MEASURING SUBSEQUENT YIELD SURFACE OF PURE COPPER BY CRYSTAL PLASTICITY SIMULATION
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摘要: 通过纯铜薄壁圆管试样的实测和晶体塑性模拟，用单试样法和多试样法对分别经历拉伸、扭转和组合拉扭变形的试样后继屈服面进行研究.考虑预变形方式、测点数目、测试顺序和指定平移应变等不同条件，对后继屈服面测定结果差异及屈服面内凹现象进行探讨.在此基础上，比较了单试样和多试样两种方法的合理性与有效性.数值模拟采用能反映Bauschinger效应的晶体塑性模型，试样有限元模型每个单元的晶体取向均随机生成，能反映多晶材料变形特征.模拟试验加载过程与真实试验一致.研究表明：（1）采用本文方法可再现真实试验过程，模拟后继屈服面测试展示的现象与实测相近，证实了方法的有效性和合理性；（2）模拟测试与实测均发现，薄壁圆管组合拉扭加载测得的后继屈服面可能出现内凹，单试样法测得屈服面的内凹现象尤为显著；（3）若试验材料的材质比较一致，用多试样法测试后继屈服比用单试样法更合理.Abstract: With the methods of single-specimen and multiple-specimen, the subsequent yield surfaces of the copper underwent tension, torsion and combined tension torsion pre-deformation respectively are studied by crystal plasticity simulation comparing with the real test employing thin-walled tubular specimens. Not the variances of measured subsequent yield surface but also the phenomena of subsequent yield surface appearing concave are discussed under considering different conditions, including different pre-deformation, the number of probing point, the test sequence of the probing points, and the specified offset strain, etc. On this basis, the rationality and validity of the two methods for subsequent yield testing are compared. The simulations probing yield surface are conducted using the FE model of thin-walled tubular specimen, in which the crystal lattice orientation for each element is arranged randomly, associated with a modified crystal plasticity constitutive model that is able to reflecting the Bauschinger effect for material under reversed loading, so that the deformation characteristic of polycrystal can be exhibited. The loading procedure of modeling test is designed as same as the real test. The investigated results show that:(1) the proposed simulation method can reproduce the real test procedure, the simulated subsequent yield phenomena are found fairly consistent with that observed in actual experimental measurements, which confirmed the rationality and validity of the method; (2) both the simulated and real tests show that the subsequent yield surface measured by using the thin-walled tube under combination of tension-torsion load may be concave, and the result tested by the single specimen method is more obvious in yield surface concave no matter for simulated or real test; (3) if the test material is fairly consistent in quality, the multiple-specimen method should be more reasonable than the single-specimen method for subsequent yield surface test.
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Keywords:
- copper /
- subsequent yield /
- concave /
- crystal plasticity /
- test and simulation
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引言
经典塑性理论对金属在复杂路径下力学行为的描述和计算，是以屈服面以及与屈服面相关的流动法则为基础的.而经典塑性理论关于屈服面演化的描述，基本仅限于屈服面的胀缩、转动和移动，并通过在屈服函数中引入背应力, 考虑Bauschinger效应模拟屈服面的简单演化，对材料的复杂后继屈服现象无法给出合理的描述[1-2].该不足影响了在塑性分析基础上对金属损伤和破坏问题的探讨.
后继屈服现象涉及多方面的复杂性，在现有条件下只能进行一些简单路径预变形的屈服面测试.例如Khan等[2]采用单试样法对比例、非比例预变形下的后继屈服面演化的测试，Phillips和Tang[3]探讨屈服面测试参量的选择. Sung等[4]采用单试样法对铝材料进行了屈服面演化的试验，观察到屈服面内凹的现象.胡桂娟等[5]采用单试样和多试样法对45号钢进行了预拉伸后系列后继屈服面的测试, 对比发现，除内凹现象以外, 单试样法受屈服点测试顺序和测点数目的影响较大.上述学者进行后继屈服面测试所得一些结果与经典塑性理论相悖，是否归因于单试样法还不能确定.
在建立针对特定测试所得屈服面的分析模型方面，Phillips和tang[3]、Francois[6]、Zhang等[7]、Clausmeyer和Svendsen[8]、Hammi等[9]在宏观模型上作了尝试，不考虑与后继屈服面演化相关的材料塑性变形机制，通过唯象分析模拟简单加载屈服面的形状改变.
后继屈服的实测很大程度上受实验条件限制，而建立在合理模型基础上的数值模拟可弥补这一局限，关键是理论和模型能否得到有效改进和验证.研究屈服面演化必须考虑材料的变形机制，而对于多晶金属，主要变形机制是外力驱动下的细观滑移. Hill和Rice[10]、Asaro和Rice[11]等针对这一机制建立了晶体塑性理论，比较接近金属塑性变形的物理本质(但其早期理论没有考虑材料的Bauschinger效应).一些学者针对不同分析对象对晶体塑性分析的算法进行研究，将其用于材料在不同变形下产生织构的分析[12-13].在此基础上，对具有不同织构材料的屈服面用晶体塑性分析进行预测[14].付强等[15]基于滑移变形机制建立了模拟材料后继屈服面演化的滑移构元模型.张克实等[16-17]建议了以Cauchy应力作为基本未知量的晶体塑性算法，结合Voronoi多晶代表性单元进行多晶固体材料的力学行为的模拟分析.在此基础上又将非线性运动硬化描述引入晶体塑性模型中[18-19]，Hu等[1]用该模型预测了纯铝经历应变循环后的后继屈服面.由于对金属疲劳、塑性成形和断裂的研究都要求尽可能合理、精确计算塑性变形，而屈服面演化研究是达此目的的关键[18-23].
本文的主要研究工作：(1) 参考纯铜试样不同预变形后继屈服试验(限于篇幅，实验研究部分另文介绍)，用晶体塑性模型对试验进行过程模拟，比较单试样法与多试样法实测结果的合理性；(2) 结合数值模拟与试验分析，探讨薄壁圆管试样拉扭加载下所测后继屈服面出现内凹的可能性和原因.
1. 试验材料及其基本力学性能
以直径25mm的工业纯铜(T2) 棒材为试验材料，其化学成分见表 1.对材料做了去应力退火处理以消除加工成形的硬化影响，使其性能接近初始各向同性.试样形式为薄壁圆筒，内外表面都进行了抛光，两端内孔用过盈配合的金属堵头堵上以保证可靠夹持.试样几何尺寸见图 1.
表 1 T2纯铜化学成分(质量分数)Table 1. Chemical composition in weight for T2 copper
试验采用MTS809拉扭电液伺服疲劳试验机，标距段(长25mm)的轴向伸长和扭转角采用轴向－扭转引伸计(MTS632.80F-04) 进行测量.材料单轴拉伸和单调扭转试验标定的材料基本力学性能参数见表 2；其中 $E$ 是弹性模量， $G$ 是剪切模量， $\sigma _{0.2} $ 是对应于0.2%残余应变的初始屈服(名义)应力， $\sigma _u $ 为对应于拉伸颈缩起始的(名义)应力.
表 2 T2铜的力学特性Table 2. Mechanical properties for T2 copper
T2铜单轴拉伸和纯扭转试验的等效应力-等效应变曲线见图 2，两者之间差异很小.
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图 2 T2铜的单轴拉伸和纯扭等效应力-应变曲线Figure 2. Effective stress-strain curve of T2 copper under monotonic loading2. 后继屈服面的实测
在材料弹性范围内对给定状态点加载-卸载，若卸载后，该点应变恢复到先前状态, 即应变没有平移，意味着加载-卸载是弹性过程；但若测得卸载后应变有平移，则该加、卸载过程产生了塑性变形，即加载最大应力已超过了屈服应力.如果平移应变很小，先前最大加载应力与屈服应力的差异也很小，因而可视它为屈服应力.但很小的平移应变是很难识别的，实测中各种原因会造成加、卸载过程数据无规则的波动.因此需要为指定平移应变为合理的数值，使测得的屈服应力在合理的误差范围内.为使测试中误差尽可能得到控制，可采用反复加、卸载并逐级升高载荷的方法来测残余应变，只要测得的残余应变与指定平移应变在给定误差范围内就停止加载测试(本文按测试均值取误差限为2 $\times$ 10 $^{-6}$ ).对一个测点的测试过程如图 3所示，其中大图描述实测过程中加载时间(time)与等效应变(effective strain)和累积平移应变( $\Delta \varepsilon _{\rm offset}^p )$ 的关系；而小图描述材料从初始状态 $O$ 点预变形加载至 $O_{2}$ 点再卸载至 $O_{1}$ 点(回归弹性状态)，然后反复加载-卸载, 应力逐渐升高累积平移应变逐渐增加的过程.
一般来说，确定屈服的平移应变越小越接近理论描述，但对一般塑性分析，本构模型基于唯象分析的表述已作简化，按小平移应变定义屈服应力意义并不大.对于工程分析，人们习惯采用 $\sigma_{0.2}$ , 即对应于数值为2 $\times$ 10 $^{-3}$ 的指定平移应变的应力来定义屈服.但对研究后继屈服现象，主要关注实测屈服面的演化与实验过程观察到的实际力学过程是否一致，要求偏离度尽可能小，以便在此基础上深入探讨塑性理论.
2.1 测试后继屈服面的单试样法和多试样法
单试样法是指采用一个试样测所有测点的后继屈服方法.由于后继屈服与塑性变形有关，因此单试样法指定平移应变数值必须很小.后续测点的结果会受先前测点积累变形造成的复杂硬化作用的影响.多试样法则不同，一个试样只在一个方向加载测试，它可以指定一系列的平移应变测得相应的屈服应力，即可用多个试样测得对应于不同指定平移应变的屈服面.
对指定方向施加预变形的后继屈服面测试过程如图 4所示.图中虚线 $O_1O_2$ 方向是预加载变形方向， $O, O_{1}$ 和 $O_{2}$ 点意义与图 3相同.当沿虚线 $O_2O_1$ 方向卸载至 $O_{1}$ 点后，从 $O_{1}$ 点在图示平面向任何方向加载都可能先经历弹性过程然后进入塑性变形，因此用图 3方式可按指定平移应变测得相应路径的屈服点.理论上，不同方向测点越多得到的屈服面信息越充分，但如只需勾画出屈服面的特征就不需要很多测点.对单试样法，后续测点测试结果会受先前测点累积变形的影响，测点必须很少.多试样法则不受此限制.
为尽量减少测试过程额外产生的累积塑性应变，在单试样法测试中指定平移应变越小越好.但液压伺服试验机根据信号反馈进行控制，微小抖动难以避免，该应变数值小于2 $\times$ 10 $^{-5}$ 就很难得到稳定的数据.多试样法每个试样不换方向加载测试，指定平移应变可根据试验机测试精度和实际分析的需要设置.
2.2 测试数据与计算
拉扭加载试验可直接测得试样的轴力 $F$ 、扭矩 $T$ 、标距段的伸长量 $\Delta L$ 和转角 $\theta $ ，由于是小应变，实测轴向应力 $\sigma $ 和切应力 $\tau $ 、轴向应变 $\varepsilon $ 和剪切角应变 $\gamma $ 按下式计算
$$ \left. \begin{array}{l} \sigma = \frac{{4F}}{{{\rm{\pi }}({D^2} - {d^2})}}{\mkern 1mu}, \;\;\tau = \frac{{16T}}{{{\rm{\pi }}({D^2} - {d^2})(D + d)}}\\ \varepsilon = \frac{{\Delta L}}{L}{\mkern 1mu}, \;\;\gamma = \frac{{R\theta }}{L} \end{array} \right\} $$ (1) 式中, $D$ 和 $d$ 分别是薄壁圆筒标距段的外直径和内直径, $R$ 和 $L$ 为标距段截面的初始平均半径和长度.等效应力 $\sigma_{\rm eq}$ 和相对于卸载点的等效残余塑性应变 $\Delta \varepsilon _{\text{eq}}^{\text{p}}$ 按下式计算
$$ \left. \begin{array}{l} {\sigma _{{\rm{eq}}}} = \sqrt {{\sigma ^2} + 3{\tau ^2}} \\ \Delta \varepsilon _{{\rm{eq}}}^{\rm{p}} = \sqrt {{{(\Delta {\varepsilon ^p})}^2} + {{(\Delta {\gamma ^p})}^2}/3} \\ \Delta {\varepsilon ^{\rm{p}}} = \Delta \varepsilon - \frac{{\Delta \sigma }}{E}\\ \Delta {\gamma ^{\rm{p}}} = \Delta \gamma - \frac{{\Delta \tau }}{G} \end{array} \right\} $$ (2) 式中， $E$ 和 $G$ 分别是材料的弹性模量和剪切模量，以上应力和应变增量参照卸载点计算，即
$$ \left. \begin{array}{l} \Delta \varepsilon = \varepsilon - {\varepsilon _{{O_1}}}{\mkern 1mu}, \;\Delta \gamma = \gamma - {\gamma _{{O_1}}}\\ \Delta \sigma = \sigma - {\sigma _{{O_1}}}{\mkern 1mu}, \;\Delta \tau = \tau - {\tau _{{O_1}}} \end{array} \right\} $$ (3) 对多试样法 ${{\varepsilon }_{O\text{1}}}$ 和 $\gamma_{O_1}$ 是不变的，对单试样法则每测一个屈服点它们都有改变(尽管改变量可能很小)；而无论单试样或多试样法 $\sigma_{O_1}$ 和 $\tau_{O_1}$ 都不变.
测试过程中，当逐次加载中累积等效残余塑性应变 $\Delta \varepsilon _{\text{eq}}^{\text{p}}$ 等于指定平移应变时(用 $\varSigma^{\rm \, residual}_{\rm offset}$ 来表示)，可用式(1) 和式(2) 算得相应的轴向应力和剪切应力，于是可在 $\sigma$ - $\sqrt {3} \tau $ 平面上以系列屈服点描绘出屈服面曲线.
3. 模拟后继屈服面测试的晶体塑性模型和方法
3.1 考虑Bauschinger效应的晶体塑性模型
后继屈服面的演化与Bauschinger效应强烈相关，材料的硬化模式既不是简单的各向同性硬化也不是简单的随动硬化.要反映该复杂过程，需要采用能描述金属基本变形机制的本构模型，因此采用改进的晶体塑性模型[18-19]进行分析, 并参照Feng等[24]的建议，在Hutchinson[25]提出的单晶体滑移分切应变演化规律的基础上，借鉴Chaboche模型[26]增添了背应力的影响
$$ \dot\gamma^{(\alpha)}=\dot\gamma_0{\rm sgn} (\tau^{(\alpha)}-x^{(\alpha)}) \Big | \dfrac{\tau^{(\alpha)}-x^{(\alpha)}}{g^{(\alpha)}} \Big|^k $$ (4) 式中， $\tau^{(\alpha)}$ 和 $x^{(\alpha)}$ 是单晶体第 $\alpha$ 滑移系的分解剪应力和相应的背应力，引入背应力是为了反映Bauschinger效应； $g^{(\alpha)}$ 定义描述 $\alpha$ 滑移系弹性范围的标量函数； $\dot\gamma_0$ 为参考剪切应变率，是待定材料常数； $k$ 反映材料率相关性，为材料常数.背应力 $x^{(\alpha)}$ 的演化借鉴了Walker[27]对材料非线性硬化描述的建议，用下式来描述[18-19]
$$ \dot {x}^{(\alpha )} = a\dot {\gamma }^{(\alpha)} - c [1-e_1 (1-\exp(-e_2 \gamma ))] x^{(\alpha )} \left| {\dot {\gamma }^{(\alpha)}} \right| - px^{(\alpha )} $$ (5) 式中， $a$ 是描述滑移系线性硬化的材料常数， $c$ 和 $p$ 是反映非线性硬化特征的材料常数， $e_1$ 和 $e_2$ 是反映非线性硬化饱和规律的材料常数.
标量函数 $g^{(\alpha)}$ 的演化采用Pan和Rice[28]建议的公式计算
$$ {{\dot{g}}^{(\alpha )}}(\gamma )=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{h}_{\alpha \beta }}(\gamma )|{{{\dot{\gamma }}}^{(\beta )}}|,\ \gamma =\sum\limits_{\beta =1}^{n}{|\text{d}{{\gamma }^{(\beta )}}|}} $$ (6) 式中, $h_{\alpha \beta}(\gamma)$ 是滑移面硬化模量. Hutchinson[29]建议该模量可按下式计算
$$ h_{\alpha \beta}(\gamma)=h(\gamma)[q+(1-q)\delta_{\alpha\beta}] $$ (7) 式中, $q$ 是常数，Chang和Asaro[30]建议用下式计算
$$ H(\gamma)=h_0 {\rm sech}^2 \Big ( \dfrac{h_0\gamma}{\tau_s-\tau_0} \Big ) $$ (8) 式中, $h_0$ 是初始硬化率， $\tau_0$ 和 $\tau_s$ 则分别是初始和饱和的临界分剪应力，它们都是材料常数.上述模型的所有参数的确定需通过试验结合数值模拟试算得到.
参照固定整体坐标系，材料中任一点的Euler速度梯度记为 ${\pmb L}$ ，利用变形梯度张量的乘法分解( ${\pmb F}^{\ast } \cdot {\pmb F}^{\rm p}$ 分解)它可分解为弹性和塑性两个部分
$$ \left. \begin{align} & \mathit{\boldsymbol{L}}={{\mathit{\boldsymbol{L}}}^{*}}+{{\mathit{\boldsymbol{L}}}^{\rm{p}}}, \ \ {{\mathit{\boldsymbol{L}}}^{*}}={{\overset{\mathit{\boldsymbol{.}}}{\mathop{\mathit{\boldsymbol{F}}}}\, }^{*}}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{*-1}} \\ & {{\mathit{\boldsymbol{L}}}^{\rm{p}}}={{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{*}}\cdot {{\overset{\mathit{\boldsymbol{.}}}{\mathop{\mathit{\boldsymbol{F}}}}\, }^{\rm{p}}}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{{{\rm{p}}^{-1}}}}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{*-1}} \\ \end{align} \right\} $$ (9) 式中， ${\pmb F}^{\ast }$ 和 ${\pmb F}^{\rm p}$ 分别是变形梯度 ${\pmb F}$ 的弹性和塑性部分， $\dot{\pmb F}^{\ast }$ 和 $\dot{\pmb F}^{\rm p}$ 分别是它们的物质导数.而Euler变形率和塑性变形率张量 ${\pmb D}$ 和 ${\pmb D}^{\rm p}$ 分别按下式计算
$$ {\pmb D} = \dfrac{1}{2}\left( {{\pmb L} + {\pmb L}^{\rm T} } \right)\, , \ \ {\pmb D}^{\rm p} = \dfrac{1}{2}\left( {{\pmb L} + {\pmb L}^{\rm T} } \right) $$ (10) 应力率与应变率关系为
$$ \dot{\pmb\sigma}^J=\mathop{\pmb C}\limits^{\langle 4\rangle} : ({\pmb D}-{\pmb D}^{\rm p}) $$ (11) 式中, $\dot{\pmb\sigma}^J $ 是Cauchy应力张量的Jaumann率， $\mathop{\pmb C}\limits^{\langle 4\rangle}$ 是四阶弹性张量，由晶轴坐标系下相应张量通过坐标变换得到.考虑到从 $t$ 到 $t+\Delta t$ 时间间隔变形中的转动，当前构形即 $t+\Delta t$ 时刻构形下的Cauchy应力张量可按下式计算
$$ {}^{t+\Delta t}{\pmb\sigma}={}^t{\pmb\sigma}|_{t+\Delta t}+ \Delta{\pmb\sigma}^J $$ 即
$$ ^{t+\Delta t}\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\sigma\!\!\rm{ }{{=}^{t}}\mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\sigma\!\!\rm{ }{{|}_{t+\Delta t}}+\overset{\langle 4\rangle }{\mathop{\mathit{\boldsymbol{C}}}}\,:(\Delta \varepsilon -\Delta {{\varepsilon }^{\rm{p}}}) $$ (12) 式中, Jaumann应力增量 $\Delta{\pmb\sigma}^J$ 、对数应变增量 $\Delta \varepsilon $ 及其塑性分量 $\delta\varepsilon^{\rm p}$ 分别是张量率 $\dot{\pmb\sigma}^J$ ， ${\pmb D}$ 和 ${\pmb D}^{\rm p}$ 从 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的积分.若记 ${\pmb n}^{(\alpha)}$ 和 ${\pmb m}^{(\alpha)}$ 分别为 $\alpha$ 滑移系所在滑移面的初始单位法向量和 $\alpha$ 滑移系初始方向单位向量，则有Schmid张量
$$ \left. \begin{align} & {{\mathit{\boldsymbol{P}}}^{(\alpha )*}}=\frac{1}{2}({{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{(\alpha )*}}{{\mathit{\boldsymbol{n}}}^{(\alpha )*}}+{{\mathit{\boldsymbol{n}}}^{(\alpha )*}}{{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{(\alpha )*}}) \\ & {{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{(\alpha )*}}={{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{*}}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{m}}}^{(\alpha )}}, \ {{\mathit{\boldsymbol{n}}}^{(\alpha )*}}={{\mathit{\boldsymbol{n}}}^{(\alpha )}}\cdot {{\mathit{\boldsymbol{F}}}^{*-1}} \\ \end{align} \right\} $$ (13) 计算过程中，Schmid张量是随构形改变不断转动的.于是增量对数应变张量可按下式计算[10-12]
$$ \Delta {{\varepsilon }^{p}}=\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\pmb P}^{(\alpha )*}}\Delta {{\gamma }^{(\alpha )}}} $$ (14) 式中， $\Delta \gamma^{(\alpha)}$ 由 $\dot\gamma^{(\alpha)}$ 积分得到.而Cauchy应力张量与 $\alpha$ 滑移系分切应力的关系由Schmid法则确定，即
$$ \tau^{(\alpha)}={\pmb P}^{(\alpha)*} : {\pmb \sigma} $$ (15) 作者已针对以上模型编制了ABAQUS软件的用户材料子程序UMAT，计算过程和算法参见文献[16-17, 19].
3.2 模拟试样模型
计算采用与试样几何尺寸一致的薄壁圆管有限元模型，此模型包含了64 640个单元(C3D8)，77 952个节点，如图 5所示.因铜晶体具有面心立方晶格结构和 $\{111\}\langle 110\rangle $ 滑移系，为反映真实试样多晶力学行为的特征，试样模型每个单元都被赋予一个随机取向.于是，按晶体塑性计算的试样将能模拟多晶金属的宏观力学行为，而局部变形是不均匀的，这一现象与实测相符[31].模型中部25mm标距段设置两个数据采集节点模拟实测的引伸计数据输出，试样的夹持通过模型两端相应节点集边界条件来实施，可模拟真实试验过程的往复轴向拉压、纯扭和组合拉扭加载.计算过程中，模型能输出轴力、扭矩、标距段轴向应变和角应变等数据，与真实试验一致.模型通过耦合约束方式模拟试验机的夹持和加载，约束区域见图 5中虚线标示部位.
3.3 晶体塑性模型参数标定
参照图 6实测稳定循环滞回曲线，采用Zhang等[19, 32]建议的方法对图 5模型通过数值模拟标定晶体塑性模型参数.考虑到测试屈服面时试样加载变形范围与稳定循环加载时不同，需将按循环变形标定参数再用单调拉伸曲线做一次修正.连同单晶铜弹性常数 $C_{11}, C_{12}$ 和 $C_{44}$ ，所有模型参数列于表 3.其中式(4) 中两个参数是事先设定的， $\dot {\gamma }_{0} =0.001$ s $^{-1}$ ， $k=200$ . $\dot {\gamma }_{0}$ 对应变率相对不敏感，一般事先设定；而 $k$ 取值200使得该式描述的变形接近于率无关.这是式(4) 选用率相关函数形式的好处，它能合理描述滑移系的启动，但又不必进行滑移系启动的判断.
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图 6 用应变幅0.003的实测循环回线标定晶体塑性模型参数Figure 6. Calibration of crystal plasticity model parameters based on experimental hysteresis loops at strain amplitude 0.003表 3 T2铜单晶体材料参数Table 3. The material constants of single crystal copper
4. 不同预变形下后继屈服面的实测与晶体塑性数值模拟比较
考虑到代表性，本文对薄壁圆管试样进行3种典型的预变形后继屈服面实测和模拟实测，预变形值按等效应变 $\varepsilon _{\rm eq\_pre}=\sqrt{(\varepsilon)^2+(\gamma)^2/3}$ 计算都是1%，3种预变形模式分别是：预拉伸( $\varepsilon=1\%$ )、预扭转( $\gamma/\sqrt 3=1%$ )和预组合拉扭( $\sqrt{(\varepsilon)^2+(\gamma)^2/3}=1%$ ， $\varepsilon=\gamma/\sqrt 3$ ).
4.1 测试点数目对单试样法测试的影响
为讨论屈服测试点数目的影响，对预拉伸、预扭转和预组合拉扭等3种预变形的后继屈服都分别按5个测试点和7个测试点进行后继屈服面实测和模拟实测.
测试过程：先按指定的预加载路径加载至设定的预变形(图 3和图 4的 $O_{2}$ 位置)，卸载至指定卸载点(图 3和图 4的 $O_{1}$ 位置)，然后测试预加载相反方向的第一个屈服点(5点方案的第5点，7点方案的第7点)，再按倒数顺序测试其他各屈服点，详见图 7(a) $\sim $ 图 7(c).由于材料初始各向同性，可假设测得的后继屈服面对称于预加载方向延长线，因此这些测点都位于该对称线一侧.并将所测得的屈服点都对称延拓到预变形延长线另一侧，用相应的空心点和虚线表示，见图 7(a) $\sim $ 图 7 (c).实测和模拟实测中，判定屈服均采用相同的指定平移应变 $\varSigma^{\rm \, residual}_{\rm offset}$ ，且 $\varSigma^{\rm \, residual}_{\rm offset}=2\times 10^{-5}$ .
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图 7 单试样法不同测点数实测与模拟测试的后继屈服面Figure 7. The test and simulated test subsequent yield surface with respect to different number of measuring points by single-specimen method从图 7可以看出，经历预拉伸变形的后继屈服面的晶体塑性模拟结果与试验结果相似(虽然在数值上有差异)，这一点说明反映金属多晶力学行为的计算模型能模拟真实的试验过程.
考察不同预变形测点数的模拟结果与试验结果，可知实测与模拟有共同规律：(1) 测点多的屈服面比测点少的包围面积大；(2) 预加载相反方向的第一个后继屈服点处有明显的内凹.后继屈服面描述的是材料当前的弹性区域，与测点数目无关.而上述实测与模拟结果都表明，单试样法测点数目不同测得的屈服面有趋向性的差异，测点越多测得的弹性区域越大，显然是不合理的.上述比较分析证实了模拟可解释单试样法前面测点会影响后续测点结果的原因，并可再现其过程.以上结果还表明，单试样法实测和晶体塑性模拟同时都得出后继屈服面有内凹的现象，而屈服面内凹违背经典塑性理论中Drucker公设推论，因此需要对此结果作进一步的分析.
4.2 测点顺序对单试样法测试的影响
上节结果从一个方面证实，单试样法的后续测试点结果受前测试点塑性应变累积影响.从理论上来说，原因是Bauschinger效应的影响，金属材料在一个方向的塑性变形会影响其他方向的屈服应力.对此须换个方式作进一步检验，通过改变测试顺序观察测试屈服面的形状变化.采用上节7点方案但测试顺序与上节相反，再用单试样法对前面3种预变形后的后继屈服面进行实测和模拟.判定屈服亦采用相同的指定平移应变，且 $\varSigma_{\rm offset}^{\rm \, residual} = 2\times 10^{ - 5}$ .所得实测和模拟实测结果见图 8(a) $\sim $ 图 8 (c)，从图 8可以看出，无论实测还是晶体塑性模拟， 所得后继屈服面的图形相似.它们的反向测试与正向测试有同样的系统趋向性差别：无论实测还是晶体塑性模型的模拟，反向测试的后继屈服面都不再出现试验预变形反方向内凹现象.
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图 8 单试样法不同测点顺序实测与模拟测试的后继屈服面Figure 8. The test and simulated test subsequent yield surface with respect to different sequence of measuring points by single-specimen method由此可知，单试样法实测与模拟结果相近，一方面证实了本文方法对薄壁圆管单试样法测试后继屈服面的晶体塑性模拟可以真实反映实测过程和结果，另一方面也反映出单试样法测试后继屈服面存在的问题.从正向、反向测试的系统差异来看，应用单试样法测试后继屈服面，不能肯定所得结果的正确性，也不能确定屈服面有无可能内凹.
4.3 多试样法测试的后继屈服面
多试样法每个试样只在一个方向测试，它可按一系列指定平移应变测得相应的屈服应力，对测点数没有限定要求，从而用多个试样测得对应于不同指定平移应变的屈服面.图 9 (a) $\sim $ 图 9 (c)给出多试样法测试拉伸、扭转和组合拉扭3种预变形后继屈服面的结果，每种预变形情形分别给出2 $\times $ 10 $^{ - 5}$ , 1 $\times $ 10 $^{ - 4}$ , 5 $\times $ 10 $^{ - 4}$ 和1 $\times $ 10 $^{-3}$ 指定平移应变的实测和晶体塑性模拟测试的后继屈服面.
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图 9 多试样法实测与模拟测试的后继屈服面Figure 9. The test and simulated test subsequent yield surface by multiple-specimen method从图 9可以看出，模拟与实际测试所得屈服面图形相似.指定平移应变越大，测得的后继屈服面尺寸越大(屈服点距离卸载点越远)，形状也越趋于稳定.在预变形方向屈服应力受平移应变改变的影响较小，但屈服面曲率受到的影响较大，指定平移应变越小，屈服面的尖角越明显.随着平移应变增大，模拟与实际测试后继屈服面差异逐渐减小.
在屈服面是否有内凹方面：对预拉伸和预扭转变形，无论是实测还是模拟都在2 $\times$ 10 $^{-5}$ 指定平移应变对应的屈服面有明显内凹，对应于1 $\times$ 10 $^{-4}$ 的也有可辨别的内凹，更大指定平移应变对应的屈服面不再有内凹.对预组合拉扭变形，无论平移应变大还是小, 实测和模拟所得后继屈服面都没有内凹.
需要指出：对预拉伸和预扭转，实测和模拟测试点数都是8个；对预组合拉扭变形，实测点数为8而模拟点数为14，由于多试样法各点测试结果与其他测点无关，测点数目不同也不影响结果比较.从以上结果看，多试样法测试出现内凹现象虽比单试样法少，但在指定较小平移应变时仍存在.
5. 讨论与结论
用纯铜薄壁圆管试样，对经历拉伸、扭转和组合拉扭这3种预变形的后继屈服面，用实测和晶体塑性模拟方法分别得到对应的结果.在此基础上探讨测试后继屈服面的单试样法和多试样法的差异，同时检验作者先前改进和发展的晶体塑性模拟方法的有效性与合理性，进而对出现与经典塑性理论相悖的后继屈服面内凹现象进行了分析.从不同方法不同预变形实测和模拟结果来看：(1) 用薄壁圆管通过拉扭加载方式测得的后继屈服面是可能内凹的. (2) 单试样法测得内凹不一定可信，因为受测试顺序和先前测点塑性变形的影响，测试结果差异太大. (3) 多试样法实际测试测得内凹结果不能排除试样差别造成数据波动导致，但数值模拟结果也出现内凹则可以排除试样差异的原因，因为数值模拟的模型完全相同. (4) 需要指出，屈服面外凸这一推论，是经典塑性理论由Drucker公设在均值材料基础上得到的，对于实际材料的非均匀性和多晶材料塑性的特性并没有考虑，同时薄壁圆管变形实际上还存在结构变形不均匀的因素，要搞清楚这些还需作进一步研究.
本文研究得到以下主要结论：
(1) 对3种预变形后继屈服面的薄壁圆管拉扭加载实测和晶体塑性模型的模拟，所得规律相同，验证了晶体塑性模型及模拟方法的有效性和合理性.
(2) 用薄壁圆管通过拉扭加载方式测试的后继屈服面，可能出现内凹现象，这一点得到试验和数值模拟的证实.
(3) 单试样法测试结果不仅要求指定平移应变必须很小，因受测点数目和测试顺序的强烈影响，也很难判定单试样法测试结果的有效性和合理性.
(4) 若试验材料的材质比较一致，多试样法优于单试样法.
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图 2 T2铜的单轴拉伸和纯扭等效应力-应变曲线
Figure 2. Effective stress-strain curve of T2 copper under monotonic loading
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图 6 用应变幅0.003的实测循环回线标定晶体塑性模型参数
Figure 6. Calibration of crystal plasticity model parameters based on experimental hysteresis loops at strain amplitude 0.003
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图 7 单试样法不同测点数实测与模拟测试的后继屈服面
Figure 7. The test and simulated test subsequent yield surface with respect to different number of measuring points by single-specimen method
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图 8 单试样法不同测点顺序实测与模拟测试的后继屈服面
Figure 8. The test and simulated test subsequent yield surface with respect to different sequence of measuring points by single-specimen method
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图 9 多试样法实测与模拟测试的后继屈服面
Figure 9. The test and simulated test subsequent yield surface by multiple-specimen method
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