力学学报, 2019, 51(6): 1872-1881 DOI: 10.6052/0459-1879-19-211

动力学与控制

主动控制压电旋转悬臂梁的参数振动稳定性分析1)

唐冶*,, 王涛*, 丁千,*,2)

* 天津大学 机械工程学院,天津 300072

安徽工程大学 机械与汽车工程学院,安徽芜湖 241000

STABILITY ANALYSIS ON PARAMETRIC VIBRATION OF PIEZOELECTRIC ROTATING CANTILEVER BEAM WITH ACTIVE CONTROL 1)

Tang Ye*,, Wang Tao*, Ding Qian,*,2)

* School of Mechanical Engineering, Tianjin University,Tianjin 300072,China

School of Mechanical and Automotive Engineering, Anhui Polytechnic University, Wuhu 241000,Anhui, China

通讯作者: 2) 丁千,教授,主要研究方向:非线性振动及动力学与控制、机械系统分岔理论及其工程应用、非线性转子动力学.E-mail:qding@tju.edu.cn

收稿日期: 2019-08-2   接受日期: 2019-10-21   网络出版日期: 2019-11-18

基金资助: 1) 国家自然科学基金项目.  51575378
1) 国家自然科学基金项目.  11902001
1) 国家自然科学基金项目.  11972245
中国博士后科学基金项目.  2018M641643
安徽省自然科学基金项目.  1908085QA13

Received: 2019-08-2   Accepted: 2019-10-21   Online: 2019-11-18

作者简介 About authors

摘要

在工程实际中旋转机械由于制造和加工误差,装配的不均匀性等原因,往往会脉动运行,这将使得机械系统发生参数振动. 当脉动参数满足一定关系时,这种参数振动将会失稳,进而影响机械结构的正常运转. 本文针对这一问题,引入压电材料对 脉动旋转悬臂梁系统的振动进行控制,研究主动控制悬臂梁系统的参数振动优化设计问题,采用 Hamilton 变分原理与一阶 Galerkin 离散相结合的方法,建立了受速度反馈传感器主动控制的压电旋转悬臂梁的一阶近似线性控制方程. 运用多尺度方法,得到了压电旋转悬臂梁系统在发生1/2亚谐波参数共振时稳定性边界的控制方程,并利用直接分析方法验证了解析摄动解的正确性. 将摄动解中临界阻尼比和轮毂角速度脉动幅值的无量纲参数作为评价系统稳定性能的指标. 通过数值算例,分析了轮毂半径、轮毂角速度平均值和脉动幅值、梁长以及速度传感器的反馈增益系数对系统稳定性区域的影响. 研究结果表明,梁长、轮毂半径、脉动幅值会降低系统稳定性,反馈增益系数可以提高系统稳定性,而轮毂角速度平均值与系统稳定性之间有非单调的关系. 为进一步设计压电旋转机械结构提供了理论依据.

关键词: 压电旋转悬臂梁 ; 主动控制 ; 参数振动 ; 稳定性 ; 多尺度法

Abstract

In engineering application, rotating machines tend to be pulsating operation due to the errors of manufacturing and processing as well as the non-uniformity of assembly, which may cause parametric vibration of the system. Furthermore, if the pulsation parameters satisfy a certain relationship, the parametric vibration will cause the system to lose stability, which furtherly affects the normal operation of mechanical structures. In view of this problem, the piezoelectric material is introduced to suppress vibration of rotating cantilever beam subjected to parametric exciting. The problem about the parametric optimization and design of rotating cantilever beam with active control is studied in this paper. The first order approximate linear equation governing the piezoelectric rotating cantilever beam controlled by velocity feedback sensor is established based on the Hamilton' principle combining with the first-order Galerkin discretization method. Then, the multi-scale method is applied to obtain the governing equation of stability boundary of the piezoelectric rotating cantilever system with the 1/2 sub-harmonic parametric resonance. The correctness of the perturbation solution is verified by the direct analysis method. The critical damping ratio and the dimensionless parameter of pulsating amplitude of hub angular velocity in the perturbation solution are regarded as the indicators to evaluate the system stability. Numerical examples are presented to illustrate the effects of the hub radius, the average value and pulsating amplitude of hub angular velocity, the beam length and the feedback gain coefficient of velocity sensor on the dynamic stability. The results show that the stable region can be increased with the decrease of the beam length, the hub radius and pulsating amplitude of hub angular velocity, but the raise of the feedback gain coefficient, moreover, the relation between the average value of hub angular velocity and the stability is not monotonous. It provides a reference for the further design of piezoelectric rotating machinery structure.

Keywords: piezoelectric rotating cantilever beam ; active control ; parametric vibration ; stability ; multi-scale method

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本文引用格式

唐冶, 王涛, 丁千. 主动控制压电旋转悬臂梁的参数振动稳定性分析1). 力学学报[J], 2019, 51(6): 1872-1881 DOI:10.6052/0459-1879-19-211

Tang Ye, Wang Tao, Ding Qian. STABILITY ANALYSIS ON PARAMETRIC VIBRATION OF PIEZOELECTRIC ROTATING CANTILEVER BEAM WITH ACTIVE CONTROL 1). Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2019, 51(6): 1872-1881 DOI:10.6052/0459-1879-19-211

引言

旋转机构广泛地应用于机械、航空航天、土木工程、船舶领域,如直升机旋翼、空间旋转展开机构、船舶螺旋桨等,其在参数激励或外激励作用下的动力学行为,直接影响整个机械系统运转的可靠性、安全性及舒适性,因此受到国内外学者的极大关注.马辉等[1]以板壳振动理论,Hamilton 变分原理以及 Galerkin 截断法为理论基础,研究了机匣刚度,不对中角以及最小间隙对旋转叶片-机匣的振动响应的影响. Yu等[2]基于功能梯度旋转悬臂梁模型,研究发现弯扭耦合效应会显著影响无轴承式直升机旋翼的振动特性.赵婕等[3]针对离散方法分析含有柔性元件的航天器结构动力学行为所引起的动力刚化的现象,提出了将弹性元件作为分布参数子系统处理,研究了末端带有刚体的旋转梁系统的运动稳定性.李学常和李书[4]利用传递矩阵法分析了无轴承式直升机旋翼系统的固有振动特性,研究表明摆阵耦合对旋翼系统的固有频率影响较小可以忽略,但总距角、旋翼质心到固定端的距离变化对系统固有频率的影响较大.Zhu 等[5]提出了一种旋转轴向运动简支梁模型,研究了旋转、轴向运动速度对系统振动频率、稳定性边界和临界速度的影响.Chen 和 Li[6]基于壳理论,提出了一种具有预扭转角的旋转层合叶片的动力学模型.采用瑞利里兹法并结合悬臂边界条件满足连续多项式函数的条件,分析了系统固有频率和模态函数.Gu 等[7]提出了一种具有初始指数函数描述的几何缺陷旋转悬臂面板的模型,并开展了几何参数、缺陷大小和位置、预扭转角以及旋转速度等因素对自由振动特性影响的研究.Ghafari 和 Jalil[8]基于降维方法,研究了变截面旋转复合材料梁的动力学特性.谢丹和蹇开林[9]利用改进的无网格伽辽金技术,研究了旋转梁的刚柔耦合动力学特性,并用有限元方法验证了所提结果的正确性.瞿叶高等[10]将壳体所有分区界面上的位移协调方程引入到能量泛函中,提出了一种计算任意边界条件下层合旋转壳自由振动的半解析区域分析法.以复合材料层合圆柱、圆锥和球体壳为算例,说明了提出方法的高效收敛性.寇海江等[11]利用变分方法,建立了热冲击和碰摩故障作用下旋转悬臂板的运动微分方程,通过计算系统的模态和温度分布特性,讨论了热冲击振动和碰摩故障对旋转板动力学行为的影响.Hoskoti 等[12]利用非均匀欧拉伯努利梁理论,建立了旋转叶片的动力学模型并研究了涡激振动而引起的锁频现象.

作为智能结构的一种,压电材料由于具有正、逆压电效应特性,已经普遍应用于现代工程结构的动力学行为调控、能量采集以及振动控制.Ke 等[13-15]研究了压电纳米梁、板和壳的尺寸依赖的动力学特性.张乐乐等[16]运用连续介质理论,分析了 SH 型导波在压电纳米板中的传播特性,研究结果表明SH型导波在纳米板中具有明显的尺寸依赖性.周伟建和陈伟球[17]研究了表面波在具有表面效应的压电半空间中的传播特性.李林利和薛春霞[18]采用有限变形理论,建立了压电双曲壳的非线性控制方程,分析了温度场对压电双曲壳动力学特性的影响.Pradeesh 和 Udhayakumar[19]通过数值和实验方法研究压电材料沿悬臂梁长布置对能量采集的影响,讨论了能量采集的共振频率和输出电压的变化规律.何燕丽和赵翔[20]提出了一种曲梁压电俘能器,基于所获得的解析解,分析了负载电阻和基梁材料的弹性模量对能量采集的影响. Li 等[21-22]提出了主被动混合压电网络技术抑制悬臂梁的振动,通过开环和闭环特性分析,得到了主被动压电控制方法对宽频带的振动控制具有重要的影响.李凤明等[23-24]研究了利用压电材料非线性梁在参数和外激励作用下的运动稳定性和主动控制问题,采用速度负反馈的原理设计了主动控制器,分析了控制增益和外激励幅值对系统稳定性边界和频响曲线的影响.Chandiramani[25]考虑高阶剪切变形理论,采用压电材料作为传感器和作动器,结合最优控制理论研究了薄壁旋转梁的主动控制问题.He 等[26]通过速度负反馈控制算法,设计了压电功能梯度板的主动控制率,分析了体积分数和增益系数对系统动力学的影响.Selim 等[27]以Reddy高阶剪切理论为基础,对具有压电层的功能梯度板进行了主动振动控制.Li 等[28]研究了功能梯度压电材料板的主动控制问题,结果表明压电材料的分布对板结构的振动控制具有很大的影响.

虽然压电旋转结构的动力学与控制问题已引起了很多学者关注,但旋转脉动所引起的压电结构的参数共振稳定性问题研究还是相对较少.本文应用 Hamilton 变分原理并结合 Galerkin 离散方法,建立了主动压电旋转悬臂梁的控制方程;利用多尺度法获得该系统的稳定性边界摄动解;运用数值算例,分析主动控制的反馈增益系数、梁长、轮毂半径、轮毂角速度平均值和脉动幅值对结构参数振动稳定性的影响,以期为进一步设计旋转机械提供新的理论依据.

1 系统控制方程

主动控制压电旋转悬臂梁的力学模型如图 1 所示.压电悬臂梁的左端固定在刚性轮毂上,轮毂绕其轴心转动从而使悬臂梁也随之旋转.基础梁的上表面铺有压电材料,梁的下端面受分布载荷作用,为分析问题方便,建立如图 1 所示的直角坐标系,设 $x$ 轴定义在压电梁的中性面上并沿着水平方向,$z$ 轴以竖直向上为其正方向.$h_{\rm s}$ 为基础梁的厚度,$h_{\rm p}$ 为压电层的厚度,$b$ 为梁的宽度以及 $Z_{\rm n}$ 为中性层到压电层的厚度.

图1

图1   主动控制压电旋转悬臂梁

Fig.1   Piezoelectric rotating cantilever beam with active control


根据一阶 Galerkin 离散法,压电悬臂梁的横向位移 $w(x,t)$ 可近似表示为

$w(x,t) = W(x)q(t) $

其中,$W(x)$ 为旋转悬臂梁的第一阶振型,$q(t)$ 表示其位移响应.

基于 Yoo 等[29]的研究成果,$W(x)$ 可用悬臂梁的振型近似表示[30-31]

$W(x) = \cosh s_{1} x - \cos s_{1} x + v_{1} (\sinh s_{1}x - \sin s_{1} x) $

式中,$s_{1} $ 与 $v_{1}$

表示一阶振型系数,其中 $s_{1}$ 的值应满足 $s_1 l_{\rm s}=1.875\,1$ ($l_{\rm s}$ 为悬 臂梁的长度),系数 $v_{1}$ 则具有如下形式

$v_{1} = - \dfrac{\sinh s_{1} l_{\rm s} - \sin s_{1} l_{\rm s} }{\cosh s_{1} l_{\rm s} + \cos s_{1} l_{\rm s} } $

设本文所研究的压电梁为细长结构,忽略剪切变形的影响.根据 Euler-Bernoulli 梁理论的假设,基础梁的正应力、正应变和横向位移之间的关系可表示为

$\sigma _{\rm s} = E_{\rm s} \varepsilon _{\rm s} \qquad \ \ \ $
$\varepsilon _{\rm s} = - z\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2} $

其中,$\sigma _{\rm s} $,$E_{\rm s} $ 和 $\varepsilon _{\rm s}$ 分别为基础梁的正应力,弹性模量和正应变.

同理,悬臂梁的压电层位移场也有相同的关系

$\sigma _{\rm p} = E_{\rm p} \varepsilon _{\rm p} \qquad \ \ \ $
$\varepsilon _{\rm p} = - z\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2} $

其中,$\sigma _{\rm p} $,$E_{\rm p} $ 和 $\varepsilon _{\rm p}$ 分别代表着压电层的正应力、弹性模量和正应变.

引入压电层以后,压电悬臂梁的中性层不再与几何形心重合,中性轴的位置可以利用材料力学中性轴的概念予以确定.梁在 弯曲过程中任意横截面上内和外力之和等零,故有

$\int_{ - h_{\rm s} + Z_{\rm n} }^{Z_{\rm n} } {b\sigma _{\rm s} dz} + \int_{Z_{\rm n}}^{Z_{\rm n} + h_{\rm p} } {b\sigma _{\rm p} dz = 0} $

将式 (4) $\sim $式 (7) 代入式 (8) 中,可得

$Z_{\rm n} = \dfrac{E_{\rm s} h_{\rm s} ^2 - E_{\rm p} h_{\rm p} ^2}{2\left( {E_{\rm s} h_{\rm s} + E_{\rm p} h_{\rm p} } \right)} $

当压电层的极化方向沿 $z$ 轴的正方向,其电场强度 $E_{3}(t)$ 可以表示为

$E_3 (t) = \left\{ \!\!\begin{array}{ll} { - v} /{h_{\rm p} } \,, & Z_{\rm n} \leqslant z \leqslant Z_{\rm n} + h_{\rm p} \ \\0 \,, & Z_{\rm n} - h_{\rm s} \leqslant z < Z_{\rm n}\end{array} \right. $

式中,$v$ 是电压源产生的控制电压.工程中,在压电材料基础上施加适当的控制电压能形成主动阻尼,从而提高系统的稳定性.为了实现这一目的,本文采用速度负反馈控制方法,即在悬臂梁某一点 $l_{\rm c}$ 处安装速度传感器,所采集速度信号传送到控制器,控制器通过速度负反馈方案计算控制电压,并作用压电材料而产生控制力.为满足控制要求,控制电压为

$v(t) = K\dfrac{ dw(l_{\rm c} ,t)}{ dt} $

式中,$K$ 为反馈增益系数,$t$ 是时间变量.由于压电效应的存在,压电层的本构关系[13]具有如下形式

$\sigma _{\rm p} = E_{\rm p} \varepsilon _{\rm p} - E_{\rm p} d_{31} E_3$
$D_3 = E_{\rm p} d_{31} \varepsilon _{\rm p} + \xi ^{\rm e}E_3$

其中,$d_{31}$,$D_3 $ 以及 $\xi^{\rm e}$ 分别表示压电材料的压电应变常数,电位移以及介电常数.

当悬臂梁绕定轴转动时,旋转所产生的离心轴力 $F_t(x,t)$ 可以表示为

$F_t (x,t) = \int_x^{l_{\rm s} } {m\varOmega ^2(t)} (R + \varsigma )\varsigma =\\\ \qquad \dfrac{1}{2}m [(R + l_{\rm s} )^2 - (R + x)^2]\varOmega ^2\left( t \right)=\\\ \qquad \overline F (x)\varOmega ^2\left( t \right) $

式中,$m = \rho _{\rm s} bh_{\rm s} + \rho _{\rm p} bh_{\rm p}$ 代表单位长度梁的质量,其中 $\rho_{\rm s}$, $\rho_{\rm p}$ 分别表示为基础梁与压电层的密度. $\overline F (x) = m[(R + l_{\rm s} )^2 - (R + x)^2] / 2$,代表轴力的分布情况,$\varOmega (t)$ 为悬臂梁定轴转动的角速度,$R$ 为指轮毂的半径.

压电旋转梁的动能和势能分别为

$ T = \int_{V_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}\rho _{\rm s} \left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial t}} \right)^2 dV} + \int_{V_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}\rho _{\rm p} \left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial t}} \right)^2 dV} =\qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}\rho _{\rm s} bh_{\rm s} \left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial t}} \right)^2 dx} + \qquad\int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}\rho _{\rm p} bh_{\rm p} \left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial t}} \right)^2} dx = \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}m\left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial t}} \right)^2 dx}$
$U = \int_{V_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}\sigma _{\rm s} \varepsilon _{\rm s} dV} +\int_{V_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}\sigma _{\rm p} \varepsilon _{\rm p} dV}+ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}} F_t (x,t)\left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial x}} \right)^2 dx$

其中,$V_{\rm s}$ 和 $V_{\rm p}$ 分别为基础梁的体积和压电层的体积. 将式 (4) $\sim$ 式 (6),式 (10) 和式 (12) 代入式 (16),可将系统势能进一步化为

$ U = \int_0^{l_{\rm s} } {\int_{ - h_{\rm s} + Z_{\rm n} }^{Z_{\rm n} } {\dfrac{1}{2}} } bE_{\rm s} z^2\left( {\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2}} \right)^2 dz dx \,+\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\int_{Z_{\rm n} }^{Z_{\rm n} + h_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}} } bE_{\rm p} z^2\left( {\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2}} \right)^2 dz dx \,-\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\int_{Z_{\rm n} }^{Z_{\rm n} + h_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}} } bE_{\rm p} d_{31} \Big ( - \dfrac{v}{h_{\rm p} }\Big )\Big ( - z\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2}\Big )dz dx \,+\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}} F_t (x,t)\left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial x}} \right)^2 dx =\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {(EI)^ * } \left( {\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2}} \right)^2 dx - \int_0^{l_{\rm s} } \varXi v\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2} dx \,+\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}} F_t (x,t)\left( {\dfrac{\partial w(x,t)}{\partial x}} \right)^2 dx $

其中

$$ (EI)^ * = \dfrac{1}{6}bE_{\rm s} (3Z_{\rm n} ^2h_{\rm s} - 3Z_{\rm n} h_{\rm s} ^2 + h_{\rm s} ^3) \, +\\\ \qquad \dfrac{1}{6}bE_{\rm p} (3Z_{\rm n} ^2h_{\rm P} + 3Z_{\rm n} h_{\rm P} ^2 + h_{\rm P} ^3) \\\ \varXi = \dfrac{1}{2}E_{\rm P} d_{31} b(2Z_{\rm n} + h_{\rm p} ) $$

系统的电能可以表示为

$W_{\rm e} = \int_{V_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}E_3 D_3 dV} $

将式 (10) 和式 (13) 代入式 (18) 中,可得

$W_{\rm e} = \int_0^{l_{\rm s} } {\int_{Z_{\rm n} }^{Z_{\rm n} + h_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}E_{\rm p} bd_{31} \dfrac{v}{h_{\rm p} }z\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2}dz dx} } \,+\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\int_{Z_{\rm n} }^{Z_{\rm n} + h_{\rm p} } {\dfrac{1}{2}b\xi ^{\rm e}\left( {\dfrac{v}{h_{\rm p} }} \right)^2 dz dx} } =\\\ \qquad \int_0^{l_{\rm s} } {\varXi v\dfrac{\partial ^2w(x,t)}{\partial x^2}} dx + \int_0^{l_{\rm s} } {\dfrac{1}{2}} b\xi ^{\rm e}\dfrac{v^2}{h_{\rm p} } dx $

外力所作功为

$W = \int_0^{l_{\rm s} } {\left( {f(x,t) - c_{\rm s} \dfrac{\partial w(x,t)}{\partial t}} \right)w(x,t)} dx $

式中,$f(x,t) = \overline {f_1 } (x)\overline {f_2 } (t)$

代表分布载荷,$c_{\rm s}$ 为结构的阻尼系数.

广义 Hamilton 变分原理可以写为

$\int_{t_1 }^{t_2 } {[\delta (T - U + W_{\rm e} + W)]} dt = 0 $

将式 (1)、式 (11)、式 (15)、式 (17)、式 (19) 以及式 (20) 代入式 (21),

可以得到主动控制压电旋转悬臂梁的一阶近似控制方程

$a_1\dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + a_2 \dfrac{dq(t)}{dt} + (a_3 + a_4 \varOmega ^2(t))q(t) = F\overline {f_2 } (t) $

各项系数分别是

$$ a_1 = m\int_0^{l_{\rm s} } {W^2(x) dx} + \dfrac{bK^2\xi ^{\rm e}l_{\rm s} }{h_{\rm p} }W^2(l_{\rm c})\\\ a_2 = c_{\rm s} \int_0^{l_{\rm s}} {W^2(x)dx} - 2\varXi KW(l_{\rm c} )\int_0^{l_{\rm s} } {W''(x) dx} \\\ a_3 = 2(EI)^ * \int_0^{l_{\rm s}} {W''^2} (x) dx \\\ a_4 = \int_0^{l_{\rm s}} {\overline F } (x)W'^2(x) dx \\\ F = \int_0^{l_{\rm s}} {\overline {f_1 } } (x)W(x) dx $$

2 稳定性分析

由式 (22) 不难发现,当轮毂角速度含有脉动分量时,旋转悬臂梁将会发生参数振动.为了分析参数振动的稳定性,采用多尺度法进行摄动求解.不妨假设旋转的角速度满足下列表达式

$\varOmega (t) = \varOmega _0 + \varOmega _{\rm d} \cos \omega _{\rm r} t $

式中,$\varOmega _0 $ 为轮毂角速度平均值,$\varOmega _{\rm d}$ 和 $\omega _{\rm r} $ 分别为轮毂角速度脉动幅值和脉动频率.将式 (23) 代入式 (22) 中, 可以得到

$a_1 \dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + a_2 \dfrac{dq(t)}{dt} + \left[ {a_3 + a_4 \left( {\varOmega _0 ^2} \right.} \right. +\\\ \qquad \left. {\left. { 2\varOmega _0 \varOmega _{\rm d} \cos \omega _{\rm r} t + \varOmega _{\rm d}^2\cos ^2\omega _{\rm r} t} \right)} \right]q(t) = 0 $

考虑到脉动角速度一般很小,此处不妨假设

$\varOmega _{\rm d} \ll \varOmega _0 $

忽略高阶小量,式 (24) 可简化为

$\dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + 2\zeta _{\rm r} \omega \dfrac{dq(t)}{dt} + \omega ^2(1 + 2\mu _{\rm r} \cos \omega _{\rm r} t)q(t) = 0 $

式中

$$\omega ^2 = \dfrac{a_3 + a_4 \varOmega _0 ^2}{a_1 }\,, \ \ \zeta _{\rm r} = \dfrac{a_2 }{2\omega a_1 }\,, \ \ \mu _{\rm r} = \dfrac{a_4 \varOmega _0 \varOmega _{\rm d} }{a_3 + a_4 \varOmega _0 ^2}$$

引入下列无量纲量

$$\bar {q} = \dfrac{q}{l_{\rm s} }\,, \ \ \bar {\omega } = \dfrac{\omega }{\omega _0 }\,, \ \ \bar {t} = \omega _0 t\,, \ \ \bar {\omega }_{\rm r} = \dfrac{\omega _{\rm r} }{\omega _0 }$$

式中出现的 $\omega _0 = \sqrt {a_3 / a_1 }$,为压电悬臂梁的第一阶固有频率. 将上述无量纲量代入式 (26) 中,可以得到

$\dfrac{d^2\bar {q}}{d\bar {t}^2} + 2\zeta _{\rm r} \bar {\omega }\dfrac{d\bar {q}}{d\bar {t}} + \bar {\omega }^2(1 + 2\mu _{\rm r} \cos \bar {\omega }_{\rm r} \bar {t})\bar {q} = 0 $

为书写方便,无量纲量上部的`---'符号在后文中将被忽略. 基于多尺度法的原理, 引入如下系数变换

$$\zeta _{\rm r} \to \varepsilon \zeta\,, \ \ \mu _{\rm r} \to \varepsilon \mu \,, \ \ T_n = \varepsilon ^nt \ \ (n = 0,1,2 \cdots )$$

并代入式 (27) 中,可得

$\dfrac{d^2q}{dt^2} + 2\varepsilon \zeta \omega \dfrac{dq}{dt} + \omega ^2(1 + 2\varepsilon \mu \cos \omega _{\rm r} t)q = 0 $

上式的解应具有如下形式

$q(t,\varepsilon ) = q_0 (T_0 ,T_1 , \cdots ) + \varepsilon q_1 (T_0 ,T_1 , \cdots ) + \cdots $

当时间尺度进行上述变换后,对时间求导表达为

$\left.\begin{array}{l} {\dfrac{d}{dt} = \dfrac{\partial }{\partial T_0 } + \varepsilon \dfrac{\partial }{\partial T_1 } + \cdots = D_0 + \varepsilon D_1 + \cdots } \\\ {\dfrac{d^2}{dt^2} = \dfrac{\partial ^2}{\partial T_0 ^2} + 2\varepsilon \dfrac{\partial ^2}{\partial T_0 \partial T_1 } + \cdots = D_0 ^2 + 2\varepsilon D_0 D_1 + \cdots } \end{array}\!\! \right \} $

这里,主要关注 $\omega = \dfrac{\omega _{\rm r}}{2}$ 亚谐波参数共振,为此设

$\omega = \dfrac{\omega _{\rm r} }{2} + \varepsilon \omega _1 + \varepsilon ^2\omega _2 + \cdots $

将式 (29) $\sim$式 (31) 代入式 (28) 中,并且令方程两端 $\varepsilon$ 的同次幂系数相等,可得

$D_0 ^2q_0 + \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}q_0 = 0$
$ D_0 ^2q_1 + \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}q_1 = - 2D_0 D_1 q_0 - \xi \omega _{\rm r} D_0 q_0 - \qquad \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{2}\mu q_0 \cos \omega _{\rm r} t - \omega _{\rm r} \omega _1 q_0$

根据微分方程理论,式 (32) 复数形式的解可设为

$q_0 = a(T_1 )\exp ({\rm i}\dfrac{\omega _{\rm r} }{2}T_0 ) + \bar {a}(T_1 )\exp ( - {\rm i}\dfrac{\omega _{\rm r} }{2}T_0 ) $

式中,$a$ 与 $\bar{a}$ 为一对共轭复数,将式 (34) 代入式 (33), 可以得到

$D_0 ^2q_1 + \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}q_1 = \Big ( - {\rm i}\omega _{\rm r} \dfrac{ da}{dT_1 } - {\rm i}\zeta \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{2}a - \mu \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}\bar {a} - \omega_{\rm r} \omega _1 a \Big ) \cdot \\\ \qquad \exp \Big({\rm i}\dfrac{\omega _{\rm r} }{2}T_0 \Big ) - \mu \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}a\exp \Big({\rm i}\dfrac{3}{2}\omega _{\rm r} T_0 \Big ) + cc $

式中,$cc$ 表示等式右端各项的共轭复数部分.为消除持久项,下列条件应当成立

${\rm i}\omega _{\rm r} \dfrac{da}{ dT_1 } + {\rm i}\zeta \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{2}a+\mu \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}\bar {a} + \omega _{\rm r} \omega _1 a = 0 $

此处不妨假设上式的解具有如下形式

$a = \dfrac{A}{2}\exp ({\rm i}\varphi ) $

式中,幅值$A$与辐角 $\varphi $ 均为实数,且与变量 $T_1 $ 相关.将式 (37) 代入式 (36),并分离实部与虚部,可得

$\dfrac{ dA}{dT_1 } = - \dfrac{1}{2}\zeta \omega _{\rm r} A + \dfrac{1}{4}A\mu \omega _{\rm r} \sin 2\varphi$
$\dfrac{d\varphi }{dT_1 } = \omega _1 + \dfrac{1}{4}\mu \omega _{\rm r} \cos 2\varphi$

不妨令 $\dfrac{dA}{dT_1 } = \dfrac{d\varphi}{dT_1 } = 0$,可得到上式的定常解为

$\sin 2\varphi = \dfrac{2\zeta }{\mu } = \dfrac{2\zeta _{\rm r} }{\mu _{\rm r}}$
$\omega _{1} = \pm \dfrac{1}{4}\mu \omega _{\rm r} \sqrt {{1} - \dfrac{4\zeta _{\rm r}^2}{\mu _{\rm r} ^2}}$

将式 (41) 代入式 (31), 可得系统的稳定边界摄动解

$\delta = 1\pm \dfrac{1}{2}\sqrt {\mu _{\rm r} ^2 - 4\zeta _{\rm r} ^2} $

其中

$$\delta = \dfrac{2\omega }{\omega _{\rm r} }$$

满足 式 (42) 的 $\mu _{\rm r} $ 和 $\zeta _{\rm r}$ 分别为保证系统处于临界稳定状态的最大无量纲参数和最小阻尼比.这个最小阻尼比在本文中被定义为临界阻尼比.根据李雅普诺夫稳定性理论,可判定压电旋转悬臂梁系统的不稳定区间为

$1 - \dfrac{1}{2}\sqrt {\mu _{\rm r} ^2 - 4\zeta _{\rm r} ^2} < \delta < 1 + \dfrac{1}{2}\sqrt {\mu _{\rm r} ^2 - 4\zeta _{\rm r} ^2} $

观察上式可以发现,无量纲参数$\mu _{\rm r} $的增大和阻尼比$\zeta_{\rm r} $的减小会扩大参数共振的不稳定区间. 也就是说,可以利用增大主被动阻尼和减小轮毂角速度脉动幅值的方式来提高系统的稳定性. 由于无量纲参数 $\mu _{\rm r}$ 和阻尼比 $\zeta _{\rm r}$ 对稳定性的直接影响,在后文中,这两个参数将作为重要的特征参数来评价系统的稳定性能.其中 $\mu _{\rm r} $ 所对应的临界值越大越好,$\zeta _{\rm r}$ 所对应的临界阻尼比越小越好. 系统处于临界稳定状态时,$\mu _{\rm r}$ 所对应的临界值越大意味着系统能承受的轮毂角速度脉动幅值越大,$\zeta_{\rm r}$ 所对应的临界阻尼比越小意味着维持系统稳定所需要的阻尼越小.此外,当频率比 $\delta =1$ 时,系统稳定的条件将简化为

$\mu _{\rm r} < 2\zeta _{\rm r} $

为了验证式 (42) 所表示的稳定边界是正确的,本文采用文献[32,33,34] 中所提到的直接分析方法,求出压电旋转悬臂梁系统的稳定边界,所得到结果与解析方法相比较,从而说明多尺度方法所得到系统摄动解的有效性.

基于 Brown 等[35]的研究,式 (28) 的解应具有如下形式

$q = \sum_{k = 1,3, \cdots } {a_k \exp \Big( {\rm i}\dfrac{k\omega _{\rm r} }{2}} t\Big) + \bar {a}_k \exp \Big( -{\rm i}\dfrac{k\omega _{\rm r} }{2}t\Big) $

取一阶近似,因此,将上式的一阶表达式代入式 (28),可得

$\left( { - \dfrac{\omega _{\rm r}^2}{4}a + {\rm i}\zeta _{\rm r} \omega \omega _{\rm r} a + \omega ^2a + \omega ^2\mu _{\rm r} \bar {a}} \right) \exp\Big( {\rm i}\dfrac{\omega _{\rm r} }{2}t\Big )\, +\\\ \qquad \omega ^2\mu _{\rm r} \bar {a} \exp \Big( {\rm i}\dfrac{3\omega _{\rm r}}{2}t\Big ) + cc = 0 $

为了分析简便, 仅研究第一项,可得

$- \dfrac{\omega _{\rm r} ^2}{4}a + {\rm i}\zeta _{\rm r} \omega \omega _{\rm r} a + \omega ^2a +\omega ^2\mu _{\rm r} \bar {a} = 0 $

将式 (37) 代入式 (47),得压电旋转悬臂梁系统的稳定性边界为

$\delta ^2 \Bigg (1\pm \mu _{\rm r} \sqrt {1 - \dfrac{4\zeta _{\rm r} ^2}{\delta ^2\mu _{\rm r} ^2}}\,\Bigg )= 1 $

考虑到发生 1/2 亚谐波参数共振时 $\delta ^2 \approx 1$,上式可以进一步简化为

$\delta = \dfrac{1}{\sqrt {1\pm \sqrt {\mu _{\rm r} ^2 - 4\zeta _{\rm r} ^2} } } $

显然,当 $\sqrt {\mu _{\rm r} ^2 - 4\zeta _{\rm r}^2} \ll 1$ (发生参数共振) 时,式 (49)与式 (42) 所得到的压电旋转悬臂梁的参数振动稳定性边界是近似一致的.这可以说明本文所得到摄动解是有效的.

3 算例分析

为分析轮毂半径,轮毂角速度平均值和脉动幅值,梁长以及反馈增益系数对主动控制压电旋转悬臂梁的参数振动稳定性的影响,

系统的结构参数取如表 1 中的数据进行算例分析.

表1   旋转悬臂梁的结构参数[21]

Table 1  Structural parameters of rotating cantilever beam[21]

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通过上节分析可知,增大主动阻尼可以提高系统的稳定性,这意味着速度传感器安装在能使压电层提供最大阻尼的位置有利于提高旋转悬臂梁的稳定性.为确定这一位置,图 2 分析了不同安装位置对系统 1/2 亚谐波参数共振稳定性的影响.结果表明,传感器安装位置越靠近自由端,系统稳定性越好.

图2

图2   传感器安装位置对压电旋转悬臂梁稳定性的影响($R =0.05$ m, $l_{\rm s} =1$m, $\varOmega _{0}=50$ rad/s, $K =50$)

Fig.2   The effect of installation site of sensor on the stability of piezoelectric rotating cantilever beam ($R =0.05$ m, $l_{\rm s} =1$ m, $\varOmega _{0}=50$ rad/s, $K =50$)


给出了发生 1/2 亚谐波参数共振时梁长对临界阻尼比 $\zeta_{\rm r} $ 的影响. 在亚谐波共振点 ($\delta=1$) 之前临界阻尼比会随着频率比的增大而增大,但频率比超过共振点后,临界阻尼比反而会随着频率比的提高而降低,这意味着频率比越靠近共振点,系统越不稳定,系统维持稳定状态所需要的临界阻尼比就越大.此外,随着梁长的增大,临界阻尼比的曲线也会随之上升,这意味着梁长的增大会减弱参数振动的稳定性.

图3

图3   梁长对发生 1/2 亚谐波参数共振时临界阻尼比的影响($R =0.05$ m, $\varOmega _{0}=50$ rad/s, $\varOmega_{\rm d}=5$ rad/s)

Fig.3   The effect of beam length on the critical damping ratio of 1/2 sub-harmonic parametric resonance ($R =0.05$ m, $\varOmega _{0}=50$ rad/s, $\varOmega_{\rm d}=5$ rad/s)


描绘了不同的轮毂半径下旋转悬臂梁的临界阻尼比随频率比的变化规律,随着轮毂半径的增大,系统稳定区域的边界曲线将升高,参数共振的不稳定区域会随之扩大.这说明降低轮毂半径可以提高系统的稳定性.

图4

图4   轮毂半径对发生 1/2 亚谐波参数共振时临界阻尼比的影响($l _{\rm s} =1$ m, $\varOmega _{0}=50$ rad/s, $\varOmega_{\rm d}=5$ rad/s)

Fig.4   The effect of hub radius on critical damping ratio of 1/2 sub-harmonic parametric resonance ($l _{\rm s} =1$ m, $\varOmega _{0}=50$ rad/s, $\varOmega_{\rm d}=5$ rad/s)


通过观察图5 可以发现,随着轮毂角速度平均值的增大,临界阻尼比的曲线会逐渐升高,但曲线增长的比率会降低,当超过某一临界值后,临界阻尼比和轮毂角速度平均值之间具有相反的关系.为解释这一现象,无量纲参数 $\mu_{\rm r}$ 与轮毂角速度平均值的关系在图 6 中进行分析.结果表明,当轮毂角速度的平均值超过 100 rad/s,无量纲参数 $\mu _{\rm r} $ 随着轮毂角速度平均值的增大而减小.这表明轮毂角速度平均值对系统稳定性的影响并不是单调的,在临界值之前,轮毂角速度平均值的增大会降低系统稳定性,但在临界值之后,反而会提高系统稳定性.图 7 曲线表明,增大轮毂角速度脉动幅值可明显地增大临界阻尼比.这表明脉动幅值的增大会降低系统的稳定性,并且将其与图 3 $\sim$图 5 相比较,可发现轮毂角速度脉动幅值和梁长变化对系统在发生参数共振时稳定性的影响较为明显.

图5

图5   轮毂角速度平均值对发生 1/2 亚谐波参数共振时临界阻尼比的影响($R =0.05$ m, $l _{\rm s} =1$ m, $\varOmega_{\rm d}=5$ rad/s)

Fig.5   The effect of average value of hub angular velocity on the critical damping ratio of 1/2 sub-harmonic parametric resonance ($R =0.05$ m, $l _{\rm s} =1$ m, $\varOmega_{\rm d}=5$ rad/s)


图6

图6   轮毂角速度平均值对无量纲参数$\mu _{\rm r} $的影响 ($R=0.05$ m,$l _{\rm s}=1$ m)

Fig.6   The effect of average value of hub angular velocity on the dimensionless parameter $\mu _{\rm r}$ ($R=0.05$ m,$l _{\rm s}=1$ m)


图 7

图 7   轮毂角速度脉动幅值对发生 1/2 亚谐波参数共振时临界 阻尼比影响 ($R =0.05$ m, $l _{\rm s} =1$ m, $\varOmega_{0}=50$ rad/s)

Fig.7   The effect of pulsating amplitude of hub angular velocity on critical damping ratio of 1/2 sub-harmonic parametric resonance ($R =0.05$ m, $l _{\rm s} =1$ m, $\varOmega_{0}=50$ rad/s)


通过观察图8不难发现,随着反馈增益系数的增大,无量纲参数 $\mu_{\rm r} $ 的曲线也会随之上升,不稳定区域会随之减小.这表明反馈增益系数的增大会明显的提高系统的稳定性,即使在较大的变动转速作用下,悬臂梁系统也会趋向稳定的.总之,反馈增益系数越大,系统能承受的旋转角速度能力就越强.比较只含被动阻尼 ($K =0$) 和只含主动阻尼 ($K=50$) 的曲线,可以发现主动控制远大于被动阻尼对系统稳定性的影响.这说明与悬臂梁的结构阻尼相比,压电层提供的主动阻尼可大幅度地提高系统振动的稳定性.另外,在靠近亚谐波参数共振点附近数值分析方法与多尺度法所得稳定边界基本上是重合的,这证明了本文应用摄动方法分析压电旋转悬臂梁参数共振稳定性是有效的.

图8

图8   反馈增益系数对压电旋转悬臂梁稳定性的影响 ($R =0.05$ m, $l _{\rm s}=1$ m, $l _{\rm c}=1$ m, $\varOmega_{0}=50$ rad/s)

Fig.8   The effect of feedback gain coefficient on the stability of piezoelectric rotating cantilever beam ($R =0.05$ m, \\ $l _{\rm s}=1$ m, $l _{\rm c}=1$ m, $\varOmega_{0}=50$ rad/s)


为进一步分析压电主动控制与系统稳定性的关系,从阻尼比的角度,在图 9 中给出了不同轮毂角速度平均值下反馈增益系数对稳定性的影响.结果显示反馈增益系数的增加,可以提高系统阻尼比,但增长比率逐渐降低,而轮毂角速度平均值的增大则会降低阻尼比.这说明主动控制对稳定性的影响随着轮毂角速度平均值的增大而逐渐减弱.

图9

图9   不同轮毂角速度平均值下阻尼比随反馈增益系数 $K$ 的 变化关系 ($R =0.05$ m, $l _{\rm s}=1$ m, $l _{\rm c}=1$ m)

Fig.9   The variation of damping ratio versus the feedback gain coefficient $K$ for different average values of hub angular velocity ($R =0.05$ m, $l _{\rm s}=1$ m, $l _{\rm c}=1$ m)


4 小 结

本文建立了主动控制压电旋转悬臂梁的一阶近似动力学方程,运用多尺度法找到了系统在发生第一阶模态参数共振时稳定性边界摄动解,通过分析得出来如下结论:

(1)当系统的第一阶固有频率接近 1/2 轮毂角速度脉动频率时,系统会发生参数共振而可能失稳.

(2) 无量纲参数$\mu _{\rm r} $减小以及无量纲阻尼比$\zeta _{\rm r}$增大均可以提高系统参数振动稳定性.

(3)发生参数共振时,梁长、轮毂半径和脉动幅值的增大会降低系统稳定性,而反馈增益系数的增大可以提高系统稳定性,但提高的抑制效果会逐渐减弱.

(4) 轮毂角速度平均值对系统稳定性的影响并不是单调的,在临界值之前,轮毂角速度平均值的增大会降低系统稳定性,但在临界值之后,反而会提高系统稳定性. 另外,轮毂角速度平均值的增大会削弱主动压电旋转悬臂梁的振动抑制效果.

本研究所得结论对于旋转机构的设计具有重要的理论指导意义.

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提出了一种半解析区域分解法来分析任意边界条件的复合材料层合旋转壳自由振动. 沿壳体旋转轴线将壳体分解为一些自由的层合壳段, 视位移边界界面为一种特殊的分区界面;采用分区广义变分和最小二乘加权残值法将壳体所有分区界面上的位移协调方程引入到壳体的能量泛函中, 使层合壳的振动分析问题归结为无约束泛函变分问题. 层合壳段位移变量采用Fourier 级数和Chebyshev 多项式展开. 以不同边界条件的层合圆柱壳、圆锥壳及球壳为例, 采用区域分解法分析了其自由振动, 并将计算结果与其他文献值进行了对比. 算例表明, 该方法具有高效率、高精度和收敛性好等优点.

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提出了热冲击和碰摩故障共同作用下的旋转悬臂板系统动力特性解析解法. 基于变分原理,推导出考虑碰摩力沿宽度方向差异性的薄板系统运动微分方程,将该方程的解分解为热冲击悬臂板准静态解和碰摩薄板热冲击动力解. 通过计算旋转悬臂板的模态特性和温度分布函数,获得了碰摩叶片旋转悬臂板模型的热冲击振动解析解,讨论分析得出热冲击和碰摩故障对薄板振动的影响规律. 研究表明:碰摩振动表现为复杂的多频率耦合振动,高频振动较为显著;热冲击振动表现为简单的低频振动形式,强烈的热冲击导致碰摩薄板趋于低频振动. 碰摩引起的振动形式较热冲击故障更加复杂,更容易引起叶片的破坏. 增大的摩擦系数加剧了碰摩引起的振动,利用减小表面粗糙程度等方法降低摩擦系数,可以达到减小碰摩破坏程度的目的.

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Thermo-electro-mechanical vibration of piezoelectric cylindrical nanoshells is studied using the nonlocal theory and Love's thin shell theory. The governing equations and boundary conditions are derived using Hamilton's principle. An analytical solution is first given for the simply supported piezoelectric nanoshell by representing displacement components in the double Fourier series. Then, the differential quadrature (DQ) method is employed to obtain numerical solutions of piezoelectric nanoshells under various boundary conditions. The influence of the nonlocal parameter, temperature rise, external electric voltage, radius-to-thickness ratio and length-to-radius ratio on natural frequencies of piezoelectric nanoshells are discussed in detail. It is found that the nonlocal effect and thermoelectric loading have a significant effect on natural frequencies of piezoelectric nanoshells. (C) 2014 Elsevier Ltd.

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Journal of Sound and Vibration, 1998,212(5):807-828

DOI      URL     [本文引用: 1]

胡海岩 . 机械振动基础. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2004

[本文引用: 1]

( Hu Haiyan. Mechanical Vibration Foundation. Harbin: Harbin University of Technology Press, 2004 (in Chinese))

[本文引用: 1]

刘延柱, 陈立群 . 非线性振动. 北京: 高等教育出版社, 2001

[本文引用: 1]

( Liu Yanzhu, Chen Liqun. . Nonlinear Vibration Beijing: Higher Education Press, 2001 (in Chinese))

[本文引用: 1]

Talimian A, Béda P.

Dynamic stability of a size-dependent micro-beam

European Journal of Mechanics - A/Solids, 2018,72:245-251

DOI      URL     [本文引用: 1]

Chen C, Li S, Dai L, et al.

Buckling and stability analysis of a piezoelectric viscoelastic nanobeam subjected to van der Waals forces

Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014,19(5):1626-1637

DOI      URL     [本文引用: 1]

A study on the buckling and dynamic stability of a piezoelectric viscoelastic nanobeam subjected to van der Waals forces is performed in this research. The static and dynamic governing equations of the nanobeam are established with Galerkin method and under Euler-Bernoulli hypothesis. The buckling, post-buckling and nonlinear dynamic stability character of the nanobeam is presented. The quasi-elastic method, Leibnitz's rule, Runge-Kutta method and the incremental harmonic balanced method are employed for obtaining the buckling voltage, post-buckling characteristics and the boundaries of the principal instability region of the dynamic system. Effects of the electrostatic load, van der Waals force, creep quantity, inner damping, geometric nonlinearity and other factors on the post-buckling and the principal region of instability are investigated. (C) 2013 Elsevier B.V.

Chen, XC, Lu YX, Li YH.

Free vibration, buckling and dynamic stability of bi-directional FG microbeam with a variable length scale parameter embedded in elastic medium

Applied Mathematical Modelling, 2019,67:430-448

DOI      URL     [本文引用: 1]

Brown JE, Hutt JM, Salma AE.

Finite element solution to dynamic stability of bars

AIAA J, 1968,6(7):1423-1425

DOI      URL     PMID      [本文引用: 1]

A fully coupled 2.5D formulation is proposed to compute the dispersive parameters of waveguides with arbitrary cross-section immersed in infinite inviscid fluids. The discretization of the waveguide is performed by means of a Semi-Analytical Finite Element (SAFE) approach, whereas a 2.5D BEM formulation is used to model the impedance of the surrounding infinite fluid. The kernels of the boundary integrals contain the fundamental solutions of the space Fourier-transformed Helmholtz equation, which governs the wave propagation process in the fluid domain. Numerical difficulties related to the evaluation of singular integrals are avoided by using a regularization procedure. To improve the numerical stability of the discretized boundary integral equations for the external Helmholtz problem, the so called CHIEF method is used. The discrete wave equation results in a nonlinear eigenvalue problem in the complex axial wavenumbers that is solved at the frequencies of interest by means of a contour integral algorithm. In order to separate physical from non-physical solutions and to fulfill the requirement of holomorphicity of the dynamic stiffness matrix inside the complex wavenumber contour, the phase of the radial bulk wavenumber is uniquely defined by enforcing the Snell-Descartes law at the fluid-waveguide interface. Three numerical applications are presented. The computed dispersion curves for a circular bar immersed in oil are in agreement with those extracted using the Global Matrix Method. Novel results are presented for viscoelastic steel bars of square and L-shaped cross-section immersed in water.

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