进行合理简化。时滞动力吸振器模型通常由质量块、弹簧、阻尼元件和时滞反馈控制力构成,通过调节时滞反馈控制力中的时滞增益系数和时滞反馈量来使时滞动力吸振器达到最佳的减振控制效果。在此前时滞动力吸振器的研究中,时滞参数一般为定值,即定值参数时滞动力吸振器。本文以二自由度动力吸振器减振系统为例,建立了二自由度时滞动力吸振器减振系统的力学模型。模型如图1所示

图1   含时滞反馈控制的二自由度减振系统

Fig.1   Two-degree-of-freedom damping system with time-delay feedback control

图中,m1为时滞动力吸振器质量, c1k1分别为时滞动力吸振器弹簧的刚度系数和阻尼元件的阻尼系数,x1为时滞动力吸振器质量m1的位移;m2为主系统质量,k2c2分别为主系统弹簧的刚度系数和阻尼元件的阻尼系数,x2为主系统质量m2的位移。图1中,f(t)为直接作用于主系统上的外界激励,激励形式未定;g为时滞增益系数,τ为时滞反馈量。系统模型的动力学方程为

$\left\{ \begin{matrix}\begin{align}{m_{1}}\overset{..}{\mathop{{x_{1}}}}+{c_{1}}\overset{.}{\mathop{x_{1}}}-\overset{.}{\mathop{x_{2}}})+{k_{1}}\left({x_{1}}-{x_{2}} \right)+u=0 \\{{m}_{2}}\overset{.,}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,+{{c}_{1}}\overset{.}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,-\overset{.}{\mathop{{{x}_{1}}}}\,)+{{k}_{1}}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+{{c}_{2}}\overset{}{\mathop{{{x}_{2}}}}+ \\{{k}_{2}}\overset{}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,-u=f\left( t \right) \\\end{align} \\\end{matrix} \right.$ (1)

其中,u为时滞反馈控制力,其方程形式为

$u=g{{x}_{1}}\left( t-\tau \right)$ (2)

当方程(2)中g=0时, u=0,此时时滞反馈控制力消失,时滞动力吸振器变为被动吸振器。

本文选取的系统参数值如表1所示

表1   系统参数

Table.1   System parameters

subscriptm/kgc/ (N·m·s-1)k/( N·m-1)
10.10.110
212100

新窗口打开

1.2 时变时滞参数的确定

本文将时滞反馈控制力中的时滞增益系数由定值形式g变为时间函数形式g(t),以此在优化环节中得到一些列对应不同时间点的优化结果。时滞增益系数由定值形式g变为时间函数形式g(t)后,系统动力学方程(1)变为

$\left\{ \begin{matrix}\begin{align}{{m}_{1}}\overset{..}{\mathop{x_{1}}}+{c_{1}}(\overset{.}{\mathop{x_{1}}}-\overset{.}{\mathop{x_{2}}})+{k_{1}}\left( {x_{1}}-{x_{2}} \right)+g\left( t \right){{x}_{1}}\left( t-\tau \right)=0 \\{{m}_{2}}\overset{..}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,+{{c}_{1}}(\overset{.}{\mathop{{{x}_{2}}}}-\overset{.}{\mathop{{{x}_{1}}}})+{{k}_{1}}\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)+{{c}_{2}}\overset{}{\mathop{{{x}_{2}}}}+{{k}_{2}}{{x}_{2}}-g\left( t \right){{x}_{1}}\left( t-\tau \right)=f\left( t \right) \\\end{align} \\\end{matrix} \right.$ (3)

首先设方程(3)中作用于主系统上的激励f(t)为谐波激励f(t)=sin(ωt),其中ω为主系统振动频域响应的峰值频率,其值为ω=ωn(1-2ζ2)1/2=9.9rad/s,其中, ζ=c2/2(k2m2)1/2, ωn =(k2/m2)1/2=10rad/s, ωn为主系统的固有频率。

因时滞增益函数g(t)的方程形式不确定,而优化算法只能对定值形式的目标参数进行优化计算,本文选择将g(t)在一系列时间点tk上进行Taylor级数展开,将时滞增益函数g(t)构造为时间点上的定值形式。g(t)的Taylor级数展开式为

$\begin{align}g\left( t \right)=g\left( {{t}_{k}} \right)+\frac{g{{\left( {{t}_{k}} \right)}^{'}}}{1!}\left( t-{{t}_{k}} \right)+ \frac{g{{\left( {{t}_{k}} \right)}^{''}}}{2!}{{\left( t-{{t}_{k}} \right)}^{2}}+\frac{g{{\left( {{t}_{k}} \right)}^{'''}}}{3!}{{\left( t-{{t}_{k}} \right)}^{3}} +\ldots +\frac{g{{\left( {{t}_{k}} \right)}^{n}}}{n!}{{\left( t-{{t}_{k}} \right)}^{n}}+{{R}_{n}}\left( t \right) \\\end{align}$ (4)

由于公式(4)中的Taylor级数展开时间区间较小,因此本文只取时滞增益函数g(t)的 Taylor级数展开式的前两项,其中tk为Taylor级数展开式(4)的展开时间点。为建立主系统振动频域响应函数,需要对方程(3)进行拉普拉斯变换得到系统的特征方程。若将公式(4)代入方程(3)进行拉普拉斯变换,由于s域微分定理,在变换过程中会出现无法消除的冗余微分项$\frac{dx\left( s \right)}{ds}$,因此无法在连续的时间区间对方程(3)进行拉普拉斯变。为了避免出现冗余微分项,本文选择对方程(3)所在的连续时间区间进行离散,将时滞增益函数g(t)在离散时间区间上进行Taylor级数展开。

首先将方程(3)所在的时间区间由连续时间区间离散为由k个长度相等的时间区间T组成的离散时间区间,其中k=t/T,t为方程(3)所在的连续时间区间长度。然后再将每个时间区间T离散为n个相等的时间区间ΔT,其中n=TT。最后取Taylor级数展开式(4)中的展开时间点tk为第k个时间区间T的起始时间点。由此可得每个时间区间T内的系统动力学方程为

$\left \{ \begin{matrix}\begin{align}{{m}_{1}}\overset{..}{\mathop{{{x}_{1}}}}\,({{t}_{a}})+{{c}_{1}}[\overset{.}{\mathop{{{x}_{1}}}}\,({{t}_{a}})-\overset{.}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,({{t}_{a}})]+{{k}_{1}}[{{x}_{1}}\left( {{t}_{a}} \right)-{{x}_{2}}\left( {{t}_{a}} \right)]+g\left( {{t}_{a}} \right){{x}_{1}}\left( {{t}_{a}}-\tau \right)=0 \\{{m}_{1}}\overset{..}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,({{t}_{a}})+{{c}_{1}}[\overset{.}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,({{t}_{a}})-\overset{.}{\mathop{{{x}_{1}}}}\,({{t}_{a}})]+{{k}_{1}}[{{x}_{2}}\left( {{t}_{a}} \right)-{{x}_{1}}\left( {{t}_{a}} \right)]+{{c}_{2}}\overset{.}{\mathop{{{x}_{2}}}}\,({{t}_{a}})+{{k}_{2}}{{x}_{2}}\left( {{t}_{a}} \right)-g\left( {{t}_{a}} \right){{x}_{1}}\left( {{t}_{a}}-\tau \right)=f\left( {{t}_{a}} \right) \\\end{align} \\\end{matrix} \right.$ (5)

其中,ta为各时间区间T内第a个时间区间ΔT的末端,且ta=aΔT,1≦an

当将方程(5)变换为状态方程形式,并运用精细积分法[26,27,28]对其进行计算时,在时间区间T内,精细积分法计算方程(5)的方程形式为$$

$\begin{align} {{\mathbf{y}}_{a}}=\exp \left( \mathbf{A}t \right){{\mathbf{y}}_{a-1}}+ \underset{{{t}_{a-1}}}{\overset{{{t}_{a}}}{\mathop \int }}\,\exp \left[ \mathbf{A}\left( {{t}_{a}}-s \right) \right]\mathbf{B}{{\mathbf{y}}_{a-1}}\left( s-\tau \right)\text{d}s +\underset{{{t}_{a-1}}}{\overset{{{t}_{a}}}{\mathop \int }}\,\exp \left[ \mathbf{A}\left( {{t}_{a}}-s \right) \right]f\left( s \right)\text{d}s \\ \end{align}$ (6)

方程(6)中, yaA、Bya-1(s-τ)分别为

${{\mathbf{y}}_{a}}={{\left[ \begin{matrix} {{{\dot{x}}}_{1}}({{t}_{a}}) & {{{\dot{x}}}_{2}}({{t}_{a}}) & {{x}_{1}}({{t}_{a}}) & {{x}_{2}}({{t}_{a}}) \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$ (7a)

${{\mathbf{y}}_{a-1}}(s-\tau )={{\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & g{{x}_{1}}(s-\tau ) & 0 \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$ (7b)

$\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix}-\frac{{{c}_{1}}}{{{m}_{1}}} & \frac{{{c}_{1}}}{{{m}_{1}}} & -\frac{{{k}_{1}}}{{{m}_{1}}} & \frac{{{k}_{1}}}{{{m}_{1}}} \\\frac{{{c}_{2}}}{{{m}_{2}}} & \frac{-2{{c}_{1}}}{{{m}_{2}}} & \frac{{{k}_{2}}}{{{m}_{2}}} & \frac{2{{k}_{2}}}{{{m}_{2}}} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \text{0} & \text{1} & 0 & 0 \\\end{matrix} \right]$ (7c)

$\mathbf{B}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \frac{-1}{{{m}_{1}}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{{{m}_{2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ (7d)

a=1时,ta-1=t0=0,ya-1=y0。其中, ${{\mathbf{y}}_{0}}={{\left[ \begin{matrix} {{{\dot{x}}}_{1}}({{t}_{0}}) & {{{\dot{x}}}_{2}}({{t}_{0}}) & {{x}_{1}}({{t}_{0}}) & {{x}_{2}}({{t}_{0}}) \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$,为方程(6)当前计算时间区间T的初始条件。

在方程(6)中,时滞增益函数g(ta)的Taylor级数展开形式变为

$g\left( {{t}_{a}} \right)={{g}_{0}}+\left( {{g}_{a}}-{{g}_{0}} \right)a$ (8)

其中,g0ga分别为Taylor级数展开式中t0ta处的时滞增益项。当a由1变换到n时,g(ta)即为时间区间T内时间点ta处的时滞增益。因 a=1时方程(8)中g0项会消失,方程的形式发生改变,因此判定a=1处的优化结果无效,令该时间点处的优化结果等于与之相邻的a=2处的优化结果。同时,令t=0处的时滞增益系数与时滞反馈量等于a=100处的优化结果。

在时间区间T内的时间点ta处对系统动力学方程组进行拉普拉斯变换得该时间点处的系统特征方程为

$\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{X}_{1}}\left( s \right) \\ {{X}_{2}}\left( s \right) \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ F\left( s \right) \\ \end{matrix} \right]$ (9)

其中,s=ωi

$\begin{align} \begin{array}{*{35}{l}} {{A}_{11}}={{m}_{\text{1}}}{{s}^{\text{2}}}+{{c}_{1}}s+{{k}_{1}}+\left[ {{g}_{0}}+\left( {{g}_{a}}-{{g}_{0}} \right)a \right]{{e}^{-\tau s}} \\ {{A}_{12}}=-{{c}_{1}}s-{{k}_{1}} \\ {{A}_{21}}=-{{c}_{\text{1}}}s-{{k}_{\text{1}}}-\left[ {{g}_{0}}+\left( {{g}_{a}}-{{g}_{0}} \right)a \right]{{e}^{-\tau s}} \\ {{A}_{22}}={{m}_{2}}{{s}^{\text{2}}}+\left( {{c}_{1}}+{{c}_{2}} \right)s+\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)~~~ \\ \end{array} \\ \end{align}$ (10)

由方程(10)可得

$\frac{{{X}_{1}}}{F(s)}=\frac{{{A}_{1\text{2}}}}{{{A}_{11}}{{A}_{22}}-{{A}_{12}}{{A}_{21}}}$ (11)

$\frac{{{X}_{\text{2}}}}{F(s)}=\frac{{{A}_{1\text{1}}}}{{{A}_{11}}{{A}_{22}}-{{A}_{12}}{{A}_{21}}}$ (12)

由方程(11)可得主系统振动位移、振动速度、振动加速度的频域响应函数分别为

${{\left| {{H}_{1}}(\omega ) \right|}_{{{X}_{2}}}}=\left| \frac{{{X}_{2}}}{F(s)} \right|=\left| \frac{{{A}_{11}}}{{{A}_{11}}{{A}_{22}}-{{A}_{12}}{{A}_{21}}} \right|$ (13)

${{\left| {{H}_{2}}(\omega ) \right|}_{\overset{.}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}}=\left| \frac{\overset{.}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}{F(s)} \right|=~\left| \frac{s{{A}_{12}}}{{{A}_{11}}{{A}_{22}}-{{A}_{12}}{{A}_{21}}} \right|$ (14)

${{\left| {{H}_{3}}(\omega ) \right|}_{\overset{..}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}}=\left| \frac{\overset{..}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}{F(s)} \right|=~\left| \frac{{{s}^{2}}{{A}_{12}}}{{{A}_{11}}{{A}_{22}}-{{A}_{12}}{{A}_{21}}} \right|$ (15)

取上述主系统振动频域响应函数之和作为优化目标函数J

$\begin{align} & J=~{{\left| {{H}_{1}}(\omega ) \right|}_{{{X}_{2}}}}+{{\left| {{H}_{2}}(\omega ) \right|}_{\overset{.}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}}+{{\left| {{H}_{3}}(\omega ) \right|}_{\overset{..}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}} \\ & Subject\begin{matrix} {} & to & 0 \\ \end{matrix}<\tau \le 20 \\ \end{align}$ (16)

当对目标函数(16)进行优化计算时,随着a由1到n的变化,可得到每个时间区间T内各个时间点ta处时滞τ与时滞增益系数g的优化结果。在实际运算过程中发现若n的值过大,优化计算过程中会出现明显的累积误差。因此,经反复计算试验,本文选取n=100。在系统特征方程根s=ωi中,特征方程根虚部ω与激励频率相等,即s=9.9i。为了在仿真计算过程中使精细积分法的计算时间步长ΔT与时滞优化结果τ的精度相对应,本文选取ΔT=0.0001s,时滞增益函数的Taylor级数展开时间区间为T=nΔT =0.01s。设置优化目标函数(16)中g0gaτ优化初始点均为0.1,计算步长为0.02,精度为0.0001。经优化计算得时间区间T内时变时滞参数的优化结果如图2图3所示。

图2   时滞增益优化结果

Fig.2   The optimization results of Time-delay gain

图3   时滞值优化结果

Fig.3   The optimization results of time-delay

图2图3可看出,因时滞增益在优化目标函数(16)中为时间函数形式,所以其优化结果在时域上为一条随时间的变化而起伏的曲线。相比之下,时滞在优化目标函数(16)中为定值形式,因此其优化结果为定值。

将目标函数(16)中的时滞增益由时间函数形式g(ta)变为定值形式g,运用同样的方法进行优化计算可得定值时滞参数的优化结果为

$g=1.0408\text{N}/\text{m},\tau =0.1576\text{s}$ (17)

2 系统稳定性分析

为了确保整个系统的稳定,需要对系统进行稳定性分析,以确保优化所得时滞参数符合系统稳定条件。

由系统的动力学方程,可以列出系统的特征方程多项式为

$G(s)=A(s)+g{{e}^{-\tau s}}P(s)=0$ (18)

其中$A(s)=({{m}_{1}}{{s}^{2}}+{{c}_{1}}s+{{k}_{1}})P(s)+{{m}_{1}}{{s}^{2}}({{c}_{1}}s+{{k}_{1}})$ $P\left( s \right)={{m}_{2}}{{s}_{2}}+{{c}_{2}}s+{{k}_{2}}$ (19)

在系统特征方程(18)中,时滞增益与时滞的关系为

$\left| g \right|=(\left| A \right|/\left| P \right|){{e}^{\tau b}}$ (20)

其中b为特征方程根s的实部

$b=\Re (s)$ (21)

且有

$\angle P-\angle A=(2k+1) \pi +\tau \omega g>0$ (22a)

$\angle P-\angle A=2k \pi +\tau \omega \begin{matrix} {} & {} \\ \end{matrix}g<0$ (22b)

其中,k=0,±1, ±2, ±3…

当特征方程根s为纯虚根s=ωi时,方程(20)变为

${{\left| g \right|}_{s={{\omega }_{\text{c}}}i}}=\left| A \right|/\left| P \right|$ (23)

本文通过寻找特征方程根实部与时滞增益g 的导数关系探究了时滞增益g对复平面上系统特征方程根轨迹的影响。经计算,当时滞τ与穿越频率ωc均为正数时,有

$\Re {{(\text{d}s/\text{d}g)}_{s={{\omega }_{\text{c}}}\text{i}}}>0\begin{matrix} , & g>0 \\ \end{matrix}$ (24a)

$\Re {{(\text{d}s/\text{d}g)}_{s={{\omega }_{\text{c}}}\text{i}}}<0\begin{matrix} , & g<0 \\

\end{matrix}$ (24b)

根据系统稳定性理论,若系统稳定,则系统特征方程根在复平面上位于虚轴的左侧。由式(24)可知,在时滞确定的情况下,当时滞增益大于零时,时滞增益的增大会使得系统特征方程根在复平面上向右移动,若时滞增益不断增大,系统特征方程根最终会自左向右穿过虚轴进入不稳定区域;而当时滞增益小于零时,时滞增益的减小会使得系统特征方程根在复平面上向右移动,若时滞增益不断减小,系统特征方程根最终会自左向右穿过虚轴进入不稳定区域。在式(24)中,ωc为系统特征根轨迹在复平面上穿越虚轴时的虚坐标,称为穿越频率。

对于确定的时滞τ与穿越频率ωc,由式(23)可计算得出其对应的使系统特征方程根位于虚轴,即系统处于临界稳定状态时的临界时滞增增益gc(τ(ωc))。因此,对于确定的时滞τ与穿越频率ωc,若要使得系统稳定,时滞增益所必须满足的条件为

$g<{{g}_{\text{c}}}(\tau ({{\omega }_{\text{c}}}))\begin{matrix} , & g>0 \\ \end{matrix}$ (25a)

$g>{{g}_{\text{c}}}(\tau ({{\omega }_{\text{c}}}))\begin{matrix} , & g<0 \\ \end{matrix}$ (25b)

由方程 (22)可知,对于确定的时滞τ,当k取不同的值时,其对应的穿越频率也不相同,这也就意味着时滞τ对应有多个临界时滞增益。为了保证系统稳定,应确保在时滞确定的情况下,时滞增益不会使系统的特征方程根进入不稳定区域。因此,时滞系统的稳定条件为:在时滞确定的情况下,若时滞增益大于零,则时滞增益应小于时滞所对应的所有系统临界时滞增益中的最小值gcmin(τ(ωc));若时滞增益小于零,则时滞增益应大于时滞所对应的所有系统临界时滞增益中的最大值gcmax(τ(ωc))。由式(24)、(25)可得出时滞振动系统的稳定条件为

$g<{{g}_{\text{c}\min }}(\tau ({{\omega }_{\text{c}}}))\begin{matrix} , & g>0 \\ \end{matrix}$ (26a)

$g>{{g}_{\text{c}\max }}(\tau ({{\omega }_{\text{c}}}))\begin{matrix} , & g<0 \\ \end{matrix}$ (26b)

利用上述系统稳定性分析方法进行计算可得时变时滞参数所对应的系统稳定条件为

$g<2.3419\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g>0 \\ \end{matrix}$ (27a)

$g>-0.2384\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g<0 \\ \end{matrix}$ (27b)

通过系统稳定条件(27)与图2中时滞增益优化结果得时变时滞参数的系统稳定性分析结果如图4所示

图4   系统稳定性分析结果

Fig.4   System stability analysis results

图4可知,图2中的时滞增益优化结果均符合系统稳定条件(27),由此可以判定,时变时滞参数符合系统稳定条件。

对式(17)中的定值时滞参数优化结果运用同样的稳定性分析方法进行计算分析可得定值时滞参数所对应的系统稳定条件为

$g<1.1512\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g>0 \\ \end{matrix}$ (28a)

$g>-0.2400\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g<0 \\ \end{matrix}$ (28b)

通过对比系统稳定条件(27)、(28)可以看出时变时滞参数所对应的时滞增益稳定区间大于定值时滞参数对应的时滞增益稳定区间。说明相比于定值参数时滞动力吸振器,时变参数时滞动力吸振器的时滞增益稳定调节区间更大,控制的鲁棒性也更好。

3 仿真分析与验证

3.1 谐波激励下的仿真分析

将时变时滞参数代入方程(6)中,以ΔT为计算时间步长,时滞增益函数g(t)的Taylor级数展开时间区间T为时变时滞参数的循环作用周期,对谐波激励f(t)=sin(ωt)作用下主系统振动响应进行仿真运算,可得在时变参数时滞动力吸振器控制下主系统振动的时域仿真结果。同时将g=0N/m与定值时滞参数(17)代入系统动力学方程(1)中进行运算,可分别得到在被动吸振器和定值参数时滞动力吸振器控制下主系统振动的时域仿真结果。方程(1)的计算初始条件与方程(6)在第一个时间区间T的计算初始条件均为

${{\mathbf{y}}_{0}}={{\left[ \begin{matrix} \text{0} & \text{0} & \text{0} & \text{0} \\ \end{matrix} \right]}^{\text{T}}}$ (29)

经仿真运算得主系统振动的时域仿真结果为

图5   系主系统振动位移

Fig.5   Vibration displacement of primary system

图6   主系统振动速度

Fig.6   Vibration velocity of primary system

图7   主系统振动加速度

Fig.7   Vibration acceleration of primary system

由主系统振动的时域仿真结果可知,对于谐波激励,定值参数时滞动力吸振器取得了比于被动吸振器更好的减振控制效果,而时变参数时滞动力吸振器取得了比定值参数时滞动力吸振器更加显著的减振控制效果。在时变参数时滞动力吸振器控制下,主系统的振动趋于稳定后,其振动位移、振动速度与振动加速度均出现了大幅下降。由仿真计算结果可得,相比于被动吸振器,在定值参数时滞动力吸振器的控制下,主系统的振动趋于稳定后,其振动位移、振动速度与振动加速度的均方根值分别减少了72.9%、73.4%、73.8%;在时变参数时滞动力吸振器的控制下,主系统的振动趋于稳定后,其振动位移、振动速度与振动加速度的均方根值分别减少了92.59%、92.14%、95.15%。由以上分析数据可知,对于谐波激励,时变参数时滞动力吸振器可以取得比被动吸振器与定值参数时滞动力吸振器更好的减振控制效果。

3.2 随机激励下的优化仿真分析

图5图6图7的分析结果可知,对于谐波激励,时变参数时滞动力吸振器取得了比定值参数时滞动力吸振器更好的减振控制效果。为了进一步探究时变参数时滞动力吸振器的减振性能,本文将系统方程(3)中的外界激励由谐波激励f(t)=sin(ωt)变为随机激励,以此来探究时变参数时滞动力吸振器对随机激励的减振控制效果。

本文选取功率为10dBM的高斯白噪声作为随机激励的激励形式,以主系统的振动位移、振动速度与振动加速度为控制对象,对随机激励下时变参数时滞动力吸振器的减振性能进行了探究。因高斯白噪声为宽频激励,所以本文选取主系统振动位移、振动速度与振动加速度频域响应函数的平方和在无限宽频域上的积分作为优化目标函数J

$\begin{align}& J=~\int\limits_{0}^{\infty }{{{\left| {{H}_{1}}(f) \right|}^{\text{2}}}_{{{X}_{2}}}+{{\left| {{H}_{2}}(f) \right|}^{\text{2}}}_{\overset{.}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}+{{\left| {{H}_{3}}(f) \right|}^{\text{2}}}_{\overset{..}{\mathop{{{X}_{2}}}}\,}}\text{d}f \\& Subject\begin{matrix}{} & to & 0 \\\end{matrix}<\tau \le 20 \\\end{align}$ (30)

当时滞增益为时间函数形式时,运用前文中优化计算目标函数(16)的方法对目标函数(30)进行优化计算可得随机激励下时变时滞参数的优化结果如图8图9所示

图8   时滞增益优化结果

Fig.8   The optimization results of Time-delay gain

图9   时滞优化结果

Fig.9   The optimization results of Time-delay

将目标函数(30)中的时滞增益由函数形式变为定值形式,可得随机激励下定值时滞参数的优化结果为

x$g=1.3616\text{N}/\text{m}\tau =0.2488\text{s}$ (31)

图8图9可知,随机激励下时变时滞参数优化结果中的时滞增益优化结果随时间变化的趋势与谐波激励下时滞增益优化结果相似,且时滞增益优化结果在时域上同样为一条随时间变化而波动的曲线,时滞优化结果同样为一定值τ=0.4136s。由前文中的系统稳定性分析方法计算可得随机激励下时变时滞参数所对应的系统稳定条件为

$g<7.1429\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g>0 \\ \end{matrix}$ (32a)

$g>-3.8216\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g<0 \\ \end{matrix}$ (32b)

由此可得时变时滞参数的系统稳定性分析结果如图10所示

图10   系统稳定性分析结果

Fig.10   System stability analysis results

图10可知,在随机激励下优化所得的时滞增益均符合系统稳定条件(32),由此可以判定在随机激励下所得的时变时滞参数符合系统稳定条件。

对式(31)中的时滞参数优化结果运用同样的方法进行计算分析可得随机激励下定值时滞参数所对应的系统稳定条件为

$g<2.4196\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g>0 \\\end{matrix}$ (33a)

$g>-3.3672\text{N}/\text{m}\begin{matrix} , & g<0 \\\end{matrix}$ (33b)

通过对比系统稳定条件(32)与(33)可以看出在随机激励下,时变时滞参数所对应的时滞增益稳定区间同样大于定值时滞参数对应的时滞增益稳定区间。说明在随机激励下,时变参数时滞动力吸振器的时滞增益稳定调节区间同样更大,控制鲁棒性也更好。

将时变时滞参数、定值时滞参数与g=0N/m代入方程(6)中进行运算可分别得到在变参数时滞动力吸振器、定参数时滞动力吸振器与被动吸振器控制下主系统振动的时域仿真结果。仿真计算的初始条件与谐波激励下仿真计算的初始条件相同。经计算得主系统振动的时域仿真结果如图11图12图13所示

图11   主系统振动位移

Fig.11   Vibration displacement of primary system

图12   主系统振动速度

Fig.12   Vibration velocity of primary system

图13   主系统振动加速度

Fig.13   Vibration acceleration of primary system

图11图12图13可以看出,对于随机激励,时变参数时滞动力吸振器同样取得了比定值参数时滞动力吸振器和被动吸振器更好的减振控制效果。经分析得,相比于被动吸振器,在定值参数时滞动力吸振器的控制下,主系统振动的最大瞬态位移降低了6.5%,振动位移的均方根值减少了20.8%,最大瞬时速率降低了1%,振动速度的均方根值减少了24.6%,最大瞬时加速度降低了33.1%,振动加速度的均方根值减少了36.1%;在时变参数时滞动力吸振器的控制下,主系统振动的最大瞬态位移降低了32.8%,振动位移的均方根值减少了31%,最大瞬时速率降低了26.8%,振动速度的均方根值减少了26.1%,最大瞬时加速度降低了46.7%,振动加速度的均方根值减少了48.3%。由以上分析数据可知,对于随机激励,时变参数时滞动力吸振器同样取得了比定值参数时滞动力吸振器更好的减振控制效果,这一点在对主系统的最大瞬态振动位移与最大瞬态振动速率的控制上表现得尤为明显。

由仿真分析结果可知,无论作用于主系统上的激励是谐波激励还是随机激励,时变参数时滞动力吸振器均取得了比定值参数时滞动力吸振器更好的减振控制效果。在时变参数时滞动力吸振器的控制下,主系统的振动位移、速度和加速度均比在定值参数时滞动力吸振器控制下时有明显的减少。说明多组时滞控制参数以一定周期循环作用于振动控制过程的方法能够进一步改善时滞动力吸振器的减振性能,时变参数时滞减振控制方法取得了显著的效果,这与本文的目标一致。

4 结论

本文主要研究了利用时变时滞参数提高时滞动力吸振器对随机激励的减振控制效果,以此改善时滞动力吸振器的减振性能的问题。文章提出了一种新的时变参数时滞减振控制方法,通过使时变优化所得的多组时滞控制参数以一定时间周期循环作用于振动控制过程的方法有效地控制了主系统的振动响应,并得到以下结论:1)时变参数时滞动力吸振器无论对谐波激励还是对随机激励,均能取得比定值参数时滞动力吸振器更好的减振控制效果。2)相比于定值参数时滞动力吸振器,时变参数时滞动力吸振器的时滞增益稳定调节区间更大,控制的鲁棒性也更好;3) 通过使时变优化所得的时变时滞参数以一定时间周期循环作用于振动控制过程的方法可以有效地改善时滞动力吸振器的减振性能。后续将致力于其他时滞反馈形式的时变参数时滞减振控制研究,如速度反馈,加速度反馈等。

The authors have declared that no competing interests exist.


参考文献

[1] 1闫立勋,周鸿,彭超.

自适应主动共振吸振器的设计和减振性能研究

.实验力学,2015,30(05):556-566.

[本文引用: 1]     

(Yan Lixun, Zhou Hong, Peng Chao,et al. On the design of adaptive active resonant vibration absorber and its vibration damping effect, Journal of Experimental Mechanics, 2015,30(05): 556-566(in Chinese))

[本文引用: 1]     

[2] 2钱小勇,胡海岩.

可调间隙的半主动吸振器及其实现

.振动工程学报,2001,14(04):10-14.

[本文引用: 1]     

(Qian Xiaoyong, Hu Haiyan.

Semi-active vibration absorber with adjustable gap and its realization

.Journal of Vibration Engineering, 2001,14(04):378-382(in Chinese))

[本文引用: 1]     

[3] Olgac N,

McFarland DM, Holm-Hansen BT. Position feedback-induced resonance: the delayed resonator

.Winter Annual Meeting, 1992, 38:113-119.

[本文引用: 1]     

[4] Olgac N, Holm-Hansen BT.

A Novel Active Vibration Absorption Technique: Delayed Resonator

.Journal of Sound & Vibration, 1994, 176(1):93-104.

[本文引用: 1]     

[5] Olgac N,

Hosek M

et al. Active Vibration Absorption Using Delayed Resonator With Relative Position Measurement. Journal of Vibration & Acoustics, 1997, 119(1):131-136.

[本文引用: 1]     

[6] 6 Filipović D, Olgac N.

Delayed resonator with speed feedback - design and performance analysis

[J]. Mechatronics, 2002, 12(3):393-413.

[本文引用: 1]     

[7] Shin, Yun Ho, et al.

Three degrees of freedom active control of pneumatic vibration isolation table by pneumatic and time delay control technique

.Journal of Vibration and Acoustics , 2010,132(5): 051013.

[本文引用: 1]     

[8] Alhazza K. A., Nayfeh A. H., & Daqaq, M. F. On utilizing delayed feedback for active-multimode vibration control of cantilever beams. Journal of Sound & Vibration, (2009)

319

(3): 735-752.

[本文引用: 1]     

[9] 9申永军,赵永香,田佳雨.

一类含时滞的半主动悬架系统的动力学分析[J/OL]

.力学学报,2013,45(05):755-762.

[本文引用: 1]     

(Shen Yongjun, Zhao Yongxiang,

Tian Jiayu et al. Dynamical analysis on a kind of semi-active suspension with time delay [J/OL]

.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 45(05): 755-762. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[10] 10赵艳影,徐鉴.

时滞非线性动力吸振器的减振机理

[J].力学学报, 2008, 40(1):98-106.

[本文引用: 1]     

(Zhao Yanying, Xu Jian.

Mechanism analysis of delayed nonlinear vibration absorber

[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008, 40(01): 98-106. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[11] 11陈龙祥,蔡国平.

旋转运动柔性梁的时滞主动控制实验研究

[J].力学学报,2008,40(4):520-527.

[本文引用: 1]     

(Chen Longxiang, Cai Guoping.

Experimental study on active control of a rotating flexible beam with time delay

[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008,40(04): 520-527. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[12] 12陈龙祥,蔡国平.

柔性梁受迫振动时滞变结构控制的试验研究

[J].力学学报,2009,41(03):410-417.

[本文引用: 1]     

(Chen Longxiang, Cai Guoping.

Experimental study of variable structure control in time-delay for a flexible beam under forced vibration

[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2009,41(03): 410-417. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[13] 13赵艳影,徐鉴,严志刚.

时滞对非线性饱和控制减振频带漂移的影响

[J].力学学报,2010,42(4):747-757.

[本文引用: 1]     

(Xu Jian, Zhao Yanying, Yan Zhigang.

Effects of delay on effective band drift in nonlinear saturation control system

. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2010,42(4): 747-757. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[14] 王在华,李俊余.

时滞状态正反馈在振动控制中的新特征

. 力学学报, 2010, 42(5):933-942.

[本文引用: 1]     

(Wang Zaihua, Li Junyu.

New feature of time-delayed positive feedbacks in vibration control

. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2010, 42(5): 933-942. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[15] Chen C, Xiong J, Wan Z, et al.

A time delay compensation method based on area equivalence for active damping of an lcl -type converter

[J]. IEEE Transactions on Power Electronics, 2016, 32(1):762-772.

[本文引用: 1]     

[16] Hailati, G,Z. H. Hu.

Design of wide-area time-delay supplementary controller for interconnected Network based on Hamilton function method

. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2016:012044.

[本文引用: 1]     

[17] 17 Jalili N.

A Comparative Study and Analysis of Semi-Active Vibration-Control Systems

[J]. Journal of Vibration & Acoustics, 2002, 124(4):593.

[本文引用: 1]     

[18] 18 Gomes H M.

Parameters optimisation of a vehicle suspension system using a particle swarm optimisation algorithm

[J]. Vehicle System Dynamics, 2015, 53(4):449-474.

[本文引用: 1]     

[19] 19房杰,王士敏,王琪.

一类宽频时滞吸振器的减振特性研究

[C]//全国航天动力学与控制学术会议. 2011.

[本文引用: 1]     

(Fang Jie, Wang Shimin, Wang Qi.

Study on vibration reduction characteristics of a class of broadband vibration absorber with time delay. The Chinese Society of Mechanics and Control Professional Committee. The 7th National Symposium on Multi-body System Dynamics and the 2nd National Conference on Space Dynamics and Control Conference Proceedings

[C]. Chinese Society of Mechanics Dynamics and Control Professional Committee , 2011: 1. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[20] 20赵艳影,李昌爱.

时滞动力吸振器抑制扭转系统的振动

[J]. 动力学与控制学报,2013,11(01):36-41.

[本文引用: 1]     

(Zhao Yanying, Li Changai.

Vibration suppression of torsional vibration system by using the delayed vibration absorber

[J]. Journal of Dynamics and Control, 2013,11(01): 36-41. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[21] 翁雪涛,闫政涛,楼京俊.

主动隔振系统的最优控制时滞

[J]. 海军工程大学学报, 2012, 24(01): 68-72+112.

[本文引用: 1]     

(Weng Xuetao, Yan Zhengtao, Lou Jingjunet al.

Optimal control delay of active vibration isolation system

[J]. Journal of Naval University of Engineering, 2012, 24(01): 68-72+112. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[22] 22程春,李舜酩,王勇.

时滞立方位移反馈控制的高静低动刚度隔振器动力学分析

[J]. 振动与冲击,2017, 36(13): 110-115+165.

[本文引用: 1]     

(Zhao Chun, Li Shunming, Wang Yonget al.

Dynamic vibration analysis of high static and low dynamic stiffness isolator with time delay cube displacement feedback control

[J]. Journal of Vibration and Shock, 2017, 36(13): 110-115+165. (in Chinese)

[本文引用: 1]     

[23] 23高雪.

一类液固混合介质隔振系统的非线性动力学行为与设计方法研究[D]

.南京航空航天大学,2014.

[本文引用: 1]     

(Gao Xue.

Study on nonlinear dynamic behavior and design method of a kind of liquid-solid mixing medium vibration isolation system [D]

. Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2014. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[24] 24陈龙,汪若尘,江浩斌.

半主动悬架及其控制系统的时滞控制研究

[J].中国机械工程,2005,(24):2249-2252.

[本文引用: 1]     

(Chen Long, Wang Ruochen,

Jiang Haobin et al. Study on time delay control of semi-active suspension and its control system

[J]. China Mechanical Engineering, 2005, (24): 2249-2252. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[25] 25严天一,郑睿,崔雪梅.

考虑双时滞特性的半主动悬架系统道路友好性仿真研究

[J].系统仿真学报,2008,(17): 4560-4562+4587.

[本文引用: 1]     

(Yan Tianyi, Zheng Rui, Cui Xuemei.

Simulation on road-friendliness of heavy lorries with semi-active suspension systems considering dual time-delay characteristics

[J]. Journal of System Simulation, 2008, (17): 4560-4562 +4587. (in Chinese)

[本文引用: 1]     

[26] 26钟万勰.

暂态历程的精细计算方法

[J].计算力学学报,1995, 12(1):1-6.

[本文引用: 1]     

(Zhong Wanxie.

Precise computation for transient analysis

[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 1995, (01):1-6. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[27] 27田象滔,任传波.

线性时滞动力学问题的精细积分解法

[J]. 山东理工大学学报(自然科学版), 2006, 20(2):53-56.

[本文引用: 1]     

(Tian Xiangtao, Ren Chuanbo.

Solution of linear time-delay systems by precise integral

[J]. Journal of Shandong University of Technology(Science and Technology), 2006, (02):53-56. (in Chinese))

[本文引用: 1]     

[28] 28任传波,田象滔,柴山.

非线性Blasius方程求解的一种新算法

[J].大学数学, 2006, 22(6):97-101.

[本文引用: 1]     

(Ren Chuanbo, Tian Xiangtao, Chai Shan.

A new algorithm for solving nonlinear Blasius equation

[J]. College mathematics, 2006, (06):97-101(in Chinese))

[本文引用: 1]     

/